Funkční

Funkcionál je funkce definovaná na libovolné množině a mající číselný rozsah hodnot : obvykle množinu reálných čísel nebo komplexních čísel . V širším smyslu je funkcionál jakékoli zobrazení z libovolné množiny do libovolného (ne nutně číselného) kruhu . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Funkcionály jsou studovány jako jeden z ústředních pojmů ve funkcionální analýze a hlavním předmětem variačního počtu je studium variací funkcionalií.

Definice

Funkční doménou může být libovolná množina. Jestliže doména definice je topological prostor , pak spojitý funkcionál může být definován ; jestliže doména je lineární prostor přes nebo přes , lineární funkcionál může být definován ; pokud je doménou uspořádaná množina , lze definovat monotónní funkcionál. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Funkcionál definovaný na topologickém prostoru se nazývá spojitý, pokud je spojitý jako zobrazení do topologického prostoru nebo . $X$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Funkcionál definovaný na topologickém prostoru se nazývá spojitý v bodě , pokud je v tomto bodě spojitý jako zobrazení do topologického prostoru nebo . $X$ $x\in X$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Funkcionál definovaný na lineárním prostoru se zachováním sčítání a násobení konstantou se nazývá lineární funkcionál . (Mapování lineárního prostoru na lineární prostor se nazývá operátor ).

Jednou z nejjednodušších funkcionálů je projekce (přiřazení vektoru jedné z jeho složek nebo souřadnic).

Poměrně často hraje ten či onen prostor funkcí roli lineárního prostoru (spojité funkce na intervalu, integrovatelné funkce v rovině atd.). Proto je v aplikovaných oblastech funkcionál často chápán jako funkce funkcí , tedy zobrazení, které převádí funkci na číslo (reálné nebo komplexní).

Funkcionál na lineárním prostoru je považován za kladně určitý, pokud jeho hodnota není záporná a rovná se nule pouze v nule.

Zobrazení, které transformuje vektor na jeho normu , je konvexní pozitivně-definitivní funkcionál, jedná se o jeden z nejběžnějších funkcionálů. Ve fyzice se často používá akce - také funkční.

Optimalizační úlohy jsou formulovány v jazyce funkcionálu : najděte řešení (rovnice, soustavy rovnic, soustavy omezení, soustavy nerovnic, soustavy inkluzí atd.), které dodá danému funkcionálu extrém (minimum nebo maximum). Při analýze variací se berou v úvahu také funkcionality .

Funkční v lineárním prostoru

Později byl koncept funkcionálu v lineárním prostoru oddělen od konceptu tradičního funkcionálu jako funkce, která mapuje prvky lineárního prostoru do jeho skalárů . Často (například když je prostor funkcí lineárním prostorem) se tyto dvě varianty pojmu „funkční“ shodují, zároveň nejsou totožné a vzájemně se nepohlcují.

Zvláště důležitým druhem funkcionálů jsou lineární funkcionály .

Příklady

funkční norma
funkční hodnotu v pevném bodě
maximum nebo minimum funkce na segmentu
hodnota integrálu funkce
délka grafu reálné funkce reálné proměnné
délka křivky parametricky definovaná vektorovou funkcí reálného argumentu (délka cesty)
plocha povrchu parametricky definovaná vektorovou funkcí dvou reálných argumentů
skalární součin fixním vektorem
akce v mechanice
energeticky funkční

Literatura

V. I. Sobolev . Funkční // Matematická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - 1248 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - ed. čtvrtý, revidovaný. — M .: Nauka , 1976 . — 544 s. - 35 000 výtisků.
Rudin W. Funkční analýza. — M .: Mir , 1975. — 443 s.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus
V bibliografických katalozích	GND : 4155667-7 J9U : 987007553161005171 LCCN : sh85052326 NKC : ph114596