Akce (fyzická veličina)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. října 2020; kontroly vyžadují 9 úprav .

Akce
$S=\int L(q,\;{\tečka {q)],\;t)~\mathrm {d} t$
Dimenze	L 2 MT -1
Jednotky
SI	J s _
GHS	erg s _
Poznámky
skalární

Akce ve fyzice je skalární fyzikální veličina , která je mírou pohybu fyzického systému . Akce je matematický funkcionál , který bere jako argument trajektorii fyzikálního systému a jako výsledek vrací reálné číslo .

Akce je jednou ze základních fyzikálních veličin, která je obsažena v moderní formulaci většiny základních fyzikálních teorií ve všech základních částech fyziky, přičemž má velký význam i v teoretické fyzice . V relativně více aplikovaných oblastech může mít menší význam, i když i tam se často používá. Používá se stejně v kvantové, klasické i relativistické fyzice .

V klasické mechanice princip nejmenší akce předpokládá, že fyzikální systém vždy sleduje trajektorii s nejmenší akcí.

V kvantové mechanice , při formulaci teorie v podmínkách integrálů cesty , fyzikální systém současně sleduje všechny možné trajektorie a amplituda pravděpodobnosti následování jisté trajektorie je určena akcí této trajektorie. Jestliže je charakteristická akce mnohem větší než Planckova konstanta , pak je dominantní amplituda klasické trajektorie s nejmenší akcí – kvantová mechanika se tak stává klasickou.

Akce má fyzikální rozměr energie · čas = hybnost · vzdálenost , která se shoduje s dimenzí hybnosti . Podle fyzikálního významu je akce fází kvantové " vlny pravděpodobnosti ", přesněji řečeno je této fázi úměrná (kvůli jiné dimenzi v tradičních systémech fyzikálních jednotek (včetně SI )): - s a konstantní rozměrový koeficient - Planckova konstanta . $S = \hbar\varphi$

Pokud je pro nějaký systém napsána akce , pak to v principu určuje jak jeho klasické chování (tedy chování systému v klasické aproximaci), tak jeho kvantové chování. První je prostřednictvím principu stacionární (nejmenší) akce, druhý je prostřednictvím integrálu Feynmanovy cesty. Samotná akce je přitom napsána stejným způsobem, ve stejné formě, pro klasický i kvantový případ, což z ní dělá velmi pohodlný nástroj (pro kvantování pomocí Feynmanova integrálu v zásadě stačí znát akci definovanou pro běžné klasické trajektorie, tj. zapsanou stejným způsobem jako pro klasickou aplikaci).

Terminologie

Historicky byla terminologie poměrně hodně kolísavá, ale dnes je zvykem nazývat kvantitu akcí

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\;{\tečka {q)),\;t)\,dt

nebo

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\tečka {q}}_{i}- H(q,\;p,\;t){\bigg )}\,dt,

kde:

$t$ - čas,
${\displaystyle q=\{q_{1},\;q_{2},\;\ldots ,\;q_{N}\))$ je kompletní sada souřadnic charakterizující dynamický systém (jeho konfigurační prostor ),
${\dot {q}}=\{{\tečka {q}}_{1},\;{\tečka {q}}_{2},\;\ldots ,\;{\tečka { q}}_{N}\}$ je množina rychlostí ( časové derivace), $q$
$L$ - Lagrangeova funkce , v závislosti na souřadnicích, rychlostech a někdy i explicitně na čase, v klasické mechanice se shoduje s rozdílem mezi kinetickou a potenciální energií; $N$ $N$
$H$ je Hamiltonova funkce , což je celková energie systému, vyjádřená v souřadnicích, jejich konjugovaných momentech a někdy dokonce explicitně v čase. $N$ $N$

Obě veličiny se v principu shodují, ale jsou vyjádřeny odlišně - první v souladu s lagrangeovským formalismem , druhá v souladu s hamiltoniánem . $S$

Je volána zkrácená akce

S_{0}=\int \limits _{A}^{B}\sum _{i}p_{i}\,dq_{i}=\int \limits _{t_{1}}^{ t_{2}}\součet _{i}p_{i}{\tečka {q}}_{i}\,dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\ vec {p}}\cdot {\vec {v}}\,dt,

kde zápis se shoduje s tím použitým výše a výraz v posledním integrálu je skalárním součinem vektorů hybnosti a rychlosti, což v případě jediné částice lze uvažovat v obvyklém newtonovském smyslu.

Obecně v této sekci máme na mysli zobecněné souřadnice (nemusí se nutně shodovat s kartézskými souřadnicemi), zobecněné rychlosti odpovídající těmto souřadnicím a momenty kanonicky konjugované s těmito souřadnicemi. V konkrétním případě je lze volit ve formě kartézských souřadnic, pak (v mechanice) jsou odpovídající impulsy obvyklými složkami vektorových impulsů hmotných bodů systému. $q_{i},\ {\tečka {q}}_{i}$ $p_{i}$

Pro distribuované systémy (například pro pole nebo elastická kontinua ) lze akci obvykle zapsat jako:

S=\int {\mathcal {L}}(q,\;{\tečka {q)),\;x,\;t)\,dVdt

nebo

S=\int {\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\tečka {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,\;p,\; x,\;t){\bigg )}\,dVdt,

kde

${\mathcal {L)],\ {\mathcal {H))$ jsou hustoty Lagrangeovy a Hamiltonovy funkce, v tomto pořadí,
$X$ - bod v prostoru obsazený médiem nebo polem (často - obyčejný trojrozměrný prostor ),
$dV$ je objemovým prvkem tohoto prostoru,
$q_{i},\ p_{i}$ jsou hodnoty zobecněných souřadnic (například posunutí pružného prostředí nebo u pole proměnné pole, jako je například elektromagnetický potenciál) a zobecněné impulsy pro daný bod distribuovaného systému (střední resp. pole). $X$

Integrace se provádí jak v prostoru, tak v čase. Celkový počet souřadnic a impulsů popisujících systém, jak vidíme, je v tomto případě nekonečný, protože jejich počet je konečný pouze pro jeden a samotná množina je nekonečná. $q_{i},\ p_{i}$ $X$ $X$

Celkový přehled

Z moderního pohledu má akce význam fáze vlnové funkce (tradičně se však vyjadřuje - pro přímější spojení s klasickou mechanikou - v jiných jednotkách, konkrétně , kde - akce, - fáze v radiány a - Planckova univerzální konstanta ). $S = \hbar\varphi$ $S$ $\varphi$ $\hbar$

Klasická fyzika (mechanika a teorie pole) je vysokofrekvenční a krátkovlnná aproximace kvantové fyziky, kdy vlnové fáze jsou velmi velké ( ), což znamená, že za daných („klasických“) experimentálních podmínek (charakteristické rozměry, charakteristické hybnosti a charakteristických energií uvažovaného problému), budou kvantové korekce klasické teorie poměrně malé (v praxi jsou nejčastěji tak malé, že je nelze experimentálně zjistit). V tomto případě je kvantový problém jako celek značně zjednodušen a přechází do klasického a lze použít princip nejmenší akce a/nebo Hamilton-Jacobiho rovnici , ve které akce nadále hraje klíčovou roli. $S/\hbar \gg 1$

Na druhé straně v kvantové fyzice při řešení stejného problému bez podmínky hraje akce zvláště velkou roli ve formalismu integrálu Feynmanovy cesty. Některé výsledky klasické teorie pole jsou navíc zcela přímo přeneseny v jistém smyslu do kvantového případu, a protože akce je jedním z nejjednodušších objektů, manipulace s ní (a především samotné psaní akce pro daný dynamický systém - pole, částice, interagující pole nebo částice nebo jiné objekty) jsou často jedním z nejúčinnějších nástrojů při formulování kvantové teorie různých polí, i když nezahrnují psaní a práci s integrál cesty explicitně. $S/\hbar \gg 1$

Historie

Maupertuis v dílech 1740 (?) , 1741 - 1746 nejprve formuloval princip nejmenší akce pro mechaniku a navrhl, že se jedná o univerzální zákon přírody, interpretující optiku ( Fermatův princip ) v podmínkách akce (použil to, co se dnes běžně nazývá zkrácená akce ). Maupertuis se přikláněl k teologickému výkladu tohoto principu, který podle jeho názoru svědčil o určité dokonalosti světa stvořeného Bohem.

Ještě za Maupertuise byla tato jeho díla podporována a rozvíjena Eulerem , který také vyvinul variační počet , což umožnilo co nejúčinněji realizovat výhody principu.

Lagrange pak , v Mécanique analytique, publikoval v 1788 , vyvinul aplikaci principu nejmenší akce v mechanice, používat počet variací a představovat zobecněné souřadnice. Ten také v roce 1795 zavedl metodu neurčitých multiplikátorů , která umožňuje výrazně zlepšit používání principu nejmenší akce v problémech s omezeními .

Akce pro rychle se pohybující („relativistickou“) částici byla opravena (ve srovnání se starou newtonovsko-lagrangeovskou verzí, jejíž rozsahem jsou pohyby pomalé ve srovnání s rychlostí světla ) na počátku 20. poprvé to bylo výslovně provedeno, zřejmě Planckem v roce 1907 [1] , v této souvislosti lze také zmínit práce Minkowského ( 1907 ) a Borna ( 1909 ) [2] . Pro částici s volným bodem měla podobu intervalu (délka - správný čas - v Minkowského časoprostoru ) podél světové linie (trajektorie časoprostoru) částice s opačným znaménkem, která rychle nahradila obvyklý newtonovský výraz. částicová mechanika. Proto princip nejmenšího působení pro relativistické částice vede k maximálnímu možnému správnému času podél trajektorie.

V roce 1915 Hilbert pomocí variační metody s ohledem na Einstein-Hilbertovu akci, obdržel správné rovnice gravitačního pole v obecné teorii relativity . V tomto případě snad poprvé byla v takové úplnosti využita výhoda jednoduchosti přístupu, vycházejícího ze zápisu skalární (invariantní) akce z obecných úvah (jejichž explicitní podoba není předem známa), a pak získání pohybových rovnic pro pole (polní rovnice) změnou tohoto funkčního .

Na počátku 20. století Planck , Bohr , Sommerfeld , Schwarzschild a další použili akci (obvykle zkrácenou akci) k časnému formulování kvantové teorie, která je z moderního pohledu jakousi semiklasickou aproximací , která se ukázala se docela dobře hodí k popisu takových klíčových problémů, jako je harmonický oscilátor a atom s kruhovými a eliptickými elektronovými dráhami (alespoň v nejjednodušším případě atom vodíku). Kvantovací pravidlo, které bylo v této fázi vývoje kvantové teorie široce používáno, bylo redukováno na kvantování zkrácené akce na uzavřených drahách v souladu s podmínkou

\oint \sum p_{i}\,dq_{i}=n\hbar

nebo (v kartézských souřadnicích pro jednu částici): .

\oint {\vec p}\cdot {\vec {dr}}=n\hbar

Louis de Broglie ( 1923-1924 ) použil tento formalismus k formulaci svých tvrzení o vlnové povaze elektronu a hmotných částic obecně.

Významnou roli v doložení moderní formy kvantové mechaniky (ve smyslu objasnění jejího vztahu s klasickou) sehrála Hamiltonova-Jacobiho rovnice , která se zabývá dějem v závislosti na souřadnicích a čase , již má tvar blízká tvaru základní rovnice kvantové mechaniky - Schrödingerovy rovnice - a která je na této úrovni, je v podstatě její klasická mez.

Feynman vyvinul metodu integrace cest v kvantové mechanice ( 1938 ), která přeformulovala kvantovou mechaniku tak, že organicky používala klasický akční funkcionál a rozdíl mezi úplným kvantovým popisem a klasickým popisem byl redukován na potřebu součet množství přes všechny myslitelné trajektorie (a ne jen jednu klasickou trajektorii nebo blízko ní). Tento formalismus je jedním z nejpopulárnějších v moderní teoretické fyzice vysokých energií, nachází uplatnění (spolu s technikou Feynmanových diagramů) v jiných oblastech fyziky, stejně jako v čisté matematice. Následně ( 1949 ) Feynman vyvinul metodu Feynmanových diagramů , úzce související s integrací cest, i když ji lze přeformulovat bez explicitního použití tohoto přístupu, který se stal jedním z hlavních v kvantové teorii pole a poskytl jeden ze způsobů, jak překonat obtíže kvantové elektrodynamiky , která se v roce V důsledku toho se stala jednou z nejpřesnějších fyzikálních teorií a standardním modelem pro konstrukci dalších kvantových teorií pole. $e^{{iS}}$

Od druhé poloviny 20. století byla vynalezena řada zobecnění akce pro bodovou částici, například v oblasti teorie strun - akce Nambu-Goto(akční plocha) a akce Polyakov.

Závěrem je třeba říci, že v moderních abstraktních oblastech teoretické fyziky je akce jedním z hlavních nástrojů pro formulaci konkrétní teorie již od počáteční fáze. Jedním z velmi běžných způsobů formulování nové teorie je například to, že se pro zkoumaný systém nejprve pokusí napsat akci, omezí možné možnosti uložením podmínek symetrie a často také úvahami o jednoduchosti.

Akce v klasické mechanice

Akce v klasické mechanice je psána ve dvou formách, v konečném důsledku ekvivalentní:

Lagrangian:

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\;{\tečka {q)),\;t)\,dt

nebo hamiltonián:

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\tečka {q}}_{i}- H(q,\;p,\;t){\bigg )}\,dt.

(zkrácená akce viz odstavec „Terminologie“ výše ).

Navzdory ekvivalenci na konci mají lagrangeovské a hamiltonovské formy zápisu akce různé technické a ideologické výhody. Každá z nich může být považována za základ pro konstrukci (na principu nejmenšího neboli stacionárního, působení ), respektive lagrangeovské a hamiltonovské formy mechaniky. Konkrétně přímou změnou první akce pro každou nezávisle na ostatních, nebo ekvivalentně napsáním Eulerových-Lagrangeových rovnic pro tento funkcionál , pro druhý tvar - měnící se nezávisle pro každý a (zapsáním Hamiltonových rovnic ) je snadné získat pohybové rovnice v Lagrangeově a Hamiltonově formě. V konkrétním případě použití kartézských souřadnic se bude jednat o newtonovské pohybové rovnice. $\delta q_{i}$ $\delta q_{i}$ $\delta p_{i}$

Odvozením pohybových rovnic s vhodnou volbou souřadnic (obecně řečeno ne kartézských) a použitím metody neurčitých Lagrangeových multiplikátorů lze snadno získat ve vhodné formě pohybové rovnice pro systémy s omezeními , někdy s vyloučením omezení. reakce z nich (což může rovnice výrazně zjednodušit).

Je třeba poznamenat, že přes všechnu svou zásadní důležitost pojem akce nezahrnuje určité případy makroskopické mechaniky; například nedovoluje napsat akci za přítomnosti libovolných disipativních sil , a tudíž nedovoluje použít k jejich popisu princip nejmenší akce.

Klasický děj z moderního pohledu je veličina úměrná fázi kvantové vlnové funkce příslušné částice nebo systému (ve skutečnosti se jedná o fázi, pouze měřenou v jiných jednotkách; koeficient úměrnosti v rámci klasické mechanika je neznámá - jedná se v podstatě o kvantovou veličinu, z pohledu klasické mechaniky je důležité pouze to, že je velmi malá). Stejná klasická mechanika je krátkovlnná limita kvanta a lze ji z ní získat přechodem . $\hbar /S\šipka doprava 0$

Akce pro distribuované systémy

Pro mechanické distribuované systémy (například pro elastická kontinua) lze akci obvykle zapsat takto:

S=\int {\mathcal {L}}(q,\;{\tečka {q)),\;x,\;t)\,dVdt

nebo

S=\int {\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\tečka {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,\;p,\; x,\;t){\bigg )}\,dVdt,

kde je objemový prvek, trojrozměrný v případě popisu polí v trojrozměrném prostoru, jsou hustoty Lagrangeovy funkce a Hamiltonovy funkce a jsou proměnné pole (například potenciály), odpovídající rychlosti a kanonicky konjugovat momenta. Každá taková proměnná pole, rychlost a hybnost, je funkcí „prostorových“ proměnných a času, představuje tedy nekonečnou dimenzi (s přihlédnutím k fyzikální myšlence možné atomové diskretizace distribuovaného systému – jen velmi multidimenzionálního) vektor. Výběr samostatné souřadnice spočívá v expanzi na nějaké bázi (může to být například báze delta funkcí, která v podstatě redukuje vše na hranici diskrétního problému, ale možná ještě více se používá Fourierova transformace často kvůli jeho pohodlí ). $dV$ ${\mathcal {L)],\ {\mathcal {H))$ $q,\ {\tečka {q))$ $p$ ${\dot q}=\částečné q/\částečné t$ $q=q(x,\;y,\;z,\;t),\ {\tečka {q))={\tečka {q))(x,\;y,\;z,\ ;t),\ p=p(x,\;y,\;z,\;t)$ $q_{i}\in \mathbb{R}$ $q$

U nemechanických distribuovaných systémů je takový zápis možný na základě analogie s mechanickými. Obdobná metoda funguje zejména pro fundamentální obory, které formálně také odpovídají definici distribuovaných systémů (i když i to lze považovat pouze za analogii, otázka té či oné volby je zde v podstatě terminologická). Základní fyzikální pole jsou podrobně zvažována v samostatné části, i když běžné distribuované systémy, zejména mechanické, poskytují obecně dostatečně dobré modely, které pomáhají porozumět konstrukci dynamiky těchto polí a zejména problémům souvisejícím s akcí.

Příklady :

Pro homogenní izotropní spojité lineární (podle Hookova zákona; ve skutečnosti to téměř vždy znamená omezení použitelnosti modelu na případy malých deformací) elastické médium vyplňující trojrozměrný prostor nebo jeho oblast, v nejjednodušším případě působení lze napsat jako

S=\int \left({\rho \over 2}({\dot {u)))^{2}-{E \over 2}(\nabla u)^{2}\right)\ ,dxdydzdt,

kde je hustota prostředí, je modul pružnosti, je odchylka pružného prostředí v daném bodě v daném časovém okamžiku od podmíněné rovnovážné polohy, je rozložená zobecněná souřadnice (v tomto problému se jedná o tři -rozměrný vektor, ale za formulovaných podmínek lze každou jeho složku uvažovat samostatně), je rychlost změny v čase - distribuovaná rychlost je samozřejmě také funkcí . zde je operátor gradientu, který lze zde považovat za aplikovaný samostatně na každou složku , když se pak sečtou druhé mocniny tří složek.

\rho =\mathrm {const}

E=\mathrm {const}

u=u(x,\;y,\;z,\;t)

{\tečka u}

u

x,\ y,\ z,\ t

\nabla

u

Variace tohoto funkcionálu dává pohybovou rovnici ve formě obyčejné vlnové rovnice nezávisle pro každou složku , tedy pro .

u

u

{\displaystyle u_{x},\ u_{y},\ u_{z))

Písemnou akci lze snadno použít pro nehomogenní médium, tedy pro nekonstantní a , a lze jej také přímo zobecnit na anizotropní média s tenzorem . Ve všech těchto případech se bude pohybová rovnice média již znatelně lišit od obvyklé vlnové rovnice, ale lze ji získat téměř stejně snadno změnou této akce.

\rho

E

E

Akce v klasické teorii pole

Akce v klasické teorii pole se používá k odvození rovnic pole (volných i se zdroji) z principu stacionárního (nejmenšího) působení (kolísáním proměnných pole). Používá se také k získání pohybových rovnic částic při interakci s daným polem, rovněž na principu stacionárního (nejmenšího) působení, ale změnou souřadnic (a v hamiltonovské verzi i hybnosti) částic.

Samotný typ akce pro pole (aplikovaný v klasickém i kvantovém smyslu) je obecně velmi podobný typu akce pro distribuované systémy (zejména pro mechanické distribuované systémy, jako je struna, membrána atd. ). To nám umožňuje vytvořit někdy přímou, někdy podmíněnou analogii mezi jedním a druhým případem, i když v detailech se oba mohou výrazně lišit (takže přímá mechanická analogie není vždy možná a někdy se prostě ukáže, že to není příliš snadné). stavět a používat).

Nejčastěji (v případě lineárních polí nebo jejich studia v lineární aproximaci) má akce poměrně jednoduchou formu a rozděluje se do tří pojmů:

{\displaystyle S=S_{f}+S_{\mathrm {int} }+S_{s))

kde je „působení volného pole“ — které je podstatné pro studium chování pole bez jeho interakce s „látkou“ (jiná pole), je interakční termín, z něhož vychází působení „látky“ (jiná pole ) na daném poli je odvozeno, je působení pro volné „látky“ (jiná pole), které určuje jejich chování v nepřítomnosti tohoto pole, zejména takové vlastnosti „látky“, jako je její inertnost. Tvar druhého členu definuje v rovnicích pole členy představující jeho zdroj (zdroje) a určuje působení daného pole na "látku" (jiná pole), například pohybové rovnice nabité částice v dané pole (přesněji síly na něj působící) jsou odvozeny od a . $S_{f}$ $S_{\mathrm {int} }$ $S_{s}$ $S_{\mathrm {int} }$ $S_{s}$

U v podstatě nelineárních polí však takové rozdělení na tři samostatné členy obecně selhává (a i při izolaci lineární aproximace často zůstávají určité druhy problémů, i když je to samo o sobě často smysluplné a možné). Například v obecné teorii relativity (a dalších metrických teoriích gravitace ) spadá gravitační pole do termínu týkajícího se "látky" (a negravitačních polí) ve formě metriky zahrnuté v objemovém prvku a v kovariantní deriváty. Tato skutečnost zajišťuje interakci gravitace s "látkou" bez nutnosti samostatného členu (případ tzv. minimálního spojení ) a také činí rovnici gravitačního pole v podstatě nelineární. Další příklad (sice související s kvantovou teorií pole, ale také s analogií v klasické): kvantová elektrodynamika - její lineární aproximace při výpočtu podle poruchové teorie ve smyčkových diagramech vede k nekonečným nesmyslným výsledkům spojeným se skutečnou nemožností rozlišit holé (holé, holé, neinteragujících) polí nabité částice a elektromagnetického pole. Cestou k vyřešení tohoto problému byl renormalizační program, který obnovuje Lagrangian reálných (interagujících) polí. $S_{\mathrm {int} }$

Skalární pole

Mezi základními fyzikálními poli, skalárními poli , i když jsou v teorii přítomna, je jejich samotná existence do značné míry hypotetická, a proto jsou vlastnosti poměrně málo známé. Toto je však nejjednodušší případ; Kromě fundamentálních polí jsou navíc zajímavá i makroskopická pole, jako je například tlakové pole plynů v akustice, které v případě malých (a hladkých) odchylek od rovnováhy může být v určitém smyslu přímo přirovnáván k abstraktnímu skalárnímu poli.

Nejjednodušší druh akce pro skalární pole vedoucí k rovnici lineárního pole je tvar: $\varphi$

S=S_{f}+S_{\mathrm {int} }+S_{s}=\int {\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {1}{c^{ 2}}}(\částečné _{t}\varphi )^{2}-(\nabla \varphi )^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right)\,dVdt+S_{ \mathrm {int} }+S_{s},

(psáno ve tvaru odpovídajícím poli v trojrozměrném prostoru; zde - "konstanta síly", - rychlost šíření vln pole , která se u základních polí obvykle - aby nedošlo k porušení principu relativity - předpokládá být rovna rychlosti světla, - trojrozměrný gradient, - hmotnost pole ( pro bezhmotná pole), je prvkem trojrozměrného objemu). Jak vidíte, je Lorentzova invariantní a je velmi snadné ji přepsat do čtyřrozměrného zápisu, ve kterém je to ještě patrnější. $\alpha$ $C$ $\varphi$ $\nabla$ $m$ $\varphi$ $m=0$ $dV$ $S_{f}$

Když se mění v (pro volné pole, tj. pro ), dává tato akce Klein-Gordonovu rovnici a když - vlnovou rovnici . Případ poskytuje variantu Klein-Gordonovy rovnice pro tachyonové skalární pole, kterou lze použít i teoreticky (jedná se o pole s nestabilní rovnováhou v nekonečném prostoru nebo bez zavádění okrajových podmínek vedoucích ke stabilitě). $\varphi$ $S_{\mathrm {int} }=S_{s}=0$ $m=0$ $m^{2}<0$ $\varphi=0$

Termín interakce zde nebudeme specifikovat, protože zde neuvažujeme žádné konkrétní skalární pole a jeho interakci s něčím jiným. Všimněte si však, že pokud nechceme porušit princip relativity, musí být tento termín také Lorentzův invariantní (stejně jako ). Například pro interakci s jiným skalárním polem může být tento člen buď nebo nebo jejich součet atd.). $S_{\mathrm {int} }$ $S_{f},\ S_{s}$ $u$ $\mathrm {const} \cdot \int \varphi u\,dVdt$ $\mathrm {const} '\cdot \int (\partial _{i}\varphi )(\partial ^{i}u)\,d^{4}x$

Elektromagnetické pole

Standardní akce pro elektromagnetické pole je psána jako

S=S_{f}+S_{\mathrm {int} }+S_{s},

kde

S_{f}=-{\frac {1}{2\alpha }}\int F_{ij}F^{ij}\,dxdydzdt={\frac {1}{\alpha }}\int ( E^{2}-H^{2})\,dxdydzdt

— působení pro volné pole ( zde — tenzor elektromagnetického pole, — konstanta v závislosti na systému použitých jednotek, je myšlena sumace podle Einsteinova pravidla ),

F_{{ij}}

\alpha

i,\j

Termín interakce lze napsat různými způsoby:

S_{\mathrm {int} }=-\int A_{i}j^{i}\,dxdydzdt

nebo

S_{int}=-\int qA_{i}u^{i}\,d\tau =-{\frac {1}{c))\int qA_{i}\,dx^{i} =\int (-q\varphi +q{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}/c)\,dt,

(první forma je vhodná pro odvození rovnice (rovnic) pole (se zdroji) a druhá pro odvození pohybové rovnice nabité částice; zde je elektromagnetický potenciál , je náboj částice, je 4-rychlost , je vlastní časový diferenciál (interval dělený ) a - elektrický a trojrozměrný vektorový potenciál, - trojrozměrná rychlost, - rychlost světla a - čtyřrozměrné časoprostorové souřadnice; pro několik částic několik členů tohoto formulář by měl být přijat - jeden pro každého), $A_{i}$ $q$ $ty^{i}$ $d\tau$ $C$ $\varphi$ ${\vec A}$ ${\vec {v}}$ $C$ $dx^{i}=(dx^{0},\;dx^{1},\;dx^{2},\;dx^{3})=(c\,dt,\;dx ,\;dy,\;dz)$

S_{s}

- akce pro "látku" (volné částice), která spolu s slouží k odvození pohybových rovnic nabitých částic. U rychlých („relativistických“) částic (viz níže) je třeba provést akci (zanedbávat rotaci).

S_{\mathrm {int} }

S_{s}=-\int mc^{2}\,d\tau =-\int mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}\ ,dt,

kde je hmotnost (klidová hmotnost) částice, je rychlost světla, je správný časový rozdíl (pro několik částic je třeba vzít součet několika členů tohoto typu). $m$ $C$ $d\tau$

Pokud je pohyb částic ve srovnání s rychlostí světla pomalý a Newtonovská aproximace je dostatečná, můžeme provést odpovídající přibližnou akci, která je obvyklá pro klasickou mechaniku:

S_{s}=\int {\frac {mv^{2}}{2}}\,dt.

Nejjednodušší způsob, jak získat Maxwellovy rovnice, je ve formě

\partial _{i}F^{{ik}}=\alpha j^{k},

změnou výše uvedené akce a použitím definice . $A_{i}$ $F_{{ij}}=\částečné _{i}A_{j}-\částečné _{j}A_{i}$

Změnou s , dostáváme pohybové rovnice, které vypadají nejjednodušeji ve čtyřrozměrné podobě: $x^i$

dp^{i}/d\tau =m\,du^{i}/d\tau =qF_{j}^{i}u^{j},

kde se pravá strana shoduje s obvyklou Lorentzovou silou , která může být také zapsána (a je-li to žádoucí, explicitně získána) v trojrozměrné formě; to znamená, že v trojrozměrné formě bude pohybová rovnice:

{\frac {d\mathbf {p} }{dt))=q\mathbf {E} +q\ \mathbf {v} \times \mathbf {B} .

Relativistická akce

Působení pro elektromagnetické pole (jak jeho termín pro volné pole, tak termín popisující interakci s proudy) je Lorentz invariantní od samého počátku (přesněji jde o 4- skalární ). Totéž lze říci o působení pro všechna základní pole známá v moderních teoriích (a to trochu přesněji řečeno v obecně uznávaných teoriích, které prošly experimentálním ověřením).

Působení klasické (newtonovské) mechaniky, bez ohledu na to, v jaké formě je zapsáno, hamiltonovské nebo lagrangeovské, však nemá vlastnost Lorentzovy invariance. Historicky se v určitém okamžiku (na přelomu 19. a 20. století) stalo nutností uvést mechaniku do souladu s principem relativity, a proto ji učinit Lorentz-kovariantní. Nejjednodušší způsob, jak toho dosáhnout, je napsat pro částici („hmotný bod“) takovou akci, která by byla Lorentzova-invariantní, a pak pomocí obvyklého variačního postupu z ní získat pohybovou rovnici, která již bude Lorentzova-invariantní. kovariance (přibližně pro pomalé pohyby se taková mechanika musí shodovat s newtonskou, protože byla dobře testována pro nízké rychlosti).

Nejjednodušší akce pro volnou částici, kterou lze na základě Minkowského geometrie navrhnout, je veličina, která se až do konstantního faktoru shoduje s délkou světové linie dané částice (a rozměrové úvahy určí koeficient ):

S=-\int mc^{2}\,d\tau =-\int mc\,ds=-mc^{2}\int u^{i}u_{i}\,d\tau = -mc^{2}\int {\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}\,dt,

kde je hmotnost (klidová hmotnost), je správný čas měřený podél světové linie částice, je prvek intervalu podél ní, je 4-rychlost, je trojrozměrná rychlost, je čas („souřadnice čas“, čas laboratorního referenčního rámce). $m$ $\tau$ $ds$ $ty^{i}$ $proti$ $t$

Rozšiřováním v řádech malosti (v případě, že je dostatečně malý, mnohem menší než jednota), snadno získáme nerelativistické působení klasické mechaniky: ${\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ $v^{2}/c^{2}$

S=-mc^{2}\int {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\,dt\approx \int \left(-mc^{2}+{ \frac {mv^{2}}{2}}\right)\,dt=\mathrm {const} \cdot (t_{2}-t_{1})+\int {\frac {mv^{2} }{2}}\,dt=\mathrm {const} \cdot (t_{2}-t_{1})+S_{\mathrm {newtonian} },

kde první člen lze zahodit, protože nijak nepřispívá k pohybovým rovnicím (s výjimkou příspěvku k rovnicím gravitačního pole, ve kterém jeho vliv nemizí ani v této aproximaci; zde jsme mluvíme o pohybových rovnicích samotné částice, pro kterou je akce napsána, a gravitace v Einsteinově smyslu se neuvažuje). Pokud chcete, můžete v rozšíření ponechat také členy dalších řádů v , které poskytují relativistické korekce pro případ nízkých rychlostí (místo použití přesné relativistické akce a přesných pohybových rovnic, pokud je to nějak vhodné) . $v^{2}/c^{2}$

Akce v teorii gravitace

Pro Newtonovu teorii gravitace by se akce dala zapsat jako kde je působení „hmoty“, jak se říká v teoriích gravitace – tedy všeho kromě gravitace a – trojrozměrný gradient gravitačního potenciálu (který znamená nekonečnou rychlost šíření gravitační interakce). Tato hodnota zjevně není Lorentzova invariantní , proto ji lze, stejně jako všechny klasické mechaniky, rozšířit - přibližně - na případ pomalého (ve srovnání s rychlostí světla) pohybu a nepříliš silných gravitačních polí (už jen proto, že silná pole, obecně řečeno, zrychlí tělesa na vysokou rychlost). Existuje mnoho teorií, které tak či onak pozměnily tuto akci tak, aby byla Lorentzova invariantní (viz Alternativní teorie gravitace ), ale většina z nich má nyní pouze historický význam, nebo naopak, ještě neprokázala své výhody. vědecké komunitě. Také některé slibné teorie pro popis gravitace (ačkoli také dosti vzdálené konečnému tvrzení), jako například teorie strun a její zobecnění, jsou také poměrně složité a pokrývají nejen gravitaci, proto si zaslouží samostatnou úvahu. $S={1 \over 16\pi G}\int (\nabla \varphi )^{2}\,dxdydzdt+S_{m},$ $S_{m}$ $\nabla \varphi$

Proto se zde omezujeme na provedení akce odpovídající hlavní (nekvantové) teorii gravitace moderní fyziky – obecné teorii relativity . Toto je akce Einstein-Hilbert :

S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x+S_{m},

kde je Newtonova gravitační konstanta , je skalární zakřivení (Ricciho skalární) časoprostoru, je determinantem matice složek metrických tenzorů a je akce pro negravitační pole (hmotné částice, elektromagnetické pole atd.) . $G$ ${\displaystyle R=R_{\mu }^{\mu ))$ $g=|g_{\mu \nu }|$ $S_{m}$

Změnou této akce podél časoprostorové metriky (která hraje roli gravitačního potenciálu, tedy proměnných pole v této teorii), získáme Einsteinovy rovnice (někdy také nazývané Einstein-Hilbertovy rovnice) ve tvaru: $g_{ij}$

R_{{\mu \nu }}-{R \over 2}g_{{\mu \nu }}={8\pi G \over c^{4}}T_{{\mu \nu }}

(takto je dostal Gilbert poprvé v roce 1915 , Einstein šel jinou cestou).

Člen rovnice popisující zdroj gravitačního pole (pravá strana) je v tomto případě získán proto, že metrika , podél které se variace provádí, je také zahrnuta alespoň prostřednictvím faktoru , který je obsažen ve výrazu pro prvek (čtyřrozměrného) objemu (zde je hustota Lagrangeovy funkce pro "látku" - tedy všechna negravitační pole a - jejich tenzor energie-hybnosti ). $g_{\mu \nu }$ $S_{m}=\int {\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ ${\sqrt {-g))$ ${\mathcal L}$ $T_{\mu \nu }$

Působení pro gravitační pole obecné teorie relativity lze také přepsat do jiné formy, ekvivalentní této, s výjimkou okrajových podmínek (a pokud jsou okrajové podmínky z nějakého důvodu nastaveny na nulu, pak ve zcela ekvivalentní podobě) a obsahující pod integrálem místo tenzoru křivosti konstrukci z , kterou lze interpretovat jako druhou mocninu síly pole gravitačního pole - tedy v podobě podobné, jak se děj obvykle píše pro jednodušší - skalární a vektorový - pole, například elektromagnetická. $\Gamma _{{\mu \nu }}^{\lambda }$

Doplněním výše napsané akce o člen , získáme Einsteinovy rovnice s -členem: $\int \Lambda {\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ $\lambda$

R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{ \mu \nu }.

Zcela uspokojivá kvantová teorie gravitace, pokud je známo, v současnosti ( 2009 ) neexistuje. Mnoho teorií, které si tuto roli mohou více či méně nárokovat, však dává obvykle efektivní Einstein-Hilbertovu akci v limitu nízké energie.

Akce a kvantová mechanika

Akce pro fermionická pole

Pro fermionická (zejména pro spinorová ) pole lze nejen napsat akci, ale také získat formálně klasické rovnice pro tato pole změnou takové akce. Na rozdíl od bosonových polí jsou však fermionová pole pozorována ve své klasické formě hůře, protože Pauliho princip zakazuje, aby více než jeden fermion byl ve stejném stavu, což je u bosonů povoleno a umožňuje, aby byly ve stejném kvantovém stavu ve velkém množství. , které má být pozorováno jako běžné klasické pole, jako je elektromagnetické pole. Zároveň však existuje teorém, který (alespoň v rámci použitelnosti poruchové teorie) tvrdí, že výsledek druhé kvantizace pro taková fermionová pole se shoduje s interpretací takových „klasických“ polí, jako jsou vlnové funkce fermionů. ve smyslu prvního kvantování .

Tak například Diracova rovnice získaná pomocí principu stacionárního děje z té či oné formy zápisu akce pro částici se spinem 1/2 přímo souvisí s kvantovým popisem takového fermionu (například elektronu) .

Diracova rovnice má vlastnost, která představuje určité potíže při jejím získání z akce s kvadratickým Lagrangianem (a jakýmkoli jiným, pokud použijete obvyklá pravidla variace a považujete spinorové složky za běžná čísla). Tato vlastnost je prvním řádem derivací v Diracově rovnici.

Někdy se ze situace dostaneme prostým zavedením umělých formálních modifikací omezení variačních pravidel nebo akcí derivátových operátorů.

Systematičtější přístup je, že fermionová pole (spinor a jejich složky) jsou považovány za Grassmannovy, tedy antikomutační čísla, která oproti běžným mění znaménko členů s derivacemi prvního a druhého řádu, díky čemuž se členy druhého řádu při variování ničí, zatímco první zůstávají.

Integrál Feynmanovy cesty

Feynmanův dráhový integrál je použitelný pro kvantový popis jak bodových částic v běžném prostoru, tak polí (jako distribuovaných systémů) v konfiguračním prostoru (a tato použitelnost v obou případech není v zásadě překvapivá, protože formální rozdíl mezi bodovou částicí a vícerozměrný, až nekonečněrozměrný, dynamický systém - pouze v dimenzi konfiguračního prostoru, která je obecně dobře srozumitelná již v rámci klasické mechaniky).

Pokud je akce (v podstatě se shodující s obvyklou klasickou akcí, alespoň u systémů, jejichž popis není tak exotický, aby takové použití slova znesnadňovala) známá, to znamená, že může být zapsána pro obvyklou klasickou trajektorii v " obyčejný" nebo konfigurační prostor ( možná čas nebo jen proměnná, když je parametricky specifikován ve čtyřrozměrném zápisu), pak lze kvantovou vlnovou funkci takového systému s bodovým zdrojem v časoprostorovém bodě [3] zapsat jako funkcionální integrální $S[x]$ $x(\tau)$ $\tau$ $x_{1}$

\Psi (x_{2},\;x_{1})=\int Dxe^{iS[x]/\hbar },

kde je trajektorie začínající v a končící v , integrál znamená součet přes všechny myslitelné takové trajektorie, pro každou z nich má akce svůj vlastní význam. Navíc v relativistickém případě jsou mezi trajektoriemi trajektorie s úseky zpětného pohybu v čase, které lze interpretovat jako trajektorie virtuální antičástice v dopředném čase, a body obratu - jako virtuální zrod a anihilace párů částice-antičástice . $X$ $x_{1}$ $x_{2}$ $S[x]$

V kvantové teorii pole se integrace uplatňuje jak nad trajektoriemi částic v běžném prostoru (přesněji v časoprostoru), což se v tomto případě obvykle nazývá primární kvantování , tak nad trajektoriemi v prostoru proměnných pole, které se nazývá sekundární kvantování . . Obě metody, pokud je známo, dávají ekvivalentní výsledky v rámci teorie poruch.

Feynmanův dráhový integrál je jednou z nejpopulárnějších metod kvantování (konstrukce kvantové teorie) mezi moderními teoretickými fyziky. Zároveň je to jeden z nejpřímějších způsobů srovnání kvantového obrazu s klasickým, což je jedna z jeho vážných psychologických výhod, protože každá trajektorie v něm je v zásadě vnímána jako klasická a akce je vypočítaný přesně podle klasického receptu, díky kterému je teorie v řadě případů a aspektů výrazně viditelnější a srozumitelnější než jiné přístupy. Tato vlastnost je mimo jiné vhodná pro přechod na limit ke klasice (viz níže) a přechod na ni na základě dráhového integrálu je v tomto smyslu jedním z nejstandardnějších způsobů moderní fyziky. Totéž platí pro dostatečnou pohodlnost získání semiklasické aproximace tímto způsobem (viz také níže).

V řadě případů (velmi omezených - když je akce kvadratická v souřadnicích nebo proměnných pole a jejich derivacích a integrál je redukován na vícerozměrný Gaussian s přechodem k limitě do nekonečně rozměrného případu), integrál Feynmanovy cesty lze vypočítat explicitně a přesně. Jeho výpočet je procvičován numerickými metodami. V mnoha případech je tento integrál užitečný při různých transformacích a dalších teoretických výpočtech.

Je snadné stanovit ekvivalenci přístupu integrace cesty ke Schrödingerově rovnici , alespoň v triviální topologické situaci.

Pro volná (neinteragující) pole na prázdném plochém prostoru často integrace cesty umožňuje explicitně získat propagátor , který se ukáže být stejný jako propagátor získaný z diferenciální rovnice pro odpovídající pole (např. vlnová rovnice pro bezhmotné skalární pole). Ukazuje se, že pro interagující pole je integrál cesty možná nejpřirozenější (a mezi moderními teoretiky nejoblíbenější) způsob, jak ospravedlnit techniku Feynmanových diagramů . Faktem je, že dráhový integrál pro systém interagujících částic (polí) se snadno rozdělí na části, kde k interakci nedochází (a výsledek, jak jsme si řekli o něco výše, je pro tento případ znám - jedná se o propagátor odpovídající chování volného pole, které lze docela snadno spočítat jakýmkoli způsobem), doplněné bodovou interakcí, která již redukuje na obvyklou konečnorozměrnou integraci - v souladu s Feynmanovými pravidly .

Kvantování dráhového integrálu však není omezeno na poruchovou teorii (Feynmanovy diagramy). Tato metoda také nachází více netriviálních aplikací, a to jak v teoretické fyzice, tak v některých oblastech čisté matematiky. [4] [5] [6]

Akce a konečný přechod ke klasice

V kvantové mechanice se skutečnost, že chování kvantově mechanického systému inklinuje ke klasické fyzice v limitu velkých akcí (velká kvantová čísla ), nazývá principem korespondence . Tento princip zavedl Niels Bohr v roce 1923 .

Pravidla kvantové mechaniky se velmi úspěšně uplatňují při popisu mikroskopických objektů, jako jsou atomy a elementární částice . Na druhé straně experimenty ukazují, že různé makroskopické systémy ( pružina , kondenzátor atd.) lze poměrně přesně popsat v souladu s klasickými teoriemi pomocí klasické mechaniky a klasické elektrodynamiky (i když existují makroskopické systémy, které vykazují kvantové chování, jako např. supratekuté kapalné helium nebo supravodiče ). Je však docela rozumné se domnívat, že konečné zákony fyziky by měly být nezávislé na velikosti popisovaných fyzických objektů. Toto je předpoklad pro Bohrův princip korespondence, který říká, že klasická fyzika by se měla objevit jako přiblížení ke kvantové fyzice, jak se systémy stávají velkými .

Podmínky, za kterých se kvantová a klasická mechanika shodují, se nazývají klasická limita . Bohr navrhl hrubé kritérium pro klasickou limitu: k přechodu dochází, když jsou kvantová čísla popisující systém velká , což znamená, že buď je systém excitován na velká kvantová čísla, nebo že je systém popsán velkou sadou kvantových čísel, nebo obojí. . Modernější formulace říká, že klasická aproximace platí pro velké hodnoty akce . Z hlediska "školní" fyziky to znamená, že je třeba dodržet nerovnosti: $S\gg\hbar$

P\krát l\gg \hbar

E\times t\gg\hbar

(součin charakteristické hybnosti procesu a jeho charakteristické velikosti a součin charakteristické energie procesu a jeho charakteristické doby jsou mnohem větší ) $\hbar$

Princip korespondence je jedním z nástrojů dostupných fyzikům, aby si vybrali kvantovou teorii , která odpovídá skutečnosti . Principy kvantové mechaniky jsou poměrně široké - například uvádějí, že stavy fyzikálního systému zabírají Hilbertův prostor , ale neříkají který. Princip korespondence omezuje výběr na ty prostory, které reprodukují klasickou mechaniku v klasické limitě.

Diracova formulace

Diracova formulace, nazývaná také „Diracův princip korespondence“ : „Souvztažnost mezi kvantovými a klasickými teoriemi nespočívá ani tak v omezující shodě v , ale ve skutečnosti, že matematické operace těchto dvou teorií se v mnoha případech řídí stejnými zákony.“ [7] [8] $\hbar \to 0$

Cestovní integrály

Při formulaci kvantové mechaniky z hlediska dráhových integrálů se na konečné přechodové amplitudě (nekonečně malé ) nepatrně podílejí dráhy, které dávají hodnotu akce , které se výrazně liší od stacionární hodnoty (určené z principu nejmenší akce ). v ). V semiklasické aproximaci je tedy amplituda přechodu určena pouze klasickými trajektoriemi částic (v nejjednodušším případě pohybu v prostoru je taková trajektorie jedinečná), určenými z principu nejmenší akce a Schrödingerova rovnice přechází do Hamilton-Jacobiho rovnice . $S_{\mathrm {min} }\to \infty$ $S_{\mathrm {min} }\to \infty$

Viz také

Odkazy

"Akční" článek v Encyklopedii fyziky

Poznámky

↑ Zpráva na schůzi Německé fyzikální společnosti 23. března 1906 Verh. d. německy Phys., nar. 4, s. 136. - překlad z němčiny - viz „Princip relativity. Sborník prací o speciální teorii relativity“. - M.: Atomizdat , 1973. - S. 163.
↑ W. Pauli. § 31. Princip invariantní akce v elektrodynamice // Teorie relativity / Ed. V. L. Ginzburg a V. P. Frolov .. - 3., opraveno .. - M . : Nauka, 1991. - S. 125-127. — 328 s. - ISBN 5-02-014346-4 .
↑ V podstatě v této formulaci mluvíme o propagátoru ( Greenovy funkce ).
↑ Witten E. Kvantová teorie pole a Jonesův polynom. - komun. Matematika. Phys., 1989. - svazek 121 , č. 3 . - S. 351-399 . - doi : 10.1007/BF01217730 .
↑ Alvarez-Gaume L. Supersymetrie a Atiyah-Singerova věta o indexu. - komun. Matematika. Phys., 1983. - V. 90 , no. 2 . - S. 161-173 . - doi : 10.1007/BF01205500 .
↑ Kontsevich, M. Kvantování deformací Poissonových variet . — Písmena v matematice. Phys., 2003. - V. 66 , no. 3 . - S. 157-216 . - doi : 10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf .
↑ Dirac P. A. M. Sborník vědeckých prací. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. II Kvantová teorie (vědecké články 1924-1947). - S. 67.
↑ Dirac P. A. M. K vytvoření kvantové teorie pole. Hlavní články 1925-1958. - M. : Nauka, 1990. - S. 34. - 368 s.