4-vektorový

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. září 2021; kontroly vyžadují 7 úprav .

4-vektor ( čtyř-vektor , čtyři -vektor ) je vektor ve čtyřrozměrném Minkowského prostoru a v obecnějším případě vektor v zakřiveném čtyřrozměrném časoprostoru. Složky libovolného 4-vektoru popisujícího fyzikální systém, při pohybu nebo otáčení referenčního systému , stejně jako při pohybu z jednoho referenčního systému do druhého, jsou transformovány podle stejného zákona určeného transformací referenčního systému. 4-vektor má jednu časovou složku a tři prostorové. Prostorové komponenty tvoří obvyklý prostorový trojrozměrný vektor, jehož složky mohou být vyjádřeny v kartézských, válcových, sférických a jakýchkoli jiných prostorových souřadnicích.

V moderní notaci časová složka obvykle odpovídá indexu 0 (to znamená, že je považována za nulovou složku), prostorová složka - 1, 2, 3 (shoduje se s x, y, z ; obvykle standardně, a pokud možné, jsou to obyčejné pravoúhlé kartézské souřadnice ). Ve staré literatuře se často používá konvence (sahající až k Minkowskému ) , podle které se časová složka nepovažovala za nulovou, ale za čtvrtou.
Někdy je vhodné přiřadit časové složce 4-vektoru čistě imaginární charakter (vždy násobte složku reálného času imaginární jednotkou ). Tato reprezentace 4-vektorů byla historicky první, která byla zavedena a někdy se používá i v moderní literatuře.
4-vektory (jejich komponentní reprezentace) mohou být zapsány v kontravariantní a (nebo) kovariantní formě (viz níže), které se nemusí vždy shodovat a v případě reálné reprezentace (bez imaginární jednotky) se od sebe vždy liší , i když ve většině případů toto rozlišení podléhá velmi jednoduchému pravidlu.

Příklady 4-vektorů

Zde a níže se používá podpis . $(+,~-,~-,~-)$

4 věty: $dx^{i}=(cdt,~dx,~dy,~dz),$
4-rychlostní: $u^{i}={\frac {dx^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {dx^{i}}{d\tau }} ,$ kde je " správný čas ", rovný intervalu , děleno rychlostí světla , měřeno podél světové linie . Geometricky je 4-rychlost jednotkovým vektorem tečnou ke světové linii částice. $\tau$ $\tau ={\frac {1}{c}}\int {ds}$
4-zrychlení : $a^{i}={\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {du^{i}}{d\tau }} ,$ kde - viz výše. Geometricky je 4-zrychlení vektorem zakřivení světové linie částice. $\tau$
Vektor 4-energie-hybnosti ( čtyřhybnost ): $p^{i}=\left({\frac {\varepsilon }{c)),~p_{x},~p_{y},~p_{z}\right)$ . Pro částici s nenulovou hmotností při absenci vnějších polí . ${\displaystyle p^{i}=c\,mu^{i))$
čtyřrozměrná proudová hustota ( 4 proudová ): $j^{i}=(c\rho ,~j_{x},~j_{y},~j_{z});$
vlna 4-vektor: $k_{i}=\left({\frac {\omega }{c)),-k_{x},-k_{y},-k_{z}\vpravo);$
Elektromagnetický potenciál : $A_{i}=(\varphi ,~{-A}_{x},~{-A}_{y},~{-A}_{z}).$

Vlastnosti

Zákon o čtyřvektorové transformaci:

{\tilde {A}}^{i}=\sum _{j}S_{j}^{i}\ A^{j},

kde - matice z Lorentzovy skupiny - přechodová matice k novým souřadnicím (k novému vztažnému rámci). $S_{j}^{i}$

Bodové součiny (zejména čtverce) 4-vektorů se počítají pomocí Lorentzovy metriky (viz také níže).
- Při Lorentzových transformacích jsou invariantní . Říká se jim skaláry (ve čtyřrozměrném – časoprostorovém – smyslu).
- Jedná se například o interval (druhá mocnina intervalu je druhou mocninou vektoru posunutí v Lorentzově metrice), hmotnost (klidová hmotnost) - její druhá mocnina je až do konstantního faktoru druhou mocninou 4-hybnosti : atd. $m^{2}=E^{2}/c^{4}-p^{2}/c^{2}$

Notace

Tradičně se 4-vektor označuje jako soubor jeho komponent. 4-vektor se tedy označuje jako (nepleťte si tento zápis s umocňováním!) popř. $A$ $a^{i}$ $a_{i}.$

Souřadnice, 3 prostorové a časové, se obvykle označují jako $x^{i}.$

Co v tomto případě znamená použití horního ( ) nebo dolního ( ) indexu je konkrétně specifikováno, ale standardně, pokud jsou použity obě (nebo alespoň první) možnosti, tedy pokud jsou vůbec použity horní indexy, kontravariantní souřadnice 4- vektor a nižší jsou kovariantní souřadnice . V tomto případě tedy může mít stejný vektor dvě různé reprezentace - kontravariantní a kovariantní . $a^{i}$ $a_{i}$

V případě plochého prostoru a inerciálních vztažných soustav , jako v elektrodynamice , speciální relativitě a obecně v případech, kdy lze gravitaci zanedbat, se kovariantní a kontravariantní reprezentace liší pouze znaménkem času (nebo naopak, v závislosti na konvenčně přijímané podpisové - prostorové) složky. V tomto případě může být skalární součin reprezentován jako prostý součet součinů odpovídajících složek pouze pro součin kovariantního vektoru s kontravariančním, například:

(a,b)=a^{i}b_{i}\ekviv \součet _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{ 2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4}

a zejména

(a)^{2}=(a,a)=a^{i}a_{i}\equiv \sum _{i}a^{i}a_{i}=a^{1}a_{1} +a^{2}a_{2}+a^{3}a_{3}+a^{4}a_{4}=(a_{1})^{2}-(a_{2})^{ 2}-(a_{3})^{2}-(a_{4})^{2}

(Zde a níže je použito sčítací pravidlo pro opakující se Einsteinův index a kvadratura je označena jako (…)²).

Pokud chtějí napsat skalární součin pomocí pouze kovariantních nebo pouze kontravariančních komponent, obvykle používají zápis s Lorentzovou metrikou (nebo ): $\eta _{{ij}}$ $\eta ^{{ij}}$

(a,b)=\eta _{{ij}}a^{i}b^{j}\equiv \sum _{{i,j}}\eta _{{ij}}a^{i}b ^{i}=a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}-a^{4}b^{4}

nebo

(a,b)=\eta ^{{ij}}a_{i}b_{j}\equiv \sum _{{i,j}}\eta ^{{ij}}a_{i}b_{i} =a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}

(obě metody jsou ekvivalentní sobě navzájem a výše popsané metodě s oběma typy souřadnic).

V obecnějším případě nelorentzovských referenčních systémů, včetně případů, kdy se gravitace bere v úvahu v souladu s obecnou relativitou , je však místo velmi jednoduché a konstantní Lorentzovy metriky nutné uvažovat libovolnou metriku , včetně té, která závisí na prostorové souřadnice a čas (Ve všech vzorcích napsaných v tomto odstavci výše je v obecném případě nutné nahradit , a ) . Zároveň přestává platit jednoduché pravidlo, že kovariantní a kontravariantní reprezentace 4-vektoru se liší pouze znaménkem prostorových složek, začnou se vyjadřovat přes sebe i pomocí obecné metriky (viz Metrický tenzor# Izomorfismus mezi prostorem tangens a kotangens ): $\eta _{{ij}}$ $g_{ij}.$ $\eta _{{ij}}$ $g_{ij}$ $\eta ^{{ij}}$ $g^{ij}$ $g_{ij}$

a^{i}=g^{{ij}}a_{j}\equiv \sum _{j}g^{{ij}}a_{j},

a_{i}=g_{{ij}}a^{j}\equiv \sum _{j}g_{{ij}}a^{j}.

(Jak vidíme, tyto vzorce byly také pravdivé pro , ale v tom případě byly zredukovány na jednoduché pravidlo pro změnu znaménka některých komponent, ale zde již v obecném případě nejsou redukovány). $\eta_{{ij}},$

Všimněte si také, že v časoprostoru se zakřivením (který je již správně považován pouze za varietu a nikoli za vektorový prostor), množina souřadnic již není vektor. Infinitezimální posuny souřadnic však představují vektor (vektor prostoru tečny k varietě v bodě ). $x^i$ $dx^{i}$ $x^i$

A konečně, v případě Lorentzovy metriky zvažované výše se často používají pouze dolní indexy , protože kovariantní a kontravariantní složky se liší pouze ve znaménku a lze se omezit na zmínku pouze jedné z nich (obvykle kontravariantní, i když pomocí dolního indexu ). Tato metoda je pro tento případ poměrně pohodlná, protože absence horních indexů je pro laiky poněkud známější a kromě toho nemůže způsobit zmatek se zápisem umocňování. Má to však i úskalí, protože například 4-gradientový vektor, zapsaný v kontravariantní podobě, má zcela nečekaně znaménko mínus pro prostorové složky: protože totální diferenciál musí být invariantní a ve vzorci skalárního součinu, pokud oba vektory jsou reprezentovány ve stejné kontravariantní formě, vstupuje, jak víme, do změny znaménka v důsledku $(\částečné _{0},-\částečné _{1},-\částečné _{2},-\částečné _{3}),$ $df=\částečné _{0}fdx^{0}+\částečné _{1}fdx^{1}+\částečné _{2}fdx^{2}+\částečné _{3}fdx^{3}$ $\eta _{{ij}}.$

Zajímavé je, že metoda využívající pouze dolní indexy a imaginární časovou složku tyto nevýhody nemá (hlavně v oblasti použitelnosti omezené na případ plochého prostoru, ale nejen). Faktem je, že při použití této metody se potřebné znaky získávají automaticky (pozor: zohlednění podpisu ; výběr podpisu je však stále otázkou dohody). To znamená, že nemusíte vůbec přemýšlet o znacích, nemusíte explicitně používat matici metrického tenzoru, i když je metrika formálně reprezentována jedinou maticí („formálně euklidovská“, která , samozřejmě nemění svůj skutečný pseudoeuklidovský charakter, ale zjednodušuje psaní) a reprezentace všech 4-vektorů jednoduše a jednotně: $\eta_{{ij}},$

4-tah $dx_{\mu }=(ic~dt,dx,dy,dz),$
4-impulzní $p_{\mu }=(iE/c,p_{x},p_{y},p_{z}),$
čtyřrozměrná proudová hustota $j_{\mu }=(ic\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}),$
vlna 4-vektorová $k_{\mu }=(i\omega /c,k_{x},k_{y},k_{z}),$
elektromagnetický potenciál $A_{\mu }=(i\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}),$

a tak dále, kde i je imaginární jednotka .

4-vektorové v matematice

Bod v Minkowského prostoru se nazývá událost a je dán čtyřmi souřadnicemi:

{\mathbf {x}}:=\left(ct,x,y,z\right),

kde je rychlost světla , je čas události a jsou její prostorové souřadnice. Takový 4-vektor se nazývá 4-poloměrový vektor. $C$ $t$ $x, y, z$

Z něj a dále od sebe lze sestrojit mnoho dalších 4-vektorů sčítáním, odečítáním, násobením nebo dělením skalárem, stejně jako derivováním vzhledem ke skaláru atd. Tedy z 4-poloměrového vektoru, tzv. diferenciace s ohledem na správný čas , získá se 4-rychlost atd.

Skalární produkty 4-vektorů jsou Lorentzovy invariantní veličiny (invarianty Lorentzovy grupy), skaláry Minkowského prostoru.

Historie

4-vektory byly poprvé uvažovány Poincare ( 1905 ) a poté Minkowskim . Časovou složku 4-vektoru považovali za čistě imaginární, což automaticky vygenerovalo potřebné pravidlo pro výpočet skalárního součinu v obvyklém součtu součinů složek. Termín „4-vektorový“ navrhl Arnold Sommerfeld v roce 1910 .

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. § 2. Interval. § 3. Správný čas. § 6. Čtyřrozměrné vektory. § 7. Čtyřrozměrná rychlost. // Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 . .
Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman přednášky z fyziky. Svazek 6: Elektrodynamika. Překlad z angličtiny (Vol. 3). — Redakční URSS. - ISBN 5-354-00704-6 . - ch. 25. "Elektrodynamika v relativistickém zápisu". (Toto je jednoduchý úvod pro vysokoškoláky; abyste předešli zmatkům, poznamenejte si, že v této knize jsou použity pouze dolní indexy, ale odkazují na kontravariantní složky 4-vektorů.)