Lorentzova metrika

Lorentzova metrika je pseudoeuklidovská metrika Minkowského prostoru, která přirozeně vzniká ve speciální teorii relativity a jako triviální speciální případ v obecné teorii relativity .

Plochý Minkowského prostor se souřadnicemi , používaný ve speciální teorii relativity , má metrický tenzor $(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\$

g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\

Zde máme na mysli běžné pravoúhlé kartézské souřadnice stejné měřítka a časem měřeným v daném referenčním rámci - rychlost světla . ${\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3))$ $t$ $C$

Tento tenzor definuje interval

ds={\sqrt {g_{ij}dx^{i}dx^{j))}={\sqrt {c^{2}(dt)^{2}-(dx)^{2} -(dy)^{2}-(dz)^{2}}},

analogový invariant vzhledem k Lorentzovým transformacím a zobecnění 3-rozměrné vzdálenosti ve fyzickém prostoru na 4-rozměrný časoprostor (v posledním vzorci dva neznamenají index, ale stupeň).

U křivky, jejíž všechny body se vztahují ke stejnému časovému bodu, je vzorec pro délku křivky redukován na obvyklou trojrozměrnou formu. Pro časovou křivku udává vzorec délky správný čas podél křivky.

Minkowského metrika je pseudoeuklidovská metrika: jak vidíme, není pozitivně definitní, ale je konstantní (reprezentovaná maticí nezávislou na souřadnicích v běžných kartézských souřadnicích) a popisuje tedy plochý pseudoeuklidovský prostor .

Všechny fyzikální zákony (pokud ponecháme gravitaci stranou ) jsou zapsány stejným způsobem ve všech inerciálních vztažných soustavách, zatímco právě popsaná Lorentzova metrika je pro všechny tyto vztažné soustavy invariantní, pokud jsou použity přirozené fyzikální postupy měření. Přepočet fyzikálních veličin (včetně vzdáleností a úhlů) mezi různými referenčními systémy se provádí pomocí Lorentzových transformací , které zachovávají neměnnost této metriky.

Důležitým rysem Minkowského metriky je přítomnost světelného kužele sestávajícího z vektorů nulové délky a omezujících budoucí a minulé oblasti vzhledem k dané události .

Poznámky

Pro zde popsanou Minkowského metriku (Lorentzovská metrika) se velmi často používá speciální zápis . $\eta _{ij}\$
Někdy se Minkowského metrika bere s opačným znaménkem, tedy . Navíc historicky se takový podpis poprvé objevil u Minkowského, který jej zavedl vynásobením imaginární jednotkou, $(-1,+1,+1,+1)$ $x^0$ tj. (pak měla metrika formálně obvyklou euklidovskou formu, to znamená, že skalární součin byl vypočítán jednoduše sečtením součinů složek, ale ve skutečnosti to bylo stejné až do znaménka popsaného na začátek tohoto odstavce). $x^{0}=\imath ct$

Literatura

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie (metody a aplikace), - Libovolné vydání.
Rashevsky P. K. Riemann geometrie a tenzorová analýza, - Libovolné vydání.
Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Přednášky o klasické diferenciální geometrii, Logos, Moskva, 2009.
Herman Weil. Prostor. Čas. Hmota. Přednášky o obecné teorii relativity, - Libovolné vydání.
Dirac P. A. M. Obecná teorie relativity , - M.: Atomizdat , 1978.
Fok V. A. Teorie prostoru, času a gravitace , - M.: GIFML, 1961.

Lorentzova metrika

Poznámky

Literatura

Viz také