Feynman vládne

Feynmanova pravidla v kvantové teorii pole jsou pravidla korespondence mezi příspěvky určitého řádu poruchové teorie k maticovým prvkům rozptylové matice a Feynmanovým diagramům. Pravidelné odvozování Feynmanových pravidel je založeno na aplikaci Wickovy věty pro chronologické součiny na chronologické součiny operátorů polí, jejichž integrály jsou vyjádřeny příspěvky k rozptylové matici. Ve Feynmanových pravidlech hrají propagátoři kvantových polí ústřední roli , která se rovná jejich chronologickému párování, tedy vakuovým očekáváním od spárovaných chronologických produktů:

u_{a}(x)u_{b}(y)=\langle Tu_{a}(x)u_{b}(y)\rangle _{0}.

které se rovnají také kauzálním Greenovým funkcím těchto polí:

u_{a}(x)u_{b}(y)=i\delta _{a,b}\Delta _{a}^{c}(xy).

Spolu s propagátory , které ve Feynmanových diagramech odpovídají čarám spojujícím body x a y a které zcela charakterizují interagující pole, Feynmanova pravidla zahrnují prvky, které popisují mechanismus interakce a odrážejí strukturu interakce Lagrangian kvantového pole. uvažovaný model. $i\Delta(xy)$

Existují dva typy Feynmanových pravidel

pravidla v souřadnicové reprezentaci, na jejichž základě lze spojovat diagramy s příspěvky do S-matice vyjádřené pomocí funkcí operátorového pole
užitečnější jsou Feynmanova pravidla v reprezentaci hybnosti, která slouží přímo ke konstrukci maticových prvků přechodů mezi fyzikálními. stavy charakterizované spolu s dalšími kvantovými čísly hodnotami 4-momentů částic.

V následujícím textu bude termín "Feynmanova pravidla" používán k označení Feynmanových pravidel v reprezentaci hybnosti.

V tomto znázornění jsou místo výše uvedených výrazů použity jejich Fourierovy obrazy , které na Feynmanově diagramu odpovídají vnitřním čarám, po kterých se částice s hybností p jakoby pohybují . Místa, kde se přímky setkávají – vrcholy – popisují interakce částic. Proto podle Feynmanových pravidel vrcholy odpovídají faktorům v maticových prvcích, které zprostředkovávají strukturu interakce Lagrangians . Pro ilustraci tabulka uvádí korespondenční pravidla pro kvantovou elektrodynamiku v diagonálním (jinak Feynmanově) kalibru elektromagnetického pole. $\Delta _{a}(p)$

Feynmanova pravidla pro kvantovou elektrodynamiku

	Prvky grafu		Faktor v prvku S-matice
	titul	obraz	Faktor v prvku S-matice
jeden	Vrchol		$(2\pi )^{4}ie\gamma ^{\mu }\delta ^{(4)}(p+kp')$
2	Vnitřní fotonová čára		${\frac {1}{(2\pi )^{4}i}}{\frac {\varepsilon _{\mu ,\nu }}{-k^{2}}}$
3	Vnitřní elektron-pozitronová linka		${\frac {1}{(2\pi )^{4}i}}{\frac {m+{\hat {p}}}{m^{2}-p^{2}}}{ \hat {p}}=\gama ^{\mu }\rho _{\mu }$
čtyři	Externí fotonová čára		${\frac {(e^{\alpha }(k))_{\mu }}{(2\pi )^{3/2}{\sqrt {2k_{0}}}}}$
5	Externí odchozí elektronická linka		$(2\pi )^{-3/2}{\vec {v_{\sigma }}}(\rho )$
6	Externí odchozí linka		$(2\pi )^{-3/2}{\vec {v_{\rho }}}(\rho )$
7	ke konstrukci příspěvku n-tého řádu v e k maticovému prvku daného procesu je třeba nakreslit všechny diagramy obsahující přesně n vrcholů, spojujících jejich vnitřní čáry a danou množinu vnějších čar, určených celkem počátečním a konečným stavem zvažovaného procesu. V tomto případě je třeba mít na paměti, že směry naznačené šipkami na elektronických linkách odpovídají pohybu pozitronu proti směru šipek
osm	každý z těchto diagramů podle pravidel korespondence z tabulky. vynásobením faktorů z pravého sloupce, uspořádaných podle pohybu po elektronových čarách, se přiřadí výraz, který pak musí být integrován přes 4 momenty a sečten přes všechny indexy všech vnitřních. čáry;
9	pokud jsou v diagramu uzavřené elektronické smyčky , pak je třeba celý výraz vynásobit (- 1) l $l$
deset	pokud má diagram topologickou symetrii k -tého řádu, to znamená, že můžete přeskupit k vrcholů, aniž byste změnili topologii diagramu, pak byste měli přidat faktor (k!) −1
jedenáct	pokud jsou v počátečním nebo konečném stavu identické částice , měla by být provedena vhodná symetrizace.

Výraz v prvním řádku tabulky korespondenčních pravidel odpovídá struktuře interakce Lagrangian , kromě faktoru , který bere v úvahu skutečnost, že příspěvek n-tého řádu do S-matice obsahuje faktor : ${\mathcal {L}}(x)=e\psi (x)\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)$ $i$ $i^{n}$

S_{n}\cca {\frac {i^{n}}{n!)}}\int {T\left({\mathcal {L}}(x_{1})...\ mathcal {L}}(x_{n})\right)}dx_{1}...dx_{n}.

Další dva řádky obsahují propagátory pole a poté se v korespondenčních pravidlech objeví vektor polarizace fotonu a nekvantizované Diracovy spinory , což jsou řešení volné Diracovy rovnice a odpovídají elektronům (a/nebo pozitronům) v počátečním a konečném stavu. . $e^{\alpha }(k)$ ${\vec {v}}(\rho ),v(p)$

Příklad aplikace

Pomocí výše uvedených Feynmanových pravidel získáme maticový prvek procesu e − + e − → e − + e − (tj. Möllerův rozptyl elektronů) v nejnižším, druhém v e , řádu poruchové teorie. Jediný diagram je ten, který je na obr. 6. Pomocí označení hybnosti zavedené na tomto obrázku předpokládáme, že hybnosti elektronů v počátečním stavu jsou rovny p 1 a p 2 a elektrony konečného stavu mají hybnost - q 1 , q 2 (v tomto případě , samozřejmě, q 1 0 < 0, q 2 0 < 0). Pomocí pravidel (1), (2), (5), (6) a (8) zjistíme:

M(p_{1},p_{2},-q_{1},-q_{2})={\frac {e^{2}}{i(2\pi )^{2}} }\delta (p_{1}+p_{2}+q_{1}+q_{2}){\frac {g_{\mu ,\nu }}{(p_{1}+q_{1})^ {2}}}{\vec {v_{\sigma }}}(-q_{1})\gamma ^{\mu }v_{\rho }(p_{1})

{\vec {v_{\kappa }}}(-q_{2})\gamma ^{\nu }v_{\lambda }(p_{2}).

Podle pravidla (11) by tento výraz měl být také antisymetrizován s ohledem na elektrony počátečního a konečného stavu.

Z relativistické kvantové teorie pole je metoda Feynmanových diagramů a Feynmanovo pravidlo přímo přenesena do kvantové statistiky při nulové teplotě a lze ji snadno formulovat pro poruchovou teorii při konečné teplotě.

Viz také

Feynmanovy diagramy

Literatura

Feynman RP Časoprostorový přístup ke kvantové elektrodynamice // Phys. Rev., 1949, v. 76 , str. 769
Feynman R. Kvantová elektrodynamika / Per. z angličtiny. - M., 1964 formát djvu-kniha
Bilenkiy S. M. Úvod do techniky Feynmanových diagramů. - M., 1971
Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Kvantová pole. - 2. vyd. - M., 1993.