Greenova funkce

Greenova funkce je funkce používaná k řešení lineárních nehomogenních diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami (nehomogenní okrajová úloha ). Pojmenován po anglickém matematikovi George Greenovi , který tuto teorii poprvé rozvinul ve 30. letech 19. století.

Greenovy funkce jsou užitečné v elektrostatice - pro řešení Poissonovy rovnice ; v teorii kondenzované hmoty umožňují řešit rovnici difúze (a s ní splývající rovnici tepla); v kvantové mechanice je Greenova funkce Hamiltoniána jednou z klíčových funkcí a souvisí s hustotou stavů. Greenovy funkce používané v těchto oblastech jsou velmi podobné, protože difúzní rovnice a Schrödingerova rovnice jsou si v určitém smyslu podobné. Všechny oblasti matematické a teoretické fyziky , kde jsou Greenovy funkce extrémně užitečné, je možná obtížné dokonce vyjmenovat. Pomáhají nacházet stacionární i nestacionární řešení, a to i za různých okrajových podmínek.

V částicové fyzice a statistické fyzice se Greenovy funkce používají jako propagátory ve Feynmanových diagramech (a výraz „Greenova funkce“ se často obecně aplikuje na funkci korelace v kvantové teorii pole ). Greenova funkce je široce používána v aplikacích teorie rozptylu ve fyzice pevných látek ( rentgenová difrakce , výpočty elektronových spekter kovových materiálů).

Definice a použití

Greenova funkce lineárního diferenciálního operátora působícího na zobecněné funkce na podmnožině euklidovského prostoru v bodě je libovolné řešení rovnice $G(x,s)$ $L=L(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $s$

L~G(x,s)=\delta(xs)

kde je funkce Dirac delta . Tato vlastnost Greenovy funkce může být použita k řešení diferenciální rovnice tvaru $\ \delta$

L~u(x)=f(x)

Greenova funkce je inverzní operátor k , takže je často symbolicky označována jako . $L$ $L^{{-1}}$

Pokud je jádro operátoru netriviální, pak Greenova funkce není jedinečná. V praxi však použití principu symetrie, okrajových podmínek nebo jiných doplňkových podmínek umožňuje určit konkrétní Greenovu funkci. Obecně řečeno, Greenova funkce není obyčejná, ale zobecněná funkce , to znamená, že může vypadnout z třídy obyčejných funkcí, například mít vlastnosti tvaru delta funkce nebo jejích derivátů. $L$

Greenova funkce je také užitečným nástrojem pro řešení vlnové rovnice, difúzní rovnice a kvantově mechanických rovnic, kde hraje zásadní roli Greenova funkce Hamiltonova operátoru a souvisí s hustotou stavů . Ve fyzice je Greenova funkce obvykle definována s opačným znaménkem:

L~G(x,s)=-\delta (xs)

který výrazně nemění jeho vlastnosti.

Pokud je operátor translačně invariantní , to znamená, že má konstantní koeficienty vzhledem k , pak lze Greenovu funkci zvolit jako konvoluční operátor . $L$ $X$

G(x,s)=G(xs)

V tomto případě se shoduje s impulsní přechodovou funkcí z teorie lineárních stacionárních systémů .

Poznámka

Někdy, když nehomogenní rovnice obsahuje na pravé straně konstantní koeficient, to znamená, že má tvar $Lf=\kappa h$ $g(x,s)$

Lf_{1}(x)=\kappa \,\delta (xs)

V tomto případě se řešení původní nehomogenní rovnice s libovolnou funkcí na pravé straně zapíše jako $Lf=\kappa h$ $h$

f(x)=\int {\kappa \,h(s)\,g(x,s)\,ds}

↑ Je zřejmé, že rozdíl v definici funkce Greena popsané v této části od definice uvedené v článku výše se netýká podstaty věci, ale pouze preferované formy zápisu

Greenova funkce Sturm-Liouvilleova operátoru (jednorozměrný případ)

Prohlášení o problému

Nechť je operátor Sturm - Liouville , lineární diferenciální operátor tvaru: $L$

L={d \přes dx}\left[p(x){d \přes dx}\vpravo]-q(x)

a nechť je operátor okrajové podmínky: $D$

Du={\begin{pmatrix}\alpha _{1}u^{\prime }(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u^{\prime }(l)+\beta _{2}u(l).\end{pmatrix}}

Greenova věta

Dovolit být spojitá funkce na intervalu . Předpokládejme také, že úkol $f(x)$ $[0,\;l]$

{\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0\end{matrix}}

je regulární, to znamená, že existuje pouze triviální řešení homogenního problému.

Pak je tu unikátní řešení vyhovující systému $u(x)$

{\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0,\end{matrix}}

což je dáno výrazem

u(x)=\int \limits _{0}^{l}f(s)g(x,\;s)\,ds

kde je funkce Greena, která splňuje následující požadavky (jsou to také vlastnosti funkce Greena): $g(x,\;s)$

$g(x,\;s)$ kontinuální v a . $X$ $s$
Pro , . $x\neq s$ $Lg(x,\;s)=0$
Pro , . $s\neq 0,\;l$ $Dg(x,\;s)=0$
Derivační skok: . $g^{\prime }(s_{{+0)),\;s)-g^{\prime }(s_{{-0)),\;s)=1/p(s)$
Symetrické: . $g(x,\;s)=g(s,\;x)$

Nalezení Greenovy funkce

Jako řada přes vlastní funkce operátora

Pokud je množina vlastních vektorů ( vlastních funkcí ) diferenciálního operátoru $\Psi _{n}$ $L\$

(to je množina takových funkcí , že pro každou existuje číslo , které ) $\Psi _{n}(x)$ $\lambda _{n}\neq 0$ ${\displaystyle L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n))$

je kompletní, pak lze zkonstruovat Greenovu funkci pomocí vlastních vektorů a vlastních hodnot . $\Psi _{n}$ $\lambda_n$

Úplnost systému funkcí znamená naplnění vztahu $\Psi _{n}(x)$

\delta (xx^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x){\overline {\Psi }}_{n}(x ^{\prime})

Dá se to ukázat

{\displaystyle G(x,\;x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x){\overline {\Psi } }_{n}(x^{\prime })}{\lambda _{n))))

Ve skutečnosti, jednáme -li s tímto součtem jako operátor, získáme delta funkci (kvůli vztahu úplnosti). $L$

(Nadčárka, , označuje komplexní konjugaci ; jsou-li reálné funkce , lze ji vynechat). ${\overline {\Psi ))$ $\Psi _{n}$

Pro parabolické rovnice

Tepelná rovnice , Schrödingerova rovnice a difúzní rovnice mohou být reprezentovány jako parciální diferenciální rovnice :

$H\psi (x,\beta )=-{\frac {\částečné \psi (x,\beta )}{\částečné \beta ))$

(jeden)

kde je hermitovský operátor , jsou prostorové souřadnice $H$ $x={\mathcal {f}}x_{{1}},x_{{2}},...,x_{{n}}{\mathcal {g}}$

pro tepelnou rovnici $\Delta T={\frac {c}{k}}{\frac {\částečné T}{\částečné t}}$

$T$ - teplota ,. $\beta ={\frac {k}{c}}t$

pro Schrödingerovu rovnici $H\psi =-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\částečné \psi }{\částečné t}}$

$\psi$ je vlnová funkce , . $\beta ={\frac {\hbar i}{2m}}t$

pro difuzní rovnici $\nabla ^{{2}}\psi ={\frac {1}{\lambda }}{\frac {\částečná \psi }{\částečná t}}$

$\psi$ je koncentrace látky, . $\beta =\lambda t$

Vlastní funkce operátoru tvoří úplný ortonormální systém a splňují rovnici $\varphi _{{m}}$ $H$

H\varphi _{{m}}=\lambda _{{m}}\varphi _{{m}}

Předpokládejme, že řešení rovnice (1) lze znázornit jako:

$\psi (x,\beta )=\sum _{{m=0}}^{{\infty }}A_{{m}}(\beta )\varphi _{{m}}(x)$

(2)

Dosazením navrženého tvaru řešení do rovnice (1) získáme:

H\psi =\sum _{{m=0}}^{{\infty }}A_{{m}}(\beta )H\varphi _{{m}}}(x)=-\součet _{{ m=0}}^{{\infty }}\varphi _{{m}}(x){\frac {\partial }{\partial \beta }}A_{{m}}(\beta )

Takto:

\sum _{{m=0}}^{{\infty }}[\lambda _{{m}}A_{{m}}(\beta )+{\frac {\partial }{\partial \beta } }A_{{m}}(\beta )]\varphi _{{m}}(x)=0

Tato rovnice musí platit pro všechna m. Dostaneme rovnici:

-\lambda _{{m}}A_{{m}}(\beta )={\frac {\částečné A_{{m}}(\beta )}{\částečné \beta }}

kde

A_{{m}}(\beta )=A_{{m}}(0)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}

Proto lze řešení původní rovnice (1) reprezentovat jako:

\psi (x,\beta )=\sum _{{m=0}}^{{\infty }}A_{{m}}(0)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}\varphi _{{m}}(x)

Uvážíme-li řady (2) rovnoměrně konvergentní, můžeme zjistit, že:

A_{{m}}(\beta )=\int \varphi _{{m}}^{{*}}(x)\psi (x,\beta )d\tau

kde je prvek hlasitosti. $d\tau =dx_{{1}}dx_{{2}}...dx_{{n}}$

Z tohoto vzorce vyplývá:

A_{{m}}(0)=\int \varphi _{{m}}^{{*}}(x)\psi (x,0)d\tau

Pokud je tedy dán počáteční stav, pak

\psi (x,\beta )=\sum _{{m=0}}^({\infty }}\int \psi (x',0)\varphi _{{m}}^{{*}} (x')\varphi _{{m}}(x)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}d\tau '

Tato rovnice může být zapsána v pohodlnější formě:

\psi (x,\beta )=\int \langle x|G(\beta )|x'\rangle \psi (x',0)d\tau '

kde:

\langle x|G(\beta )|x'\rangle =\sum _{{m=0}}^({\infty }}\varphi _{{m}}^{{*}}(x') \varphi _{{m}}(x)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}

Tento výraz se nazývá Greenova funkce pro rovnici (1).

Greenova funkce pro Laplaciana

Greenovu funkci pro Laplaciana lze odvodit z Greenovy věty .

Abychom získali Greenovu větu, začněme Gaussovým zákonem :

\int \limits _{V}\nabla \cdot {\hat A}\ dV=\int \limits _{S}{\hat A}\cdot d{\hat \sigma }

Přijímáme a dosazujeme Gaussův zákon. Pojďme vypočítat a použít řetězové pravidlo pro operátora : $A=\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi$ $\nabla \cdot {\hat A}$ $\nabla$

\nabla \cdot {\hat A}=\nabla \cdot (\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi )=

=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )+\varphi \nabla ^{2}\psi -(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )-\psi \nabla ^{2} \varphi =\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi

Dosazením výsledku do Gaussovy věty dostaneme Greenovu větu:

\int \limits _{V}(\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi )\ dV=\int \limits _{S} (\varphi \nabla \psi - \psi \nabla \varphi )\cdot d{\hat \sigma }

Za předpokladu, že náš lineární diferenciální operátor je Laplaciánský , , a že pro něj máme Greenovu funkci . Definici Greenovy funkce lze v tomto případě zapsat takto: $L$ $\nabla ^{2}$ $G$

LG(x,\;x^{\prime })=\nabla ^{2}G(x,\;x^{\prime })=\delta (xx^{\prime })

Vložili jsme Greenovu větu. Pak dostaneme: $\psi=G$

\int \limits _{V}(\varphi (x^{\prime })\delta (xx^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{2}\ varphi (x^{\prime }))\ d^{3}x^{\prime }=

=\int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{ \prime })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat \sigma }^{\prime }

Pomocí výrazu můžeme řešit Laplaceovu rovnici ( ) a Poissonovu rovnici ( ) s Neumannovými nebo Dirichletovými okrajovými podmínkami. Jinými slovy, můžeme najít řešení všude uvnitř dané oblasti, pokud (1) je dána hodnota na hranici této oblasti ( Dirichletovy okrajové podmínky ), nebo (2) je dána normální derivace na hranici této oblasti ( Neumannovy okrajové podmínky). $\nabla ^{2}\varphi (x)=0$ $\nabla ^{2}\varphi (x)=-4\pi \rho (x)$ $\varphi(x)$ $\varphi(x)$ $\varphi(x)$

Zajímejme se o řešení uvnitř domény. V tomto případě se integrál zjednoduší na kvůli hlavní vlastnosti funkce delta a máme: $\varphi(x)$ $\int \limits _{V}\varphi (x^{\prime })\delta (xx^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }$ $\varphi(x)$

\varphi (x)=\int \limits _{V}G(x,\;x^{\prime })\rho (x^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }+ \int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{\ prvočíslo })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat \sigma }^{\prime }

Tento vzorec vyjadřuje známou vlastnost harmonických funkcí , která spočívá v tom, že pokud je známa hodnota normální derivace na hranici oblasti, pak jsou všechny hodnoty funkce v jakémkoli vnitřním bodě této oblasti také známý.

V elektrostatice se jím rozumí elektrostatický potenciál , hustota elektrického náboje a normální derivace jako normální složka elektrického pole. $\varphi(x)$ $\rho (x)$ $\nabla \varphi (x^{\prime })\cdot d{\hat \sigma }^{\prime }$

Při řešení Dirichletovy okrajové úlohy se volí Greenova funkce ve tvaru . Tato funkce zmizí, když nebo je na rozhraní; a naopak, při řešení Neumannovy okrajové úlohy bychom měli zvolit Greenovu funkci tak, aby její normální derivace zmizela na povrchu. V integrálu tak po povrchu zůstává pouze jeden ze dvou členů. $G(x,\;x^{\prime })$ $X$ $x^\prime$

Při absenci okrajových podmínek má Greenova funkce pro Laplaciána tvar:

G({\klobouček x},\;{\klobouček x}^{\prvočíslo })={\frac {1}{\left|{\klobouček x}-{\klobouček x}^{\prvočíslo }\pravý |}}

Uvažujeme-li hraniční plochu jako nekonečně velkou a dosadíme-li do tohoto výrazu Greenovu funkci, dojdeme k podobnému vyjádření pro elektrický potenciál ve smyslu hustoty elektrického náboje .

\varphi (x)=\int \limits _{V}{\frac {\rho (x^{\prime })}{\left|{\hat x}-{\hat x}^{\prime }\ vpravo|}}\ d^{3}x^{\prime }

Příklad

(Tento příklad slouží jako ilustrace k odstavci Greenova funkce operátoru Sturm-Liouville (jednorozměrný případ) a zde popsané úvahy ilustrují body věty z odpovídajícího odstavce, odkazy na body, které jsou uvedeny v text níže).

Zadán úkol

{\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u^{{\prime \prime }}+u=f(x)

;

u(0)=0,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0

Najděte Greenovu funkci.

První krok: Greenova funkce v tomto případě musí být podle definice řešením rovnice $g(x,s)$

$g^{{\prime \prime }}+g=\delta (xs)$

(3)

kde dva tahy označují druhou derivaci s ohledem na . $X$

Pro , kde je -funkce rovna nule, je tato rovnice redukována na homogenní (bod 2 zmíněné věty): $x\neq s$ $\delta$

g^{{\prime \prime }}+g=0

to znamená, že pro všechny body kromě , Greenova funkce bude řešením takové homogenní rovnice. $s$

Obecné řešení takové rovnice

g=A\cos x+B\sin x

kde a jsou konstanty (nezávisí na ). $A$ $B$ $X$

Všude tedy musí mít přesně tento tvar, kromě bodu , navíc nalevo a napravo od něj mohou mít (a budou) koeficienty a různé hodnoty. $g(x,s)$ $s$ $A$ $B$

Na Greenovu funkci klademe okrajové podmínky, které se shodují s okrajovými podmínkami původního problému (bod 3 věty zmíněné v úvodní poznámce). Greenova funkce s takto uloženými okrajovými podmínkami je výhodná, protože řešení konstruovaná součtem nebo integrací takových Greenových funkcí tyto okrajové podmínky automaticky splní.

Z levé okrajové podmínky: - kladené na Greenovu funkci vidíme, že pro obecné řešení musí být koeficient nulový, tj. $u(0)=0$ $x<s$ $A$ $x<s$

g(x,\;s)=B\cdot \sin x

Stejně tak z pravé okrajové podmínky: - získáme koeficient rovný nule , tedy pro $u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0$ $B$ $x>s$

g(x,\;s)=A\cdot \cos x

V důsledku toho, vezmeme-li v úvahu, že koeficienty a obecně řečeno mohou záviset na , můžeme napsat: $A$ $B$ $s$

g(x,\;s)=\left\{{\begin{matrix}B(s)\sin x,\;\;x<s\\A(s)\cos x,\;\;s< x\end{matrix}}\right.

Druhý krok:

Musíme definovat a . $A(s)$ $B(s)$

Integrací dvojnásobku levé a pravé strany rovnice (3) s delta funkcí na pravé straně vidíme, že Greenova funkce musí být spojitá (bod 1 zmíněné věty), a tedy podmínka pro shodu řešení a : $x<s$ $x>s$

B(s)\sin s=A(s)\cos s

Integrací levé a pravé části stejné rovnice od do získáme podmínku pro skok první derivace (bod 4 věty) a pomocí ní získáme: $x=s-\varepsilon$ $x=s+\varepsilon$

$g'(s_{{+0}},s)-g'(s_{{-0}},s)=-A(s)\cdot \sin sB(s)\cdot \cos s=1$ .

Pomocí Cramerova pravidla nebo jednoduše uhodnutím řešení soustavy těchto dvou rovnic to dostaneme

$A(s)=-\sin s;\quad B(s)=-\cos s$ .

Tyto výrazy splňují podmínku bodu 5 věty.

Pak Greenova funkce problému:

g(x,\;s)=\left\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\vpravo.

které lze napsat jako

g(x,\;s)={\frac 12}\left(\sin \left|xs\right|-\sin(x+s)\right).

Tabulka s Greenovými funkcemi

Tato tabulka uvádí Greenovy funkce pro běžně se vyskytující diferenciální operátory, kde , , je Heavisideova funkce , je Besselova funkce , je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu a je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu . [2] Kde se v prvním sloupci objevuje čas ( t ) a jsou zobrazeny kauzální Greenovy funkce . ${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))$ ${\displaystyle \textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2))))$ $\textstyle \Theta (t)$ $\textstyle J_{\nu }(z)$ $\textstyle I_{\nu }(z)$ $\textstyle K_{\nu }(z)$ $G^{A}$

Diferenciální operátor L	Greenova funkce G	Příklad aplikace
${\displaystyle \partial _{t}^{n+1))$	${\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)$
$\partial _{t}+\gamma$	${\displaystyle \Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t))$
$\left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}$	${\displaystyle \Theta (t)t\mathrm {e} ^{-\gamma t))$
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2))$	$\Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}~{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}$ , ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2))))$	Harmonický oscilátor
$\Delta _{\text{2D}}=\částečné _{x}^{2}+\částečné _{y}^{2}$	${\frac {1}{2\pi }}\ln \rho$ , ${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2))))$	Poissonova rovnice
$\Delta _{\text{3D}}=\částečné _{x}^{2}+\částečné _{y}^{2}+\částečné _{z}^{2}$	${\frac {-1}{4\pi r))$ , ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))$	Poissonova rovnice
$\Delta _{\text{3D}}+k^{2}$	${\frac {-\mathrm {e} ^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}$ $H_{1/2}^{(2)}(kr)$ $=i{\frac {k}{4\pi }}\,$	stacionární 3D Schrödingerova rovnice pro volnou částici
${\displaystyle \Delta -k^{2))$ v prostoru s rozměry $n$	$-(2\pi )^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr )$	Potenciální Yukawa , Propagátor
$\partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2}$	${\frac {1}{2c}}\Theta (t-\|x/c\|)$	1D vlnová rovnice
$\partial _{t}^{2}-c^{2}\Delta _{\text{2D))$	${\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2))))}\Theta (t-\rho /c)$	2D vlnová rovnice
$\square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{3D}}$	${\frac {\delta (t-{\frac {r}{c)))}{4\pi r))$	3D vlnová rovnice
${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2))$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/4kt}$	1D difúzní rovnice
$\partial _{t}-k\Delta _{\text{2D))$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}/4kt}$	2D difúzní rovnice
$\partial _{t}-k\Delta _{\text{3D))$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\mathrm {e} ^{-r^{2}/4kt}$	3D difúzní rovnice
${\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}$	${\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)(\delta (ct-x)+\delta (ct+x))+\ mu \Theta (ct-\|x\|)J_{0}\left(\mu u\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2 }}}$	1D Klein-Gordonova rovnice
${\frac {1}{c^{2}}}\částečné _{t}^{2}-\Delta _{\text{2D}}+\mu ^{2}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[(1+\cos {(\mu ct)}){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+ \mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\jméno operátora {sinc} {(\mu u)}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\ rho ^{2}}}$	2D Klein-Gordonova rovnice
$\square +\mu ^{2}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\mu u\right)}{u}}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{ 2}-r^{2}}}$	3D Klein-Gordonova rovnice
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2))$	${\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-\|x\|)\ vlevo({\frac {\gamma }{c}}I_{0}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{ 1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2 }}}$	telegrafní rovnice
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{2D))$	${\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t){\frac {\delta (ct -\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma \sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{ cu))+{\frac {3\gamma t\cosh \left({\frac {\gamma u}{c))\right)}{u^{2))}-{\frac {3ct\sinh \ left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{3}}}\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2 }-\rho ^{2}}}$	2D relativistická rovnice tepla
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{3D))$	${\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2 }t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2))}+{\frac {\gamma ^{2)){c))\Theta (ct- r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {4t}{u^{2} }}I_{2}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}- r^{2}}}$	3D relativistická rovnice tepla

Další příklady

Nechť je dána množina a operátor se rovná . Pak je funkce Heaviside funkcí Greena pro at . $\mathbb {R}$ $\ L$ $\d/dx$ $\ H(x-x_{0})$ $\ L$ $\ x_0$
Nechť je varieta daná první čtvrtinou roviny a je Laplaceův operátor. Předpokládáme také, že v , jsou uloženy Dirichletovy okrajové podmínky a v , jsou kladeny Neumannovy okrajové podmínky. Pak má Greenova funkce formu ${(x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0}$ $\ L$ $\x=0$ $\y=0$

G(x,\;y,\;x_{0},\;y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0) })^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^ {2}}}\right]+

+{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}- \ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2))}\right].

Viz také

Poznámky

↑ Li Tsung-dao Matematické metody ve fyzice. - M.: Mir, 1965. - str. 200
↑ Některé příklady jsou převzaty z Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt nad Mohanem: Deutsch, 2001. ISBN 3-8171-1661-6 (německy)

Literatura

Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field , Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9 . (Kapitola 5 obsahuje velmi jasný výklad použití Greenových funkcí pro řešení okrajových úloh v elektrostatice.)
AD Polyanin a VF Zaitsev, Příručka přesných řešení pro obyčejné diferenciální rovnice (2. vydání) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
AD Polyanin, Příručka lineárních parciálních diferenciálních rovnic pro inženýry a vědce , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata