Parciální diferenciální rovnice

Parciální diferenciální rovnice (speciální případy jsou také známé jako rovnice matematické fyziky , UMF ) je diferenciální rovnice obsahující neznámé funkce několika proměnných a jejich parciální derivace .

Úvod

Zvažte relativně jednoduchou parciální diferenciální rovnici:

{\frac {\partial }{\partial y}}u(x,y)=0\,.

Z tohoto vztahu vyplývá , že hodnota funkce nezávisí na . Můžeme ji nastavit na libovolnou funkci . Proto je obecné řešení rovnice následující: $u(x,y)$ $y$ $X$

u(x,y)=f(x),

kde je libovolná funkce proměnné . Podobná obyčejná diferenciální rovnice má tvar: $f(x)$ $X$

{\frac {dv(x)}{dx}}=0

a jeho rozhodnutí

v(x)=c,

kde c je libovolná konstanta (nezávislá na ). Tyto dva příklady ukazují, že obecné řešení obyčejné diferenciální rovnice obsahuje libovolné konstanty, ale obecné řešení parciální diferenciální rovnice obsahuje libovolné funkce. Řešení parciální diferenciální rovnice, obecně řečeno, není ojedinělé. V obecném případě jsou na hranici uvažovaného regionu uvedeny další podmínky. Například řešení výše uvedené rovnice (funkce ) je jednoznačně definováno, pokud je definováno na přímce . $X$ $f(x)$ $u$ $y=0$

Historie

Historici objevili první parciální diferenciální rovnici v Eulerových pracích o teorii povrchů pocházejících z let 1734-1735 (publikovaných v roce 1740). V moderní notaci to vypadalo takto:

{\frac {\částečné z}{\částečné x}}=f(x,y)

Počínaje rokem 1743 se d'Alembert připojil k Eulerově práci a objevil obecné řešení vlnové rovnice pro vibrace struny. V následujících letech Euler a d'Alembert publikovali řadu metod a technik pro zkoumání a řešení určitých parciálních diferenciálních rovnic. Tyto práce dosud nevytvořily žádnou úplnou teorii.

Druhou etapu vývoje tohoto tématu lze datovat do let 1770-1830. Hluboké studie Lagrange , Cauchy a Jacobi patří do tohoto období . První systematické studie parciálních diferenciálních rovnic začal provádět Fourier . Při řešení strunové rovnice použil novou metodu - metodu separace proměnných , která později dostala jeho jméno.

Nový obecný přístup k tématu, založený na teorii spojitých transformačních grup , navrhl v 70. letech 19. století Sophus Lie .

Koncem 19. století byl pojem parciální diferenciální rovnice zobecněn na případ nekonečné množiny neznámých proměnných ( parciální funkcionální diferenciální rovnice ).

Problémy dokazování existence a hledání řešení soustav nelineárních parciálních diferenciálních rovnic jsou řešeny pomocí teorie hladkých variet , diferenciální geometrie , komutativní a homologické algebry [1] . Tyto metody se využívají ve fyzice při studiu lagrangeovského a hamiltonovského formalismu, studiu vyšších symetrií a zákonů zachování [1] .

Klasifikace

Rozměr

Rovná se počtu nezávislých proměnných . Musí být alespoň 2 (při 1 se získá obyčejná diferenciální rovnice ).

Linearita

Existují lineární a nelineární rovnice. Lineární rovnice může být reprezentována jako lineární kombinace derivací neznámých funkcí. Koeficienty v tomto případě mohou být buď konstantní nebo známé funkce.

Lineární rovnice byly dobře prozkoumány a za řešení určitých typů nelineárních rovnic ( problémy tisíciletí ) byly uděleny miliony cen.

Homogenita

Rovnice je nehomogenní, pokud existuje člen, který nezávisí na neznámých funkcích.

Objednávka

Řád rovnice je určen maximálním řádem derivace. Rozhodující jsou objednávky ve všech proměnných.

Klasifikace lineárních rovnic druhého řádu

Lineární rovnice druhého řádu v parciálních derivacích se dělí na parabolické , eliptické a hyperbolické .

Dvě nezávislé proměnné

Lineární rovnice druhého řádu obsahující dvě nezávislé proměnné má tvar:

A{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné x^{2))}+2B{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné x\částečné y))+C{\ frac {\částečné ^{2}u}{\částečné y^{2}}}+...=0,

kde jsou koeficienty závislé na proměnných a a elipsa znamená členy závislé na parciálních derivacích prvního řádu: a . Tato rovnice je podobná rovnici kuželosečky : $A,\;B,\;C$ $X$ $y$ $x,\;y,\;u$ ${\partial u}/{\partial x}$ ${\částečné u}/{\částečné y}$

Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.

Stejně jako se kuželosečky dělí na elipsy , paraboly a hyperboly , v závislosti na znaménku diskriminantu jsou rovnice druhého řádu v daném bodě klasifikovány: $D=B^{2}-AC$

$D=B^{2}-AC\,>0$ — Hyperbolická rovnice ,
$D=B^{2}-AC\,<0$ — Eliptická rovnice ,
$D=B^{2}-AC\,=0$ — Parabolická rovnice (zde se předpokládá, že v daném bodě koeficienty zároveň nemizí). $A,\;B,\;C$

V případě , že jsou všechny koeficienty konstanty, má rovnice stejný typ ve všech bodech roviny proměnných a . Pokud koeficienty spojitě závisí na a , množina bodů, ve kterých je daná rovnice hyperbolického (eliptického) typu, tvoří v rovině otevřenou oblast, nazývanou hyperbolická (eliptická), a množina bodů, ve kterých je rovnice parabolická typ je uzavřen. Rovnice se nazývá smíšená ( smíšeného typu ), pokud je v některých bodech v rovině hyperbolická a v některých bodech eliptická. V tomto případě mají parabolické body tendenci tvořit čáru nazývanou čára změny typu nebo čára degenerace . $A,\;B,\;C$ $X$ $y$ $A,\;B,\;C$ $X$ $y$

Více než dvě nezávislé proměnné

V obecném případě, kdy rovnice druhého řádu závisí na mnoha nezávislých proměnných:

\sum _{{i=1}}^{{n}}\sum _{{j=1}}^{{n}}a_{{ij}}(x_{1},\cdots ,x_{n }){\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné x_{i}\částečné x_{j))}+F\left(x_{1},\cdots ,x_{n},u,{ \frac {\partial u}{\partial x_{1))},\cdots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n))}\right)=0,

může být klasifikován [2] v daném bodě analogicky s odpovídajícím kvadratickým tvarem : $M_{0}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})$

\sum _{{i=1}}^{{n}}\sum _{{j=1}}^{{n}}a_{{ij}}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})t_{i}t_{j}.

Nedegenerovaná lineární transformace

s_{i}=\sum _{{j=1}}^{{n}}A_{{ij}}t_{j},i=1,2\cdots n,\det \left\|A_{{ ij}}\vpravo\|\neq 0

kvadratická forma může být vždy redukována na kanonickou formu:

\sum _{{i=1}}^{{n}}\lambda _{i}s_{i}^{2}.

Navíc podle věty o setrvačnosti je počet kladných, záporných a nulových koeficientů v kanonické formě kvadratické formy invariantní a nezávisí na lineární transformaci. Na základě toho se provede klasifikace (v bodě ) uvažované rovnice: $\lambda_i$ $M_{0}$

Pokud má v určitém bodě kvadratická forma v kanonickém tvaru všechny koeficienty stejného znaménka, pak se rovnice v tomto bodě nazývá rovnice eliptického typu . $M_{0}$
Pokud má kvadratická forma v kanonické formě koeficienty různých znamének, ale všechny se liší od , pak se rovnice v tomto bodě nazývá rovnice hyperbolického typu . $M_{0}$ $0$
Pokud má kvadratická forma v kanonickém tvaru alespoň jeden koeficient rovný bodu, pak se rovnice v tomto bodě nazývá rovnice parabolického typu . $M_{0}$ $0$

V případě mnoha nezávislých proměnných lze provést podrobnější klasifikaci (jejíž potřeba nevzniká v případě dvou nezávislých proměnných):

Hyperbolický typ lze dále rozdělit na:
1. Normální hyperbolický typ , pokud má jeden koeficient jedno znaménko a zbytek jiné.
2. Ultrahyperbolický typ , pokud koeficienty jednoho i druhého znaménka jsou více než jedna.
Parabolický typ lze dále rozdělit na:
1. Elipticko-parabolický typ , pokud je pouze jeden koeficient nulový a ostatní jsou stejného znaménka.
2. Hyperbolicko-parabolický typ , pokud je pouze jeden koeficient nulový a ostatní mají různá znaménka. Podobně jako hyperbolický typ lze rozdělit na:
  1. Normální hyperbolicko-parabolický typ
  2. Ultrahyperbolicko-parabolický typ
3. Ultraparabolický typ , pokud je více než jeden koeficient nulový. Zde je další klasifikace možná i v závislosti na znaménkách nenulových koeficientů.

Existence a jedinečnost řešení

Přestože odpověď na otázku existence a jednoznačnosti řešení obyčejné diferenciální rovnice má zcela vyčerpávající odpověď ( Picard-Lindelöfova věta ), pro parciální diferenciální rovnici na tuto otázku neexistuje jednoznačná odpověď. Existuje obecná věta ( Cauchyho-Kovalevskaja věta ), která říká, že Cauchyho problém pro jakoukoli parciální diferenciální rovnici, která je analytická s ohledem na neznámé funkce a jejich derivace, má jedinečné analytické řešení [3] . Existují však příklady lineárních parciálních diferenciálních rovnic, jejichž koeficienty mají derivace všech řádů a nemají řešení ( Lévy [ 1957 ). I když řešení existuje a je jedinečné, může mít nežádoucí vlastnosti.

Zvažte posloupnost Cauchyho problémů (v závislosti na ) pro Laplaceovu rovnici : $n$

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0 ,

s počátečními podmínkami :

u(x,0)=0,

{\frac {\částečné u}{\částečné y))(x,0)={\frac {\sin nx}{n)),

kde je celé číslo. Derivace funkce vzhledem k proměnné rovnoměrně inklinuje k rostoucí , nicméně řešení rovnice je $n$ $u$ $y$ $0$ $X$ $n$

u(x,y)={\frac {(\mathrm {sh} \,ny)(\sin nx)}{n^{2))}.

Řešení má tendenci k nekonečnu, ne-li k násobku jakékoli nenulové hodnoty . Cauchyho problém pro Laplaceovu rovnici se nazývá špatně umístěný nebo nesprávný , protože neexistuje žádná spojitá závislost řešení na počátečních datech. $nx$ $\pi$ $y$

Pro systémy nelineárních parciálních diferenciálních rovnic se důkazy existence řešení a hledání variet všech řešení provádějí pomocí teorie hladkých variet , diferenciální geometrie , komutativní a homologické algebry [1] . Tyto metody se využívají ve fyzice při studiu lagrangeovského a hamiltonovského formalismu, studiu vyšších symetrií a zákonů zachování [1] .

Příklady

Jednorozměrná tepelná rovnice

Rovnice popisující šíření tepla v homogenní tyči je parabolického typu a má tvar

{\displaystyle {\frac {\částečné u}{\částečné t))=\alpha ^{2}{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné x^{2))))

kde je teplota a je kladná konstanta popisující rychlost šíření tepla. Cauchyho problém je postaven takto: $u(t,x)$ $\alpha$

$u(0,x)\,=f(x)$ ,

kde je libovolná funkce. $f(x)$

Rovnice vibrací strun

${\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné t^{2}}}=c^{2}{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné x^{2}}}$

Rovnice je hyperbolického typu. Zde je posunutí struny z rovnovážné polohy, nebo přetlak vzduchu v potrubí, nebo velikost elektromagnetického pole v potrubí, a je rychlost šíření vln. Aby bylo možné formulovat Cauchyho problém v počátečním okamžiku, měli bychom specifikovat posun a rychlost struny v počátečním okamžiku: $u(t,x)$ $C$

u(0,x)=f(x),

{\dfrac {\částečné u}{\částečné t))(0,x)=g(x),

Dvourozměrná Laplaceova rovnice

Laplaceova rovnice pro neznámou funkci dvou proměnných má tvar:

${\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné x^{2))}+{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné y^{2))}=0$

Rovnice eliptického typu. Její řešení se nazývají harmonické funkce .

Vztah s analytickými funkcemi

Skutečné a imaginární části jakékoli holomorfní funkce komplexní proměnné jsou konjugované harmonické funkce: obě splňují Laplaceovu rovnici a jejich gradienty jsou ortogonální. Pokud , pak Cauchy-Riemannovy podmínky uvádějí následující: $F$ $z=x+iy$ $f=u+iv$

{\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y)),\quad {\frac {\partial v}{\partial x))= -{\frac {\částečné u}{\částečné y)),

Sečtením a odečtením rovnic od sebe dostaneme:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0 ,\quad {\frac {\částečné ^{2}v}{\částečné x^{2))}+{\frac {\částečné ^{2}v}{\částečné y^{2))}=0 .

Lze také ukázat, že jakákoli harmonická funkce je skutečnou součástí nějaké analytické funkce.

Hraniční problémy

Okrajové problémy jsou nastaveny následovně: najděte funkci , která splňuje Laplaceovu rovnici ve všech vnitřních bodech oblasti , a na hranici oblasti - určitou podmínku. V závislosti na typu podmínky se rozlišují následující okrajové problémy: $u$ $S$ $\částečné S$

$u|_{{\partial S}}=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S$ - Dirichletův problém
${\frac {\partial u}{\partial n)){\big |}_({\partial S))=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S$ - Neumannův problém

Řešení rovnic matematické fyziky

Existují dva typy metod řešení tohoto typu rovnic:

analytický, ve kterém je výsledek odvozen různými matematickými transformacemi;
numerické, ve kterém získaný výsledek odpovídá skutečnému s danou přesností, který však vyžaduje spoustu rutinních výpočtů a lze jej proto provádět pouze s pomocí výpočetní techniky (počítače).

Analytický roztok

Analytická řešení rovnic matematické fyziky lze získat různými způsoby. Například:

Použití Greenovy funkce ;
Použití metody Fourierovy proměnné separace;
S pomocí teorie potenciálu ;
Použití Kirchhoffova vzorce .

Tyto metody byly vyvinuty pro různé typy rovnic a v některých jednoduchých případech umožňují získat řešení ve formě nějakého vzorce nebo konvergentní řady, například pro rovnici kmitání strun :

\Delta u=a^{2}{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné t^{2))}

u(x,t){\big |}_{{x=0}}=u(x,t){\big |}_{{x=L}}=0

u(x,t){\big |}_{{t=0}}=f(x),\ {\dfrac {\částečné u}{\částečné t}}(x,t){\big |} _{{t=0}}=g(x)

analytické řešení pomocí Fourierovy metody má tvar:

u(x,t)\,=\součet \limits _{{n=0}}^{{\infty }}\left[A_{n}\cos \left({\dfrac {a\pi n}{ L}}t\right)+B_{n}\sin \left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)\right]\sin \left({\dfrac {\pi nx} {L}}\vpravo)

A_{n}={\dfrac {2}{L}}\int \limits _{{0}}^{{L}}f(x)\sin \left({\dfrac {\pi nx}{L }}\right)dx,\quad B_{n}={\dfrac {2}{n\pi a}}\int \limits _{{0}}^{{L}}g(x)\sin \ vlevo({\dfrac {\pi nx}{L}}\vpravo)dx

Numerické řešení

Protože nalezení analytického řešení i jednoduché rovnice ve složité oblasti není vždy možné, bylo vyvinuto mnoho metod pro řešení rovnic matematické fyziky. Některé z nich jsou založeny na aproximaci diferenciálního operátoru některými výrazy, jiné redukují problém na projekci nebo variační a řeší jej, některé z často používaných numerických metod jsou:

Každá z metod má své vlastní charakteristiky a své vlastní třídy úkolů, které je třeba řešit. Například konečné diferenční řešení oscilační rovnice lze získat pomocí následujícího diferenčního schématu :

u_{i}^{{j+1}}={{\tau ^{2}a^{2} \over h^{2}}}\left(u_{{i+1}}^{j} -2u_{i}^{j}+u_{{i-1}}^{j}\right)+2u_{i}^{j}-u_{i}^{{j-1}}

kde je časový krok a je prostorový krok. $\tau$ $h$

Slabá řešení

Pokud je parciální diferenciální rovnice reprezentována ve tvaru _ _ . _ _ $Lu=f$ $L$ $F$ $u(x)$ $\varphi$ $\int uL^{*}\varphi \,dx=\int f\varphi \,dx$ $L^{*}$

Viskozitní roztok

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 4 Pommare, 1983 , str. 5.
↑ Sveshnikov A. G., Bogolyubov A. N., Kravtsov V. V. Kapitola II. Klasifikace diferenciálních rovnic v parciálních derivacích 2. řádu. // Přednášky z matematické fyziky. — 2. vyd., opraveno. a doplňkové - M . : Nakladatelství Moskevské státní univerzity; Science, 2004. - S. 49. - 416 s. — ISBN 5-211-04899-7 .
↑ A.M. Nachušev. Cauchy-Kovalevskaya teorém (anglicky) (html). Springer Online (2001). — Věta Cauchy-Kovalevskaja. Datum přístupu: 9. ledna 2010. Archivováno z originálu 12. února 2012.
↑ L. Behrs, F. John, M. Schechter. Parciální diferenciální rovnice . - M .: Mir, 1966. - S. 146.

Literatura

Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Rovnice matematické fyziky. - 7. vyd. - M . : Nakladatelství Moskevské státní univerzity; Nauka, 2004. - 798 s. — ISBN 5-211-04843-1 .
Mizohata S. Teorie parciálních diferenciálních rovnic. — M .: Mir, 1977. — 504 s.
Demidov S. S. Vznik teorie diferenciálních rovnic s parciálními derivacemi // Historický a matematický výzkum . - M . : Nauka , 1975. - č. 20 . - S. 204-220 .
Pommare J. Soustavy parciálních diferenciálních rovnic a Lieovy pseudogrupy. — M .: Mir, 1983. — 400 s.
Trev J. Přednášky o lineárních parciálních diferenciálních rovnicích s konstantními koeficienty. - M .: Mir, 1965. - 296 s.
Matematická fyzika rovnic / V. S. Vladimirov // Velká ruská encyklopedie : [ve 35 svazcích] / kap. vyd. Yu. S. Osipov . - M .: Velká ruská encyklopedie, 2004-2017.

Odkazy

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNF : 11931364s GND : 4044779-0 J9U : 987007552909105171 LCCN : sh85037912 LNB : 000087182 NDL : 00563088 NKC : ph123970

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata