Vedlejší operátor

Adjoint operátor je zobecněním konceptu hermitovské konjugované matice pro nekonečněrozměrné prostory.

Lineární algebra

Transformace se nazývá konjugovaná na lineární transformaci , pokud pro nějaké vektory a platí rovnost . Každá transformace má jednu konjugovanou transformaci. Jeho matice v základu je určena z transformační matice vzorcem , je -li prostor euklidovský , a vzorcem v unitárním prostoru . zde označuje Gramovu matici zvoleného základu. Pokud je ortonormální , mají tyto vzorce tvar resp . $\varphi ^{*}$ $\varphi$ $X$ $y$ $\left(\varphi \left(x\right),y\right)=\left(x,\varphi ^{*}\left(y\right)\right)$ $A^{*}=\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma$ $A^{*}={\overline {\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma }}$ $\Gamma$ $A^{*}=A^{T}$ $A^{*}={\bar {A}}^{T}$

Obecný lineární prostor

Dovolit být lineární prostory a být sdružené lineární prostory (prostory lineárních funkcionálů definované na ). Potom pro libovolný lineární operátor a libovolný lineární funkcionál je definován lineární funkcionál - superpozice a : . Zobrazení se nazývá adjoint lineární operátor a označuje se . $E,\,L$ $E^{*},\,L^{*}$ $E,\,L$ $A\colon E\to L$ $g\in L^{*}$ $f\in E^{*}$ $G$ $A$ $f(x)=g(A(x))$ $g\mapsto f$ $A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}$

Stručně řečeno, kde je působení funkcionálu na vektor . $(A^{*}g,x)=(g,Ax)$ $(B,x)$ $B$ $X$

Topologický lineární prostor

Dovolit být topologické lineární prostory , a být konjugované topologické lineární prostory (prostory spojitých lineárních funkcionálů definovaných na ). Pro libovolný spojitý lineární operátor a jakýkoli spojitý lineární funkcionál je definován spojitý lineární funkcionál - superpozice a : . Je snadné zkontrolovat, zda je mapování lineární a spojité. Nazývá se adjoint operátor a označuje se také . $E,\,L$ $E^{*},\,L^{*}$ $E,\,L$ $A\colon E\to L$ $g\in L^{*}$ $f\in E^{*}$ $G$ $A$ $f(x)=g(A(x))$ $g\mapsto f$ $A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}$

Banachův prostor

Dovolit být spojitý lineární operátor působící z Banachova prostoru do Banachova prostoru [1] a nechť být duální prostory . Označme . Jestliže je pevné, pak je lineární spojitá funkcionál v . Tedy, lineární spojitý funkcionál od je definován pro , proto je operátor definován tak, že . $A\dvojtečka X\to Y$ $X$ $Y$ $X^{*},Y^{*}$ $\forall x\in X,f\in Y^{*}[Ax,f]=f(Ax)$ $F$ $[Axe,f]$ $X,[Ax,f]\in X^{*}$ $\forall f\in Y^{*}$ $X^{*}$ $A^{*}\colon Y^{*}\to X^{*}$ $[Ax,f]=[x,A^{*}f]$

$A^{*}$ se nazývá adjoint operátor . Podobně lze definovat adjungovaný operátor k neomezenému lineárnímu operátoru, ale nebude definován na celém prostoru.

Pro následující vlastnosti platí: $A^{*}$

Operátor je lineární. $A^{*}$
Jestliže je lineární spojitý operátor , pak také lineární spojitý operátor. $A$ $A^{*}$
Dovolit být operátor nuly a být operátor jednotky . Pak . $Ó$ $E$ $O^{*}=O,E^{*}=E$
$(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$ .
$\forall \alpha \in \mathbb {C} ,(\alpha A)^{*}={\bar {\alpha }}A^{*}$ .
$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$ .
$(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}$ .

Hilbertův prostor

V Hilbertově prostoru, Riesz teorém dává identifikaci prostoru s jeho adjoint, proto, pro operátor, rovnost určuje adjoint operátor . Zde je skalární součin ve vesmíru . $H$ $A\dvojtečka H\to H$ $(Ax,y)=(x,A^{*}y)$ $A^{*}\dvojtečka H\to H$ $(x,y)$ $H$

Viz také

Hermitovský operátor

Poznámky

↑ Prostory jsou považovány za složité $X,Y$

Literatura

Shefer H. Topologické vektorové prostory. — M .: Mir, 1971.
Vorovič I.I. , Lebeděv L.P. Funkcionální analýza a její aplikace v mechanice kontinua. - M .: Kniha Vuzovskaja, 2000 . — 320 s.
Trenogin V.A. Funkční analýza. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Funkční analýza / editor S. G. Kerin . — 2. přepracovaná a doplněná. — M .: Nauka , 1972 . — 544 s. — (Referenční matematická knihovna).
Halmos P. Konecnorozměrné vektorové prostory = Konecnorozměrné vektorové prostory. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 s.
Shilov G.E. Matematická analýza (funkce jedné proměnné), část 3. - M .: Nauka , 1970 . — 352 s.
Weinberg M. M. Funkční analýza. - M .: Vzdělávání, 1979. - 128 s.