Lineární spojitý operátor

Lineární spojitý operátor působící z lineárního topologického prostoru X do lineárního topologického prostoru Y je lineární zobrazení z X do Y , které má vlastnost spojitosti . $A:X\rightarrow Y$

Termín “lineární spojitý operátor ” je obvykle používán když Y je multidimenzionální . Pokud je Y jednorozměrné, tzn. se shoduje se samotným polem ( nebo ), pak je zvykem používat termín lineární spojitý funkcionál [1] . Množina všech lineárních spojitých operátorů od X do Y je označena . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $L(X,Y)$

V teorii normovaných prostorů jsou spojité lineární operátory běžněji známé jako ohraničené lineární operátory z následujícího důvodu. Teorie spojitých lineárních operátorů hraje důležitou roli ve funkcionální analýze , matematické fyzice a výpočetní matematice .

Vlastnosti

Jestliže X je konečná -dimenzionální , pak každý lineární operátor je spojitý.
Spojitost lineárního operátoru v nule je ekvivalentní jeho spojitosti v jakémkoli jiném bodě (a tedy v celém X ).
Pro normované prostory jsou podmínky spojitosti a ohraničenosti (tj. konečnosti operátorové normy ) ekvivalentní. [2] . V obecném případě spojitost lineárního operátoru implikuje ohraničenost, ale opak není vždy pravdivý.
Jestliže X a Y jsou Banachovy prostory a obraz operátoru se shoduje s prostorem Y , pak existuje inverzní operátor (tzv. věta o inverzním operátoru ). $A\in L(X,Y)$ $A^{-1}\in L(Y,X)$
Množina všech lineárních spojitých operátorů od X do Y je sama o sobě lineárním topologickým prostorem. Pokud jsou X a Y normalizovány, pak je také normalizováno operátorovou normou . Jestliže Y je Banach, pak je tomu tak, bez ohledu na úplnost X . $L(X,Y)$ $L(X,Y)$

Vlastnosti lineárního spojitého operátoru silně závisí na vlastnostech prostorů X a Y . Například, jestliže X je konečně-rozměrný prostor , pak operátor bude kompletně spojitý operátor, jeho rozsah bude konečný-rozměrný lineární podprostor a každý takový operátor může být reprezentován jako matice [3] . $A\in L(X,Y)$ $R(A)$

Spojitost a konvergentní posloupnosti

Lineární operátor jednající z lineárního topologického prostoru X do lineárního topologického prostoru Y je spojitý právě tehdy, když pro jakoukoli sekvenci bodů v X vyplývá z . $A:X\rightarrow Y$ $\{x_n\}$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x_{0))$ $Ax_{n}\rightarrow Ax_{0}$

Nechť řada konverguje a je lineárním spojitým operátorem. Pak rovnost $\sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s$ $A:X\rightarrow Y$

\sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As

To znamená, že lineární operátor lze aplikovat člen po členu na konvergentní řady v lineárních topologických prostorech.

Jestliže X , Y jsou Banachovy prostory , pak spojitý operátor transformuje každou slabě konvergentní posloupnost na slabě konvergentní:

když slabý, tak slabý.

x_{n}\to x

Ax_{n}\to Ax

Související definice

O lineárním operátoru se říká, že je ohraničený zdola, jestliže . $\exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|$

Viz také

Vedlejší operátor

Literatura

Trenogin V.A. Funkční analýza. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Halmos P. Konecnorozměrné vektorové prostory = Konecnorozměrné vektorové prostory. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 s.
Shilov G.E. Matematická analýza (funkce jedné proměnné), část 3. - M .: Nauka , 1970 . — 352 s.

Poznámky

↑ Lineární spojité funkcionály mají specifické vlastnosti, které se v obecném případě neuskutečňují, a generují speciální matematické struktury, takže teorie lineárních spojitých funkcionálů je uvažována odděleně od obecné teorie.
↑ Naimark M. A. Normované prsteny. — M .: Nauka, 1968. — 664 s.
↑ Také v konečněrozměrném prostoru se základem lze lineární spojitý operátor reprezentovat jako , kde jsou funkce z duálního prostoru . $X$ ${\displaystyle \{x_{k}\}_{k=1}^{n))$ $A$ $Ax=f_{1}(x)x_{1}+f_{2}(x)x_{2}+\cdots +f_{n}(x)x_{n},\forall x\in X$ $f_{k}\in X^{*}$