Integro-diferenciální rovnice
Integro-diferenciální rovnice jsou třídou rovnic, ve kterých je neznámá funkce obsažena jak pod znaménkem integrálu , tak pod znaménkem diferenciálu nebo derivace .
![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y,{P}_{{m}}[\ varphi (y)])dy=f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899699df789491968f4d4219273141a6e54426f3)
kde
se nazývá vnější diferenciální operátor a je vnitřní diferenciální operátor je jádro integro-diferenciální rovnice![{L}_{{n}}[\varphi (x)]={\frac {{d}^{{n}}\varphi (x)}{{dx}^{{n))))+{ a}_{{1}}(x){\frac {{d}^{{n-1}}\varphi (x)}{{dx}^{{n-1}}}}+... +{a}_{{n}}(x)\varphi (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0081689dacab72f823a1c2a7b11f4047c89638c8)
![{P}_{{m}}[\varphi (y)]={\frac {{d}^{{m}}\varphi (y)}{{dy}^{{m}}}}+{ b}_{{1}}(y){\frac {{d}^{{m-1}}\varphi (y)}{{dy}^{{m-1}}}}+... +{b}_{{m}}(y)\varphi (y)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f26bc52cb5ab78ba6c8fd9a5d3a28ccade779d0)
![K(x,y,{P}_{{m}}[\varphi (y)])](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f365531dab09700aa187c84e9cf8e5aeccf6c009)
Některé integro-diferenciální rovnice lze redukovat na diferenciální rovnice v Banachově prostoru , nicméně existují evoluční integro-diferenciální rovnice (vyskytující se v teorii pružnosti a modelech biologických procesů) obsahující integraci v čase, pro kterou je to obtížné.
Klasifikace integro-diferenciálních rovnic
Lineární integrální rovnice
Lineární integro-diferenciální rovnice jsou rovnice, do kterých operátor vnitřního diferenciálu vstupuje lineárně:
Fredholmovy rovnice![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619dba498117392773d3f33ce153f55e9ca888ed)
Lineární integro-diferenciální Fredholmova rovnice je rovnice s konstantními limity integrace
Fredholmovy rovnice 1. druhuIntegro-diferenciální Fredholmova rovnice 1. druhu je rovnice tvaru:
Fredholmovy rovnice 2. druhu![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cfdd30bb7ccd0c7751e5715d25ebaa0ad4e66a)
Integro-diferenciální Fredholmova rovnice 2. druhu je rovnice tvaru:
Volterrovy rovniceLineární integro-diferenciální Volterrova rovnice je rovnice s proměnnou horní hranicí integrace
Volterrovy rovnice 1. druhuVolterrova integro-diferenciální rovnice 1. druhu je rovnice tvaru:
Volterrovy rovnice 2. druhu![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{x}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718ddb4933ad61041215d9ff67124c7dfe90fc86)
Volterrova integro-diferenciální rovnice 2. druhu je rovnice tvaru:
![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{x}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42c0e0b2290de836116667d80224c63fdb3be86)
Nelineární integrální rovnice
Nelineární Fredholmova rovnice je integro-diferenciální rovnice, do které vnitřní diferenciální operátor vstupuje nelineárně:
Metody řešení integro-diferenciálních rovnic
Viz také
Literatura
- GA Shishkin, Lineární integro-diferenciální Fredholmovy rovnice. Učebnice pro speciální kurz a speciální seminář. Vydavatelství Burjatské státní univerzity 2007.
| Matematická fyzika | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Typy rovnic | |||||||||||
| Typy rovnic | |||||||||||
| Okrajové podmínky | |||||||||||
| Rovnice matematické fyziky |
| ||||||||||
| Metody řešení |
| ||||||||||
| Studium rovnic | |||||||||||
| související témata | |||||||||||