Rovnice

Rovnice - rovnost tvaru

f\left(x_{1},x_{2}\tečky \right)=g\left(x_{1},x_{2}\tečky \right)

kde nejčastěji numerické funkce působí jako , i když v praxi existují složitější případy - například rovnice pro vektorové funkce , funkcionální rovnice a další. $f, g$

Řešení rovnice

Řešení rovnice je úkolem najít takové hodnoty argumentů, pro které je této rovnosti dosaženo. Na možné hodnoty argumentů lze uložit další podmínky (celé číslo, reálné atd.).

Argumenty daných funkcí (někdy nazývané "proměnné") v případě rovnice se nazývají "neznámé".

Hodnoty neznámých, při kterých je této rovnosti dosaženo, se nazývají řešení nebo kořeny dané rovnice .

Říká se, že kořeny splňují danou rovnici.

Řešit rovnici znamená najít množinu všech jejích řešení (kořenů), nebo dokázat, že žádné kořeny vůbec neexistují (nebo neexistují žádné, které by vyhovovaly daným podmínkám).

Ekvivalentní rovnice

Ekvivalent nebo ekvivalent se nazývá rovnice, jejichž množiny kořenů se shodují. Za ekvivalent se považují i rovnice, které nemají kořeny.

Ekvivalence rovnic má vlastnost symetrie : je-li jedna rovnice ekvivalentní jiné, pak je druhá rovnice ekvivalentní první.

Ekvivalence rovnic má vlastnost tranzitivity : pokud je jedna rovnice ekvivalentní druhé a druhá je ekvivalentní třetí, pak je první rovnice ekvivalentní třetí. Vlastnost ekvivalence rovnic umožňuje provádět s nimi transformace, na kterých jsou založeny metody jejich řešení.

Třetí důležitá vlastnost je dána teorémem: pokud jsou funkce definovány v oblasti integrity , pak rovnice $f,g$

f(x)\cdot g(x)=0

je ekvivalentní soustavě rovnic

f(x)=0,\qquad g(x)=0

To znamená, že všechny kořeny první rovnice jsou kořeny jedné z dalších dvou rovnic a umožňuje vám najít kořeny první rovnice ve dvou krocích, přičemž pokaždé řešíte jednodušší rovnice.

Základní vlastnosti

S algebraickými výrazy zahrnutými v rovnicích můžete provádět operace, které nemění její kořeny, zejména:

závorky lze otevřít v jakékoli části rovnice;
v jakékoli části rovnice můžete uvést podobné výrazy;
k oběma částem rovnice lze přidat nebo odečíst stejný výraz;
libovolný člen rovnice lze přenést z jedné části do druhé změnou jejího znaménka na opačné (to je jen další formulace předchozího odstavce);
obě strany rovnice lze vynásobit nebo vydělit stejným nenulovým číslem .

Rovnice, které jsou výsledkem těchto operací, jsou ekvivalentní počáteční rovnici. Existuje však omezení pro vlastnost 3: v případě sčítání nebo odečítání z obou částí rovnice stejného výrazu obsahujícího neznámou a ztrácejícího svůj význam s neznámou nabývající hodnot kořenů této rovnice, rovnice bude získáno, že není ekvivalentní originálu (počáteční). Pokud však k oběma částem rovnice přidáme nebo odečteme stejný výraz, který obsahuje neznámou a ztratí svůj význam pouze tehdy, když hodnoty neznámé nejsou kořeny této rovnice, dostaneme rovnici ekvivalentní počáteční jeden.

Násobení nebo dělení obou stran rovnice výrazem obsahujícím neznámou může vést k objevení se cizích kořenů nebo ke ztrátě kořenů.

Umocnění obou stran rovnice může vést k cizím kořenům.

Důsledek rovnice a cizí kořeny

Rovnice

F\left(x\right)=G\left(x\right)

se nazývá důsledek rovnice

f\left(x\right)=g\left(x\right)

jestliže všechny kořeny druhé rovnice jsou kořeny první. První rovnice může mít další kořeny, které se pro druhou rovnici nazývají vnější. Při transformacích nutných k nalezení kořenů rovnic se mohou objevit cizí kořeny. Abychom je odhalili, je nutné zkontrolovat kořen substitucí v původní rovnici. Pokud se při dosazování rovnice stane identitou, pak je kořen skutečný, pokud ne, je to outsider.

Příklad

Rovnice při umocnění obou stran dává rovnici , nebo . Obě rovnice jsou důsledkem té původní. Poslední z nich je snadné vyřešit; má dva kořeny a . ${\sqrt {2x^{2}-1}}=x$ $2x^{2}-1=x^{2}$ $x^{2}=1$ $x=1$ $x=-1$

Při dosazení prvního kořene v původní rovnici vznikne identita . Nahrazení jiného kořene má za následek nesprávný příkaz . Druhý kořen tedy musí být vyřazen jako outsider. ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=-1$

Typy rovnic

Existují rovnice algebraické , rovnice s parametry , transcendentální , funkcionální , diferenciální a další typy rovnic.

Některé třídy rovnic mají analytická řešení, která jsou vhodná v tom, že dávají nejen přesnou hodnotu odmocniny, ale umožňují zapsat řešení ve formě vzorce, který může obsahovat parametry. Analytické výrazy umožňují nejen vypočítat kořeny, ale analyzovat existenci a počet kořenů v závislosti na hodnotách parametrů, což je pro praktické použití často ještě důležitější než konkrétní hodnoty kořenů.

Rovnice, pro která jsou známa analytická řešení, zahrnují algebraické rovnice ne vyšší než čtvrtý stupeň: lineární , kvadratické , kubické rovnice a rovnice čtvrtého stupně . Algebraické rovnice vyšších stupňů obecně nemají analytické řešení, i když některé z nich lze redukovat na rovnice nižších stupňů.

Rovnice, které zahrnují transcendentální funkce , se nazývají transcendentální. Mezi nimi jsou známá analytická řešení pro některé goniometrické rovnice, protože nuly goniometrických funkcí jsou dobře známé.

V obecném případě, kdy nelze nalézt analytické řešení, se používají výpočetní (numerické) metody . Numerické metody nedávají přesné řešení, ale umožňují pouze zúžit interval , ve kterém kořen leží, na určitou předem stanovenou hodnotu.

Algebraické rovnice

Algebraická rovnice je rovnice tvaru

P\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=0,

kde je polynom v proměnných , které se nazývají neznámé. $P$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$

Koeficienty polynomu jsou obvykle převzaty z nějakého pole a pak se rovnice nazývá algebraická rovnice nad polem . Stupeň algebraické rovnice se nazývá stupeň polynomu . $P$ $F$ $P\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=0$ $F$ $P$

Například rovnice

y^{4}+{\frac {xy}{2}}+y^{2}z^{5}+x^{3}-xy^{2}+{\sqrt {3}}x^{ 2}-\sin{1}=0

je algebraická rovnice sedmého stupně ve třech proměnných (se třemi neznámými) nad polem reálných čísel .

Lineární rovnice

v obecné podobě: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\tečky +a_{n}x_{n}+b=0$
v kanonické podobě: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\tečky +a_{n}x_{n}=b$

Kvadratické rovnice

ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0

kde je volná proměnná, , , jsou koeficienty , a . $X$ $A$ $b$ $C$ $a\neq 0$

Výraz se nazývá čtvercový trojčlen . Kořenem takové rovnice (odmocninou čtvercového trinomu) je hodnota proměnné , která mění čtvercový trojčlen na nulu, tedy hodnota, která mění kvadratickou rovnici na identitu. Koeficienty kvadratické rovnice mají svá jména: koeficient se nazývá první nebo vyšší , koeficient se nazývá druhý nebo koeficient při , se nazývá volný člen této rovnice. Je volána redukovaná kvadratická rovnice, ve které je vedoucí koeficient roven jedné. Takovou rovnici lze získat vydělením celého výrazu úvodním koeficientem : , where , a . Úplná kvadratická rovnice je taková, ve které jsou všechny koeficienty nenulové. Neúplná kvadratická rovnice je taková, ve které je alespoň jeden z koeficientů kromě nejvyššího (buď druhý koeficient nebo volný člen) roven nule. $ax^{2}+bx+c$ $X$ $A$ $b$ $X$ $C$ $A$ $x^{2}+px+q=0$ $p={\frac {b}{a}}$ $q={\frac {c}{a}}$

Chcete-li najít kořeny kvadratické rovnice v obecném případě, měli byste použít níže uvedený algoritmus: $ax^{2}+bx+c=0$

Vypočítejte hodnotu diskriminantu kvadratické rovnice: takový je výraz pro ni .

D=b^{2}-4ac

1) pokud $D>0$	2) pokud $D=0$	3) pokud $D<0$
pak existují dva kořeny a k jejich nalezení použijte vzorec $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}} (1)$	pak kořen je jedna (v některých kontextech se také mluví o dvou stejných nebo shodných kořenech nebo kořenu násobnosti 2 ), a je roven $-{\frac {b}{2a))$	pak na množině reálných čísel nejsou žádné kořeny.

Zákresem kvadratické funkce v pravoúhlých souřadnicích je parabola. Protíná osu x v bodech odpovídajících kořenům kvadratické rovnice . $f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ $f\left(x\right)=0$

Kubické rovnice

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\quad a\neq 0

Pro grafickou analýzu kubické rovnice v pravoúhlých souřadnicích se používá kubická parabola .

Jakákoli kubická kanonická rovnice může být redukována na jednodušší formu

y^{3}+py+q=0

rozdělením a nahrazením do něj náhradou . V tomto případě se koeficienty budou rovnat: $A$ $x=y-{\tfrac {b}{3a))$

{\displaystyle q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}= {\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3))))

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^ {2}}}

. Rovnice čtvrtého stupně

f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.

Čtvrtý stupeň pro algebraické rovnice je nejvyšší , pro které existuje analytické řešení v radikálech v obecné formě (to znamená pro jakékoli hodnoty koeficientů).

Protože se jedná o polynom sudého stupně, má stejnou limitu, protože má sklon k plus a mínus nekonečnu. Jestliže , pak se funkce zvětší na plus nekonečno na obou stranách, a proto má globální minimum. Podobně, jestliže , pak funkce klesá do mínus nekonečna na obou stranách, a proto má globální maximum. $f\left(x\right)$ $a>0$ $a<0$

Iracionální a racionální rovnice

Racionální rovnice je druh rovnice, ve které jsou levá a pravá strana racionálními výrazy. V záznamu rovnice je pouze sčítání, odčítání, násobení, dělení a také umocňování na celé číslo.
Iracionální rovnice je rovnice obsahující neznámou pod kořenovým znaménkem. nebo zvýšen na moc, kterou nelze snížit na celé číslo.

Systémy lineárních algebraických rovnic

Systém rovnic ve tvaru:

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}

(jeden)

Zde je počet rovnic a počet neznámých. x 1 , x 2 , …, x n jsou neznámé, které je třeba určit. a 11 , a 12 , …, a mn — koeficienty soustavy — a b 1 , b 2 , … b m — volné členy — se předpokládá, že jsou známé. Indexy koeficientů ( a ij ) soustavy označují čísla rovnice ( i ) respektive neznámé ( j ), na kterých tento koeficient stojí [1] . $m$ $n$

Systém se nazývá homogenní , pokud jsou všechny jeho volné členy rovny nule ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), jinak - heterogenní. Systém se nazývá kvadratický , jestliže počet m rovnic je roven počtu n neznámých. Řešením systému je množina n čísel c 1 , c 2 , …, c n , takže dosazení každého c i místo x i do systému změní všechny jeho rovnice na identity . Systém se nazývá kompatibilní , pokud má alespoň jedno řešení, a nekonzistentní, pokud nemá žádná řešení. Řešení c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) a c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) kloubového systému se nazývají různá, pokud alespoň jeden z rovnosti:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Společný systém se nazývá určitý , pokud má jedinečné řešení; pokud má alespoň dvě různá řešení, pak se nazývá neurčitý. Pokud existuje více rovnic než neznámých, nazývá se přeurčená .

Rovnice s parametry

Rovnice s parametry je matematická rovnice, jejíž vzhled a řešení závisí na hodnotách jednoho nebo více parametrů. Řešení rovnice s parametrem znamená:

Najděte všechny soustavy hodnot parametrů, pro které má daná rovnice řešení.
Najděte všechna řešení pro každý nalezený systém hodnot parametrů, to znamená, že pro neznámé a parametr musí být uvedeny jejich rozsahy přijatelných hodnot.

Rovnice s parametrem mohou být lineární i nelineární.

Příklad lineární rovnice s parametrem:

a\,x+1=4,

Příklad nelineární rovnice s parametrem:

{\mbox{log}}_{{x^{2}}}{\frac {a+3}{7-x}}=5,

kde je nezávislá proměnná, je parametr. $X$ $A$

Transcendentální rovnice

Transcendentální rovnice je rovnice, která není algebraická . Obvykle se jedná o rovnice obsahující exponenciální, logaritmické, goniometrické, inverzní goniometrické funkce, například:

$\cos x=x$ - goniometrická rovnice;
$\lg x=x-5$ - logaritmická rovnice;
$2^{x}=\lg x+x^{5}+40$ - exponenciální rovnice.

Přesnější definice je toto: transcendentální rovnice je rovnice formy , kde funkce a jsou analytické funkce a alespoň jedna z nich není algebraická . $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ $F$ $G$

Funkční rovnice

Funkční rovnice je rovnice, která vyjadřuje vztah mezi hodnotou funkce (nebo funkcí) v jednom bodě a jejími hodnotami v jiných bodech. Mnoho vlastností funkcí lze určit zkoumáním funkčních rovnic, které tyto funkce splňují. Termín "funkční rovnice" se obvykle používá pro rovnice, které nelze jednoduchými způsoby redukovat na algebraické rovnice. Tato neredukovatelnost je nejčastěji způsobena tím, že argumenty neznámé funkce v rovnici nejsou samotné nezávislé proměnné, ale některá data funkce z nich. Například:

funkční rovnice

f\left(s\right)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma \left( 1-s\vpravo)f\vlevo (1-s\vpravo)

kde je Eulerova gama funkce , splňuje Riemannovu zeta funkci ζ.

\Gamma(z)

Následující tři rovnice jsou splněny funkcí gama ; je to jediné řešení tohoto systému tří rovnic:

{\displaystyle f\left(x\right)={f\left(x+1\right)\over x))

f\left(y\right)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}} }f\left(2y\right)

{\displaystyle f\left(z\right)f\left(1-z\right)={\pi \over \sin \left(\pi z\right)))

( Eulerův vzorec doplňku ).

Funkční rovnice

f\left({az+b \over cz+d}\right)=\left(cz+d\right)^{k}f\left(z\right)

kde , , , jsou celá čísla splňující rovnost , tedy definuje jako modulární formu řádu k .

A

b

C

d

ad-bc=1

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=1

F

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice je rovnice, která dává do vztahu hodnotu nějaké neznámé funkce v určitém bodě a hodnotu jejích derivací různých řádů ve stejném bodě. Diferenciální rovnice obsahuje ve svém záznamu neznámou funkci, její derivace a nezávislé proměnné. Řád diferenciální rovnice je největším řádem derivací v ní obsažených. Řešením diferenciální rovnice řádu n je funkce , která má derivace až do řádu n včetně na nějakém intervalu (a, b) a splňuje tuto rovnici. Proces řešení diferenciální rovnice se nazývá integrace . $y\left(x\right)$ $y'\left(x\right),y''\left(x\right),\tečky ,y^{\left(n\right)}\left(x\right)$

Všechny diferenciální rovnice lze rozdělit na

obyčejné diferenciální rovnice (ODR), které zahrnují pouze funkce (a jejich derivace) jednoho argumentu :

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0

nebo ,

F\left(x,y,{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}},{\frac {{\mathrm {d}}^{{2}} y}{{\mathrm {d}}x^{2}}},...,{\frac {{\mathrm {d}}^{{n}}y}{{\mathrm {d}}x ^{n}}}\right)=0

kde je neznámá funkce (případně vektorová funkce ; v tomto případě se často mluví o systému diferenciálních rovnic) v závislosti na nezávisle proměnné ; prvočíslo znamená diferenciaci s ohledem na .

y=y\left(x\right)

X

X

a parciální diferenciální rovnice , ve kterých vstupní funkce závisí na mnoha proměnných :

F\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{m},z,{\frac {\částečné z}{\částečné x_{1))},{\frac {\částečné z} {\částečné x_{2))},\tečky ,{\frac {\částečné z}{\částečné x_{m))},{\frac {\částečné ^{2}z}{\částečné x_{1} ^{2}}},{\frac {\částečné ^{2}z}{\částečné x_{1}\částečné x_{2}}},{\frac {\částečné ^{2}z}{\částečné x_{2}^{2))),\tečky ,{\frac {\částečné ^{n}z}{\částečné x_{m}^{n))}\right)=0

, kde jsou nezávislé proměnné a je funkcí těchto proměnných.

x_{1},x_{2},\tečky ,x_{m}

z=z\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{m}\right)

Zpočátku vznikly diferenciální rovnice z problémů mechaniky , na kterých se podílely souřadnice těles , jejich rychlosti a zrychlení , uvažované jako funkce času .

Příklady rovnic

$x+3=2x$
$x^{2}+1=0$
$e^{{x+y}}=x+y$
$a^{n}+b^{n}=c^{n}$ , kde jsou přirozená čísla $a,b,c,n$

Viz také

Poznámky

↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineární algebra: Učebnice pro univerzity. - 6. vyd., vymazáno. — M.: FIZMATLIT, 2004. — 280 s.

Literatura

Bekarevič A. N. Rovnice ve školním kurzu matematiky. - Minsk: Nar. Asveta, 1968. - 152 s.
Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky . — M .: Nauka, 1978.
- Znovuvydání: Ed. AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Markushevich, L. A. Rovnice a nerovnice v závěrečném opakování kurzu středoškolské algebry / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Matematika ve škole. - 2004. - č. 1.

Odkazy

Rovnice - článek z Velké sovětské encyklopedie .
Rovnice // Collierova encyklopedie. — Otevřená společnost. 2000.
Rovnice // Encyklopedie kolem světa
Rovnice // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
EqWorld - Svět matematických rovnic - obsahuje rozsáhlé informace o matematických rovnicích a soustavách rovnic.