Iracionální rovnice

Iracionální rovnice je rovnice , která obsahuje neznámou pod znaménkem odmocniny nebo je umocněna mocninou, kterou nelze redukovat na celé číslo . Nejjednodušším příkladem iracionální rovnice je rovnice nebo . Někdy mohou být kořeny označeny jako racionální síly neznáma, to znamená, že místo toho píší . $\surd$ ${\sqrt {x}}=2$ ${\sqrt[{3}]{x}}=-3$ ${\sqrt[{n}]{x}}$ $x^{\frac {1}{n))$

Příklady a klasifikace

$3(x+4)=x$ - protože proměnná není pod kořenovým znaménkem - jedná se o algebraickou rovnici. $X$
$3(y+z)^{2}=x-{\sqrt {\pi ))$ - protože žádná z proměnných , , není pod kořenovým znaménkem, ale je konstantním číslem - jedná se o algebraickou rovnici. $z$ $y$ $X$ ${\sqrt {\pi ))$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}={\frac {1}{x}}$ - protože proměnná není pod znaménkem odmocniny a - konstantní číslo je racionální rovnice. $X$ ${\sqrt 3}$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{-1}$ - i rovnice, kde neznámá stojí se zápornými mocninami, nejsou iracionální. Jedná se opět o racionální rovnici shodnou s tou popsanou výše. $X$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{0}$ je algebraická rovnice, protože $x^{0}=1$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{\frac {1}{2}}$ - protože proměnná je umocněna na zlomkovou mocninu, kterou nelze redukovat na celé číslo - jedná se o iracionální rovnici. $X$

Stručně řečeno, pravidlo pro přiřazení rovnic do jedné nebo druhé kategorie může být formulováno takto:

jestliže všechny mocniny neznámých v rovnici patří do množiny přirozených čísel , pak je taková rovnice považována za algebraickou. $\mathbb {N}$
jestliže všechny mocniny neznámých v rovnici patří do množiny celých čísel , pak se taková rovnice nazývá racionální. $\mathbb {Z}$
jestliže všechny mocniny neznámých v rovnici patří do množiny racionálních čísel , pak se taková rovnice nazývá iracionální. $\mathbb {Q}$

Příklady složitějších iracionálních rovnic mohou sloužit jako příklady:

{\sqrt {x+4}}+{\sqrt {x+9}}=5

7{\sqrt[{3}]{2x^{2}+6}}-3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}=11

x^{2}+{\sqrt {x-1}}=10x+{\sqrt[{11}]{x-2}}+1

Vztah s algebraickými rovnicemi

Libovolnou iracionální rovnici pomocí elementárních algebraických operací (násobení, dělení, umocnění obou částí rovnice na celočíselnou mocninu) lze redukovat na racionální algebraickou rovnici . Například rovnici zvýšením na druhou mocninu lze převést do tvaru , což již není iracionální rovnice, ale algebraická. ${\sqrt {x^{2}+x}}=2$ $x^{2}+x=4$

Je třeba mít na paměti, že výsledná racionální algebraická rovnice nemusí být ekvivalentní původní iracionální rovnici, konkrétně může obsahovat kořeny „navíc“, které nebudou kořeny původní iracionální rovnice. Po nalezení kořenů získané racionální algebraické rovnice je tedy nutné ověřit, zda všechny kořeny racionální rovnice budou kořeny iracionální rovnice.

Řešení přístupů

V obecném případě je obtížné naznačit nějakou univerzální metodu pro řešení jakékoli iracionální rovnice, protože je žádoucí, aby v důsledku transformací původní iracionální rovnice nevznikl jen nějaký druh racionální algebraické rovnice mezi kořeny což budou kořeny této iracionální rovnice, ale racionální algebraická rovnice vytvořená z polynomů co nejmenšího stupně. Touha získat racionální algebraickou rovnici vytvořenou z polynomů co nejmenšího stupně je zcela přirozená, protože nalezení všech kořenů racionální algebraické rovnice může být samo o sobě poměrně obtížným úkolem, který můžeme zcela vyřešit pouze ve velmi omezeném počtu. případů.

Umocňování

Jestliže se obě části iracionální rovnice zvýší na stejnou lichou mocninu a zbaví se radikálů, získá se rovnice, která je ekvivalentní původní rovnici.

Když se rovnice zvýší na sudou mocninu, získá se rovnice, která je důsledkem té původní. Proto je možný výskyt vnějších řešení rovnice. Důvodem pro získání odmocnin je to, že při zvýšení na sudou mocninu čísel, která jsou stejná v absolutní hodnotě, ale odlišná ve znaménku, je získán stejný výsledek.

Všimněte si, že ztráta kořenů při zvýšení rovnice na sudou mocninu je nemožná, ale mohou se objevit cizí kořeny. Zvažte příklad:

Pojďme řešit rovnici ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8$

Zvyšte obě strany rovnice na druhou mocninu

$({\sqrt {x^{2}+4x-5)))^{2}=(4x-8)^{2}$

protože zvyšujeme na rovnoměrnou sílu, je možný výskyt cizích kořenů, protože samotným procesem zvyšování rozšiřujeme rozsah přijatelných hodnot (ODZ) pro radikální výrazy.

Takže, když byla přirovnána ke známému kladnému číslu (od , na základě definice aritmetického kořene), proměnná nemohla nabývat hodnot, které by byly převedeny na záporná čísla, což znamená nebo . $4x-8$ ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}\geqslant 0$ $X$ $4x-8$ $4x-8\geqslant 0$ $x\geqslant 2$

Jinými slovy, na místě s příkazem problém jsme také dostali omezení na hodnoty proměnné (ODV) ve tvaru . Ale po umocnění obou stran dostaneme rovnici $x\geqslant 2$

$x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64$ ,

již ve kterém je oblast přípustných hodnot ( ODZ ) se změnou zcela odlišná (nyní může nabývat absolutně jakýchkoli hodnot, to znamená, že ODZ se oproti původní rovnici rozšířila). $X$ $X$

Pravděpodobnost cizích kořenů se samozřejmě dramaticky zvýšila jednoduše tím, že se nyní může stát kořenem mnohem více čísel, a nejen ta, která . $x\geqslant 2$

Pokračujeme v řešení a zjednodušování, dostáváme kvadratickou rovnici: $x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64$

$15x^{2}-68x+69=0$ , jehož kořeny jsou

$x=3$ a $x={\frac {23}{15}}$

Je třeba poznamenat, že a jsou přesně kořeny rovnice , ale zatím není známo, zda jsou kořeny původní rovnice. $x=3$ $x={\frac {23}{15}}$ $15x^{2}-68x+69=0$ ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8$

Víme tedy, že kořeny původní rovnice nemohou být menší než 2, ale mezitím je kořen menší než dva, což znamená, že nemůže být kořenem původní rovnice. $x={\frac {23}{15}}\cca 1,533333...$

Odpovědět: ${\displaystyle x\in \{3\))$

Nahrazení systému podmínek

Použití vlastností kořene

Zavedení nových proměnných

Zavedení pomocné proměnné v některých případech vede ke zjednodušení rovnice. Nejčastěji se jako nová proměnná používá kořen (radikál) obsažený v rovnici. V tomto případě se rovnice stane racionální vzhledem k nové proměnné.

Příklad 1 [1] : Řešte rovnici $2x^{2}+3x+{\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=33,x\in \mathbb {R}$

Udělejme náhradu , je jasné, že jsme tím uvalili omezení na novou proměnnou ve tvaru , protože aritmetický kořen nemůže být záporné číslo. $y={\sqrt {2x^{2}+3x+9}}$ $y\geqslant {0}$

Po zvýšení na druhou mocninu se zbavíme znaménka kořene a dostaneme výraz . Dále, po dosazení do původní rovnice, dostaneme následující rovnici: $y$ $y^{2}=2x^{2}+3x+9$ $y$

$y^{2}+y-42=0$ ,

jehož kořeny a . Ale nemůže to být záporné číslo, protože jsme ho definovali naší substitucí, takže budeme uvažovat pouze . Dále, řešením rovnice , dostaneme kořeny a . $y=6$ $y=-7$ $y$ $y$ $y=6$ ${\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=6$ $x=3$ $x=-4,5$

Odpovědět: $x\in \{3;-4,5\}$

Příklad 2 [2] : Řešte rovnici ${\sqrt[{3}]{x+28}}-{\sqrt[{3}]{x-9}}=1$

Udělejme dvě substituce: a , po jejich zvýšení na třetí mocninu, dostaneme a . Dále řešení každé nové rovnice pro $u={\sqrt[{3}]{x+28))$ $v={\sqrt[{3}]{x-9))$ $u^{3}=x+28$ $v^{3}=x-9$ $X$

$x=u^{3}-28$ a , a po vyrovnání těchto rovnic dostaneme rovnici , ale vzhledem k tomu, jak jsme zavedli a , máme také rovnici , což znamená, že máme soustavu rovnic: $x=v^{3}+9$ $u^{3}-28=v^{3}+9$ $u$ $proti$ $uv=1$

${\begin{cases}uv=1\\u^{3}-v^{3}=37\end{cases))$

Po vyřešení systému získáme hodnoty a , což znamená, že musíme vyřešit další dvě rovnice: $v_{1}=3$ $v_{2}=-4$

${\sqrt[{3}]{x-9}}=3$ a , jejichž řešení a . ${\sqrt[{3}]{x-9}}=-4$ $x=36$ $x=-55$

Odpovědět: $x\in \{36;-55\}$

Použití rozsahu

Transformace identity

Použití derivace

Použití majorantu

Výraz „ majorante “ pochází z francouzského slova „majorante“ , z „majorer“ – prohlásit za velkého.

Majorant dané funkce na daném intervalu je číslo A takové, že buď pro všechna x z daného intervalu, nebo pro všechna x z daného intervalu. Hlavní myšlenkou metody je použití následujících vět k řešení iracionálních rovnic: $f(x)$ $f(x)\leqslant {A}$ $f(x)\geqslant {A}$

Věta číslo 1.

Dovolit a být některé funkce definované na množině . Nechť je na této množině ohraničena číslem A shora a na této množině stejným číslem A , ale zdola. $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $g(x)$

Pak je rovnice ekvivalentní soustavě: $f(x)=g(x)$

${\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=A\end{cases))$

Věta číslo 2.

Dovolit a být některé funkce definované na množině . Nechť a být omezeni na této množině zdola (shora) čísly A a B . Potom je rovnice ekvivalentní soustavě rovnic: $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)+g(x)=A+B$

${\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=B\end{cases))$

Věta číslo 3.

Dovolit a být některé nezáporné funkce definované na množině . Nechť je ohraničena shora (nebo zdola) čísly A a B . Potom je rovnice ekvivalentní soustavě rovnic (za předpokladu, že a ): $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $f(x)g(x)=AB$ $A>0$ $B>0$

${\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=B\end{cases))$

V tomto výroku je zvláště důležitá podmínka nezápornosti funkcí a , stejně jako podmínka pozitivity A a B. $f(x)$ $g(x)$

Příklad:

řešit rovnici ${\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1}}+{\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25}}=6$

Zaveďme kratší zápis: a . $f(x,y)={\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1))$ $g(x,y)={\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25))$

Hodnoty větší nebo rovné 1, protože radikální výraz je zřejmý . A jen kdyby . Podobně hodnoty nejsou menší než 5. Můžeme tedy psát . Proto pomocí věty #2: $f(x,y)$ $(x-2y+1)^{2}+1$ $\geqslant {1}$ $f(x,y)=1$ $(x-2y+1)^{2}=0$ $g(x,y)$ $f(x,y)+g(x,y)=1+5$

${\begin{cases}f(x,y)=1\\g(x,y)=5\end{cases))$ nebo ${\begin{cases}{\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1}}=1\\{\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25} }=5\end{cases}}$

Umocněním obou rovnic dostaneme

${\begin{cases}(x-2y+1)^{2}=0\\(3x-y-2)^{2}=0\end{cases))$ , což dále zjednodušuje ${\begin{cases}x-2y+1=0\\3x-y-2=0\end{cases))$

Jediné řešení tohoto systému $(1;1)$

Odpovědět: $(1;1)$

Grafický přístup

V některých případech umožňuje vykreslení funkce vyhodnotit možné způsoby řešení rovnice, počet kořenů nebo jejich přibližnou hodnotu.

Poznámky

↑ Akatkina Elena Mikhailovna. Metody řešení iracionálních rovnic . Otevřete lekci.rf . (neurčitý)
↑ Eremenko Elena Vasilievna. Iracionální rovnice . Otevřete lekci.rf . Získáno 24. října 2020. Archivováno z originálu dne 21. září 2020. (neurčitý)

Odkazy

[ Iracionální rovnice. Příklady s řešeními ]