Řešení rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. července 2018; kontroly vyžadují 55 úprav .

V matematice je řešení rovnice úkolem najít všechny hodnoty argumentů ( čísla , funkce , množiny atd.), pro které platí rovnost (výrazy nalevo a napravo od rovnítka se stanou ekvivalentními ). Hodnoty neznámých proměnných , při kterých je této rovnosti dosaženo, se nazývají řešení nebo kořeny dané rovnice. Řešit rovnici znamená najít množinu všech jejích řešení (kořenů) nebo dokázat, že žádné kořeny vůbec neexistují (nebo neexistují žádné, které splňují dané podmínky).

Například rovnice je vyřešena pro neznámou pomocí nahrazení , protože nahrazení proměnné výrazem změní rovnici na identitu : Navíc, pokud vložíme neznámou proměnnou, rovnice se vyřeší pomocí nahrazení . Nahrazení proměnné výrazem změní rovnici na identitu : Také a lze je současně považovat za neznámé proměnné. Existuje mnoho řešení rovnice pro takový případ, například - tedy a obecně pro všechny možné hodnoty. $x+y=2x-1$ $X$ $x=y+1,$ $X$ $y+1$ $(y+1)+y=2(y+1)-1.$ $y,$ $y=x-1$ $y$ $x-1$ $x+(x-1)=2x-1.$ $X$ $y$ $(x,y)=(1,0)$ $x=1$ $y=0,$ $(x,y)=(a+1,{\text{ }}a)$

V závislosti na problému může být nutné najít jedno řešení (jakékoli vhodné řešení) nebo všechna řešení rovnice. Všechna řešení rovnice se nazývají množina řešení . Kromě jednoduchého nalezení řešení může být kladen úkol najít nejlepší řešení rovnice s ohledem na jakýkoli parametr . Problémy tohoto druhu se nazývají optimalizační problémy . Řešení optimalizačních problémů se obecně nenazývají „řešení rovnice“.

Analytické metody řešení rovnice

Metoda řešení problému (včetně rovnic) je primárně chápána jako krokový algoritmus .

Metoda analytického řešení (jinak jen analytické řešení ) je výraz v uzavřeném tvaru , který lze vypočítat v konečném počtu operací [1] . V této fázi vývoje teorie a technologievšak existují vzorce (výrazy) obsahující nevyčíslitelné (nebo nereprezentovatelné) funkceDále pod analytickým řešením rozumíme jakékoli řešení zapsané ve formě vzorce, obsahující známé nebo určité funkce parametrů (v případě numerických rovnic) nebo proměnných (v případě funkcionálních rovnic ). Níže jsou uvedeny hlavní analytické metody pro řešení různých typů rovnic.

Způsob výběru hodnoty

Nejjednodušší nelogická (protože nevyžaduje žádnou poslušnost zákonům matematické logiky ) metoda řešení rovnice, která spočívá v uhodnutí správné kořenové hodnoty . S touto metodou se začíná učit řešit složitější rovnice než lineární (například čtvercové a kubické ) v 5.-7. ročníku střední školy v Rusku.

Příklad řešení rovnice metodou výběru: $x^{2}-2x+1=0$

Lze snadno uhodnout, že jedním z kořenů rovnice bude Pro kontrolu správnosti zvolené hodnoty je nutné ji dosadit do původní rovnice místo proměnné . $jeden.$ $x:{\text{ }}1^{2}-2\cdot 1+1=0\Longleftrightarrow 0=0.$

Jak vidíte, požadovaná shodná rovnost je splněna, což znamená, že hodnota, kterou jsme našli, je správná (tj. je zahrnuta v množině řešení rovnice).

Nevýhody metody výběru:

Nejčastěji jsou kořeny rovnice iracionální (algebraicky iracionální nebo dokonce transcendentální ) čísla, která je téměř nemožné uhodnout;
Metoda výběru nemůže indikovat absenci řešení za jakýchkoli omezení hodnoty řešení;
V případě nekonečné množiny řešení (například v rovnicích se dvěma a více proměnnými) je tato metoda zcela nevhodná, nicméně může být užitečná při použití jedné vybrané správné hodnoty jakoukoli jinou známou metodou, lze získat tzv. zbytek možných řešení [2] ;
Ne všechny rovnice jsou prezentovány jako jednoduché funkce proměnné, takže metoda výběru také není schopna takové rovnice řešit;
Použitelnost této metody je omezena nejen složitostí rovnic, jejich typem a rozsahem proveditelných řešení , ale také přítomností dobrých výpočetních schopností, znalostí nejběžnějších hodnot a jejich shody s konkrétním typem rovnic [3] .

Výhody metody výběru:

Snadné použití (aplikace metody výběru nevyžaduje téměř žádné logické akce , s výjimkou ověření);
Rychlost získání řešení (obvykle tam, kde je v kontextu naznačena nutnost použití metody výběru, jsou řešení vybrána poměrně rychle);
Přístupnost v aplikaci (ostatně někdy se stane, že neexistuje analytické řešení žádného typu rovnice, ale hodnotu lze v konkrétním případě stále snadno vybrat, například rovnici zatím nelze analyticky vyřešit [4] , ale přesto Získat alespoň jeden kořen pomocí metody výběru je poměrně jednoduché: $2^{x}-x^{2}-1=0$ $x=1\longrightarrow 2^{1}-1^{2}-1=0\Longleftrightarrow 0=0).$

Úplný výčet

Speciálním případem metody výběru je metoda úplného výčtu – tedy hledání řešení vyčerpáním všech možných možností. Používá se, když je množina všech řešení (nebo všech řešení, která splňují určité podmínky) konečná.

Metoda zpětné operace

Tato metoda řešení rovnic, jinak nazývaná metoda konstrukce inverzní funkce , je založena na vlastnosti inverzní funkce vyrovnávat vliv funkce na hodnotu proměnné [5] :

$f^{-1}(f(x))=x$ nebo, což je v podstatě totéž, $f(f^{-1}(x))=x.$

Metoda se obvykle používá jako součást jiných rozhodovacích metod a používá se nezávisle pouze tehdy, když jsou proměnné a konstanty na opačných stranách rovnítka: $f(x)=g(a_{0},a_{1},...a_{i}),a_{i}=konst.$

Nejjednodušším příkladem je lineární rovnice : Zde to znamená a dostáváme: totéž je nyní třeba udělat s druhou částí rovnice: odtud Zkontrolujte: $5x=10.$ $f(x)=5x,{\text{ }}g(a_{i})=10,$ $f^{-1}(x)={\frac {x}{5)),$ $f^{-1}(f(x))={\frac {5x}{5}}=x,$ $f^{-1}(g(a_{i}))={\frac {10}{5}}=2,$ $x=2.$ $5\cdot 2=10\Longleftrightarrow 10=10.$

Další příklad: $x^{2}=4\Longleftrightarrow x=\pm {\sqrt {4))\Longleftrightarrow x_{1,2}=2;-2.$

Nevýhody metody obrácené operace:

Někdy inverzní funkce proměnné jako součást jiných metod řešení vede k několika výsledkům, díky nimž se v řešení objevují cizí kořeny , které byly získány logickým způsobem, ale nezapadají do rovnice (porušují stejnou rovnost) [ 6] [7] , což se ukáže až při kontrole;
Inverzní operace se nejčastěji zdají mnohem komplikovanější než ty obvyklé (např. děti na prvním stupni základní školy vnímají dělení jako složitější operaci než násobení, na které jsou „obvyklé“, středoškoláci se integraci často adaptují na dlouhou dobu , protože diferenciace je jim také velmi známá, vnímaná jako lehčí)
Případy jsou vzácné, ale také k nim dochází, když je ta či ona operace inverzní sama k sobě (například jako lineární funkce nebo integrál a derivace exponenciální funkce [ 8] ); $f(x)=x,$ $f(x)=e^{x}$
Ne všechny inverzní funkce lze reprezentovat jako složení jiných známých funkcí (nejčastěji se jedná o integrály - Fresnelovy integrály , Laplaceova funkce , integrál sinus a kosinus , integrální exponent , nebo např. neelementární, jako Lambert W- funkce , tetratium a superkořen ) ;
Ne každá inverzní operace dává platné nebo dokonce žádné řešení vůbec (např. funkce udává reálné číslo pro libovolnou hodnotu proměnné, tato hodnota je však vždy nezáporná [9] , proto hledání inverzní funkce je omezena na nezápornost argumentu, dále například existují neintegrovatelné [10] nebo nediferencovatelné [11] funkce, jako je Dirichletova funkce , Weierstrassova funkce atd.); $f(x)=x^{2}$
Pro některé inverzní operace stále neexistuje žádný výpočetní algoritmus, takže hodnoty těchto funkcí jako řešení jakýchkoli rovnic zůstávají ve formě vzorců (například superlogaritmus , Riemannova ζ-funkce atd.).

Výhody metody zpětných operací:

Na rozdíl od metody výběru vám použití inverzních funkcí nejčastěji umožňuje nevynechat další existující proveditelná řešení, i když je jejich množina nekonečná;
Inverzní operace jsou jednou z hlavních součástí téměř všech logických metod řešení rovnic, používají se mnohem častěji a svým příkladem pomáhají lépe porozumět pojmům oblasti přípustných hodnot , oblasti definice a oblast změny hodnoty argumentu (argumentů) ;
Ve většině případů lze hodnoty inverzních funkcí vypočítat pomocí různých druhů kalkulaček, nebo je naopak ponechat ve vzorcovém výrazu pro usnadnění dalšího použití.

Grafická metoda

Tento způsob řešení problémů (včetně rovnic) je založen na základní vlastnosti funkčních grafů - určitém a (ideálně) přesném zobrazení hodnot argumentů a hodnot funkcí z těchto argumentů v souřadnicovém prostoru. , v důsledku čehož každý bod grafu nemá více než jednu sadu těchto hodnot pro každou konkrétní funkci (to znamená, že dvě hodnoty ze stejného argumentu nelze přiřadit ke stejnému souřadnicovému bodu).

Podle definice mají dvě funkce jeden společný bod (průsečík grafů), když se jejich hodnoty z jedné (jejich) a stejné hodnoty (s) argumentu (s) rovnají: $f(x_{1},x_{2},...,x_{i})=g(x_{1},x_{2},...,x_{i}).$

Vyřešme rovnici například graficky (viz obrázek níže): ${\frac {1}{2}}x^{2}-4x+10=x-2$

Zde je graf funkce znázorněn černě modrou barvou - graf funkce Úsečky bodů A a B tvoří množinu řešení původní rovnice: kterou snadno nalezneme promítnutím bodů na osu úsečky ( osa ). Ověření: a Řešení je vyčerpávající, protože přímka nemůže protínat parabolu více než dvakrát (podle Základní věty algebry ). $f(x)={\frac {1}{2}}x^{2}-4x+10,$ $g(x)=x-2.$ $x_{1}=4,x_{2}=6,$ $X$ ${\frac {1}{2}}\cdot 4^{2}-4\cdot 4+10=4-2\Longleftrightarrow 2=2$ ${\frac {1}{2}}\cdot 6^{2}-4\cdot 6+10=6-2\Longleftrightarrow 4=4.$

Nevýhody grafické metody:

Graficky lze kromě jednoduchých případů získat pouze přibližné řešení;
Ne všechny hodnoty a ne všechny funkce jsou spočítatelné, takže jejich grafy nelze sestavit nezávisle;
Bez znalosti vlastností funkcí zahrnutých v rovnici nelze s jistotou říci, zda je výsledná množina řešení vyčerpávající;
Nejčastěji je použitelnost této metody omezena na vykreslování funkcí v blízkosti středu souřadnic;
Reprodukovat grafy funkcí, jak se říká, "v mysli" může být docela obtížné, v takových případech se neobejdete bez dalších zařízení.

Výhody grafické metody:

Snadné použití (stačí středoškolská úroveň);
Dostupnost v aplikaci (například když řešení rovnice ještě nebylo studováno nebo není vůbec k dispozici);
Vizuální reprezentace (pomáhá lépe pochopit, co je řešení a jak jej lze znázornit) [12] .

Kromě popsané metody existují speciální upravené grafické metody, například metoda Lily .

Metoda pro odhad BOZP

Metoda odhadu ODZ (rozsah přijatelných hodnot) spočívá v odříznutí některé části hodnot z rozsahu hodnot funkce, ve které daná funkce neexistuje (v opačném případě odříznutí hodnot že to nemůže trvat).

Vyřešme například následující soustavu rovnic pomocí metody odhadu ODZ:

${\begin{cases}{\frac {1}{x+1}}+x+1=2\\\sin ^{2}(x)=x\end{cases}}$

Začněme horní rovnicí, založenou na následující vlastnosti součtu reciprokých čísel : Je přímo odvozena ze speciálního případu nestriktní mocninné střední nerovnosti [14] . Rovnosti ke dvěma je navíc dosaženo pouze tehdy, jsou-li tato čísla rovna: Výsledkem je sada řešení: ${\frac {1}{n}}+n\geqslant 2,n>0.$ ${\frac {1}{x+1}}=x+1\Longleftrightarrow (x+1)^{2}=1\Longleftrightarrow x+1=\pm 1.$ $x_{1}=0,{\text{ }}x_{2}=-2.$

V dolní rovnici je nezáporná kvadratická funkce , jejíž funkční hodnoty leží v rozsahu $f(x)=\sin(x),$ $\{-1;{\text{ }}1\}.$

Jak vidíte, druhé řešení nesplňuje obě kritéria, což nám ušetří nutnost druhé kontroly. Zbývá zkontrolovat první kořen: Jediným řešením původní soustavy rovnic je tedy $\sin(0)=0\Longleftrightarrow \sin ^{2}(0)=0\Longleftrightarrow 0=0.$ $x_{1}=0.$

Nevýhody metody odhadu DHS:

Existují funkce, jejichž studium je extrémně obtížné, a proto jejich vlastnosti zůstávají dlouho neznámé, například funkce navržená Riemannem [15] ${\displaystyle {\biggl ())$ ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n^{2}x)}{n^{2))))$ ${\biggr )};$
Metoda odhadu často vede k intervalu, ve kterém leží možná řešení, a pak je třeba je najít metodou výběru s přihlédnutím k získanému omezení;
Hodnocení hodnot funkcí je založeno na znalosti jejich vlastností, které, jak se často stává, kvůli rozmanitosti samotných funkcí nejsou shromažďovány v jednom zdroji.

Výhody metody hodnocení LHS:

Tato metoda je užitečná, když je nutné prokázat absenci proveditelného řešení, ale jinými metodami to není možné;
Metodou odhadu ODZ lze na rozdíl od grafické metody a metody výběru získat nekonečné množství proveditelných řešení;
Jak je ukázáno v příkladu, správná aplikace metody hodnocení se vyhne dodatečným kontrolám;
Některé rovnice se tímto způsobem řeší mnohem snadněji (například speciální případy iracionálních rovnic ).

Metoda faktoringu

K jejich reprezentaci jako součinu několika méně složitých, častěji rovnic stejného typu se používá metoda faktorizace rovnic (tedy jejich faktorizace ) [16] . Expanze je založena na vlastnosti součinu několika faktorů být roven nule právě tehdy, když alespoň jeden z těchto faktorů je roven nule [17] .

Tato metoda řešení přesných polynomiálních rovnic je po mnoho staletí samostatnou větví algebry [18] a je kombinací několika algoritmů pro získání řešení najednou. Jeho závažnost a význam je důsledkem základní věty algebry , podle níž každý polynom libovolného nenulového konečného stupně má alespoň jeden komplexní kořen.

Nejjednodušší ze všech metod rozkladu je snad dělení polynomu polynomem .

Nevýhody metody polynomiálního faktorizace:

Poměrně úzká specializace metody (např. rovnici nelze faktorizovat, protože součin kořenových vzorců nemůže dospět k původní rovnici [19] ); $2^{x}-3x+2=0$
Dekompoziční metoda obsahuje několik faktorizačních metod najednou a není použitelná pro všechny polynomy, jinými slovy není univerzální (některé iracionální rovnice stále nelze řešit analyticky ani dekomponovat - jednoduchý příklad:) . $x^{\pi }-x+1=0$

Výhody metody polynomiálního faktorizace:

Některé konkrétní případy rovnic, pro které nebyl nalezen obecný algoritmus řešení nebo je příliš komplikovaný, lze vyřešit pouze rozšířením (například rovnice šestého a vyššího stupně, jejichž algoritmy pro budoucí řešení jsou příliš těžkopádné, obtížné a časově náročné na výpočet, v důsledku čehož se jejich vývoj stává nepraktickým [20] );
Všechny metody rozkladu jsou dlouhodobě vyvíjeny, jsou dostupné v otevřených zdrojích, nepřekračují rámec školního vzdělávacího programu a kromě běžné kalkulačky zpravidla doplňují znalosti a zařízení (včetně speciálních softwarových produktů). , nevyžadují.

Transformační metody

Tyto metody zahrnují sady akcí prováděných na obou stranách rovnice (před a za rovnítkem), které vedou k následným rovnicím nebo ekvivalentním rovnicím, které je mnohem snazší řešit díky přítomnosti známého algoritmu řešení nebo jejich zobrazení v pohodlnější formulář, který vám umožní rychle je korelovat s jedním nebo jiným známým algoritmem řešení. Níže je uveden seznam hlavních transformací.

Převod termínů

Jakoukoli část rovnice lze "přenést na druhou stranu, za rovnítko" jejím přidáním do jiné části rovnice a pouze změnou znaménka (!) na opačné [21] .

Například vyřešme rovnici v reálných číslech : $x^{2}-2x+4=2x.$

Za tímto účelem přeneseme pravou stranu rovnice na levou stranu a změníme znaménko pravé strany na opačné: $x^{2}-2x+4-2x=0.$

Dále, kvůli asociativitě funkce násobení konstantou, přidáváme podobné pojmy: $x^{2}-4x+4=0.$

Nyní je snadné vidět, že výsledná levá strana připomíná dokonalý čtvercový vzorec : $(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4.$

Odtud najdeme kořeny: Zkontrolujte: $\pm (x-2)=0\longrightarrow x_{1}=x_{2}=2.$ $2^{2}-2\cdot 2+4=2\cdot 2\Longleftrightarrow 4=4.$

Přenos členů lze provést v každém případě (bez odstranění argumentu pod funkcí), přičemž výsledné rovnice jsou ekvivalentní.

Sčítání (odečítání) konstant (výrazů)

Tato technika transformace rovnic je založena na vlastnosti numerické rovnosti - její neměnnosti vzhledem k sčítání (numerická rovnost tak zůstane, i když se do obou jejích částí přidá libovolné číslo, včetně záporných). Tato vlastnost numerické rovnosti je zase jen speciálním případem podobné vlastnosti numerických nestriktních nerovnic [22] . Protože většina řešených rovnic se provádí nad polem libovolných čísel (existují rovnice nenumerické, například funkční, kde funkce fungují jako neznámá proměnná), pak stejné numerické vlastnosti platí i pro rovnice.

Podstatou transformace je, že do obou částí rovnice lze přidat stejné číslo nebo výraz s číselnou funkcí, jejíž ODZ není užší než ODZ funkcí v původní rovnici. Přenos pojmů je jen speciální případ sčítání (odečítání) výrazů. Zejména „vzájemné zničení“ identických pojmů na opačných stranách rovnítka je důsledkem možnosti přenosu.

Přidání číselného výrazu je vždy možné, ale k ekvivalentní rovnici vede pouze tehdy, když plocha ODZ funkce ve výrazu není užší než ODZ funkcí původní rovnice. Například přidáním výrazu do obou částí dospějeme k důsledkové rovnici, ve které nezápornost proměnné může zaplevelit existující záporné kořeny, a proto budeme muset toto omezení zohlednit později. $\sqrt{x}$ $X$

Může být také užitečné použít poněkud obrácenou techniku - výběr termínu, například: ${\frac {x^{2}+5x+6}{x+2}}=0\Longleftrightarrow {\frac {(x^{2}+4x+4)+(x+2)}{ x+2}}=0\Longleftrightarrow {\frac {(x+2)^{2}}{x+2}}+{\frac {x+2}{x+2}}=0\Longleftrightarrow (x +2)+1=0\longrightarrow x_{1}=-3.$

Násobení (dělení) nenulovou konstantou (výrazem)

Násobení číselných rovností (tj. číselných rovnic) stejným nenulovým číselným výrazem je důsledkem možnosti přidat tento výraz, a proto rozšiřuje jeho vlastnosti na sebe samého a přidává možná omezení na nenulové -rovnost proměnné na nulu [21] .

Použití předchozího příkladu: $x^{2}+5x+6=0\Longleftrightarrow (x^{2}+4x+4)+(x+2)=0\Longleftrightarrow (x+2)^{2}+(x+ 2 )=0.$

Nyní oba pojmy vydělíme $(x+2):{\frac {(x+2)^{2}}{x+2}}+{\frac {x+2}{x+2}}=0\Longleftrightarrow x+ 2 +1=0\longrightarrow x_{1}=-3.$

Vydělením tímto výrazem však nastavíme omezení - jeho nerovnost na nulu: Nyní je tedy nutné zkontrolovat, zda je tato hodnota kořenem původní rovnice, odfiltrované právě tímto omezením: $x+2\neq 0\longrightarrow x\neq -2.$ $(-2)^{2}+5\cdot (-2)+6=4-10+6=0.$

Jak je vidět, zúžení ODZ byť jen o jeden bod (číslo) může značně zkreslit množinu všech možných proveditelných řešení.

Záměny výrazů

Shodné nahrazení proměnné jiným výrazem obsahujícím funkce proměnné, jejíž ODZ není užší než ODZ funkcí původní rovnice, také vždy vede k ekvivalentní rovnici. Jeho samotná možnost a ekvivalence je založena na vlastnosti tranzitivity čísel (jsou-li v trojici čísel některá dvě čísla po páru rovna třetímu, jsou si tedy všechna tři čísla rovna [23] ).

Náhrada se velmi často používá při řešení rovnic jakéhokoli druhu a ještě více (např. pro rovnici třetího stupně existuje Vieta trigonometrický vzorec , pro hledání primitivních derivací - Weierstrassova univerzální goniometrická substituce , pro integrály racionálních funkcí - speciální Eulerovy substituce, atd.).

Ve skutečnosti je jakýkoli vzorec kořenů rovnice speciálním případem nahrazení, kdy výraz, který nahrazuje proměnnou, vůbec neobsahuje proměnné (to znamená, že funkce v tomto výrazu obsahuje konstantu (s) jako argument ( s)).

Nahrazení výrazu také pomáhá dospět k jednodušší rovnici. Mnozí však často zaměňují kořeny důsledkové rovnice s kořeny původní rovnice a při kontrole je chybně dosazují do nesprávné rovnice. Takže například poté, co jste provedli náhradu a obdrželi konkrétní hodnotu jako kořen rovnice důsledků s proměnnou , pro ověření ji musíte nejprve nahradit do vzorce náhrady , abyste mohli vypočítat , který bude kořenem původního rovnice z proměnné a kterou je nutné do ní pro ověření dosadit. ${\displaystyle x=a^{y))$ $y_0$ $y$ $y_0$ $x=a^{y},$ $x_{0}$ $X$

Existují však typy rovnic, pro které nelze určité typy substituce provést.

Například rovnice ve tvaru: kde je hyperoperátor objednávky (pro každý z nich existují další omezení na ) $a^{(n)}x=x,{\text{ }}a\neq 0,$ $a^{(n)}x$ $n$ $A$

Pokud provedeme substituci , dostaneme následující rovnici: $x=a^{(n+1)}y,$ $a^{(n)}{\bigl (}a^{(n+1)}y{\bigr )}=a^{(n+1)}y\Longleftrightarrow a^{(n+1 )}(y+1)=a^{(n+1)}y.$

Z toho vyplývá, že buď řešení neexistuje (což je v rozporu s "teoretickou praxí"), nebo jsou hyperoperátory nejednoznačné (což neplatí pro první tři operátory - sčítání , násobení a umocňování ). $y+1=y$

Pro názornost předpokládejme, že : Udělejme změnu z místa, kde se dostáváme k rozporu, ačkoli řešení této počáteční rovnice existuje a je vyjádřeno přes odmocninu druhého stupně [24] . $n=3$ $a^{(3)}x=x\Longleftrightarrow a^{x}=x.$ $x=a^{(4)}y={}^{y}a:$ $a^{{}^{y}a}={}^{y}a\Longleftrightarrow {}^{y+1}a={}^{y}a,$ $y+1=y,$

Umocnění _

Díky možnosti násobení číselného výrazu číselným výrazem je možné povýšit číselný výraz na nenulovou mocninu [21] , což je speciální případ násobení se shodnými činiteli. Umocňování je však striktně definováno pouze pro nezáporná čísla, proto je při umocňování výrazu s proměnnou nutné uvést odpovídající omezení a počítat s ním v budoucnu.

Pokud se přesto nelze obejít bez umocnění záporného výrazu na mocninu, pak musí být exponent celé číslo, jinak taková transformace povede k řešení dvou rovnic místo jedné a ke zvýšení počtu cizích kořenů , protože: ale zároveň je stále situace s iracionálními exponenty, která není definována. $(-n)^{\frac {1}{k}}=-{\sqrt[{k}]{n)),{\frac {k+1}{2}}\in \mathbb { Z} ,$ ${\frac {1}{k}}={\frac {2}{2k}}\longrightarrow (-n)^{\frac {2}{2k}}={\sqrt[{2k}] {(-n)^{2))}={\sqrt[{2k}]{1\cdot n^{2))}={\sqrt[{k}]{n)),k\in \mathbb {Z} .$

Zvýšení nuly (nebo výrazu, který může nabývat nuly) na nulovou mocninu také není možné (viz Nejistota ).

Sudé exponenty zdvojnásobí počet rovnic k řešení, protože exponenciální funkce sudých exponentů jsou sudé . Zvyšuje se také počet vnějších kořenů [21] .

Logaritmus

Podle vlastností numerických nestriktních nerovnic [22] lze obě strany rovnice logaritmizovat . I zde však existují omezení (pro obor reálných čísel):

Pokud je logaritmus proveden na kladném základním čísle, pak musí být také logaritmický výraz (číslo) kladný;
Je-li logaritmus proveden podle záporného základního čísla, pak logaritmický výraz (číslo) musí být rovněž záporný (v tomto případě je třeba vysvětlit rozšíření logaritmu);
Logaritmus výrazů s hodnotami, které mají opačné znaménko než hodnoty základu, není možný.

Proto logaritmus zpravidla nevede ke zvýšení vnějších, ale ke ztrátě skutečných kořenů.

Zesilování

Na rozdíl od umocňování lze číselné rovnosti převést na exponenty [21] : $f(x_{1},x_{2}...)=g(a_{1},a_{2},...)\Longleftrightarrow b^{f(x_{1},x_{2 }...)}=b^{g(a_{1},a_{2},...)},b,a_{1},a_{2}...=konst.$

Zatímco číselné výrazy mohou být jakékoli, základ musí být kladný (nebo záporný, s výhradou příslušných omezení pro proměnnou). $b$

Navíc i exponenty výrazů mohou být potencovány, nicméně mezi základem a stupněm je jakási omezující vzájemná závislost, proto základ nemůže být žádný: $f^{n}(x_{1},x_{2},...)=g^{m}(a_{1},a_{2},...)\Longleftrightarrow f^{( k^{n})}(x_{1},x_{2},...)=g^{(k^{m})}(a_{1},a_{2},...), {\text{if }}k={\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}^{\frac {1}{mn}}.$

To lze snadno dokázat následovně:

$f^{n}(x_{1},x_{2},...)=g^{m}(a_{1},a_{2},...)$

$f^{(k^{n})}(x_{1},x_{2},...)=g^{(k^{m})}(a_{1},a_{2 },...)$

$f(x_{1},x_{2},...)=g^{\frac {(k^{m})}{(k^{n)))))(a_{1} , a_{2},...)\Dlouhá šipka doleva f(x_{1},x_{2},...)=g^{(k^{mn})}(a_{1},a_{2} , ...)$

Výsledný výraz dosadíme do původní rovnice: $f(x_{1},x_{2},...)$

$g^{n(k^{mn})}(a_{1},a_{2},...)=g^{m}(a_{1},a_{2},... ),$ odtud dostaneme: Další: $n(k^{mn})=m.$

$k^{mn}={\frac {m}{n}}\Longleftrightarrow k={\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}^{\frac {1} {mn}}.$ V tomto případě je vzorec výrazně zjednodušen: $m=1$

$k={\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}^{\frac {1}{1-n}}\Longleftrightarrow k={\Biggl (}{\frac {1}{n^{\frac {1}{1-n)))){\Biggr )}\Longleftrightarrow k=n^{-{\frac {1}{1-n))}=n^{ \frac {1}{n-1}}.$

Tetrace s exponentem 2

U numerických výrazů můžete vypočítat tetaci s exponentem 2 (to znamená zvýšit výraz na sílu sebe sama):

$f(x_{1},x_{2}...)=g(a_{1},a_{2},...)\Longleftrightarrow {}^{2}{f(x_{1} ,x_{2}...)}={}^{2}{g(a_{1},a_{2},...)}\Longleftrightarrow {\bigl (}f(x_{1},x_ {2},...){\bigr )}^{f(x_{1},x_{2},,,,)}={\bigl (}g(a_{1},a_{2}, ...){\bigr )}^{g(a_{1},a_{2},,,,)},b,a_{1},a_{2}...=konst.$

Samozřejmě i zde platí omezení na pozitivitu samotných výrazů nebo na rozšíření umocňování v případě jejich negativity.

Výpočet tetrace s vyššími exponenty přináší určitá omezení v podobě vzájemných závislostí výrazů (viz výše), od té doby budou probíhat tzv. " power towers" . Je také možné extrahovat superkořen s odpovídajícím indikátorem, ale také stojí za zvážení, že tato operace je definována pouze pro kladná čísla.

Příklad: $x^{2}=4\Longleftrightarrow {}^{2}(x^{2})={}^{2}4\Longleftrightarrow (x^{2})^{(x^{2} )}=4^{4}\Longleftrightarrow x^{2x^{2}}=256.$

Udělejme náhradu $x=y^{\frac {1}{2}}:$ $(y^{\frac {1}{2}})^{2(y^{\frac {1}{2}})^{2}}=256\Longleftrightarrow y^{y}=256 \longrightarrow y=4\longrightarrow x_{1}=2.$

Kvůli nejistotě tetrace pro nekladná čísla však druhý kořen rovnice zmizel: $x_{2}=-2.$

Superpotence

Také díky možnosti použití předchozí iterace (umocňování) je možné převést číselné rovnosti na indikátory tetrace :

$f(x_{1},x_{2}...)=g(a_{1},a_{2},...)\Longleftrightarrow {}^{f(x_{1},x_{ 2}...)}b={}^{g(a_{1},a_{2},...)}b;b,a_{1},a_{2}...=konst.$

V tomto případě je třeba vzít v úvahu kladnost báze (protože ani nula nemůže být povýšena na sebe) a různé nejistoty (zdrženlivosti) neceločíselných a/nebo záporných tetačních indikátorů. $b$

Tento trend lze dále opakovat (viz Pentace , Hyperoperátor ).

S naprostou jistotou zatím není možné superlogaritmovat numerické výrazy kvůli nedostatečně prostudovaným vlastnostem hyperoperátorů a funkcí k nim inverzním, protože není jasné, jaká omezení taková transformace přináší.

Speciální metody řešení

Transformace goniometrických rovnic

Goniometrické rovnice se nazývají rovnice obsahující pouze goniometrické funkce jako funkce proměnných (tj. rovnice obsahující složení pouze goniometrických funkcí).

Při řešení rovnic tohoto druhu se uplatňují různé identity, založené na vlastnostech samotných goniometrických funkcí (viz goniometrické identity ). Při těchto transformacích však stojí za zvážení složený charakter tečny a kotangens, jejichž sinus a kosinus jsou nezávislými funkcemi téže proměnné.

Po jasné náhradě tedy získáme zcela novou funkci, jejíž hodnoty se budou lišit od původního tečného poměru: (viz grafy níže). ${\text{tg}}(x)={\frac {\sin(x)}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)))},$ ${\text{tg}}(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)))$

K takové změně dochází v důsledku skutečnosti, že vzorec s náhradou implikuje aritmetický kořen , jehož hodnota je vždy nezáporná. Pokud bychom však podepsali „±“, funkce tangens by ztratila svou jedinečnost.

$\sin(x)=n\longrightarrow x=(-1)^{k}\arcsin(n)+\pi k,{\text{ }}n\in [-1;1],{\ text{ }}k\in \mathbb {Z} ;$
$\cos(x)=n\longrightarrow x=\pm \arccos(n)+2\pi k,{\text{ }}n\in [-1;1],{\text{ }}k \in \mathbb {Z} ;$
${\text{tg}}(x)=n\longrightarrow x={\text{arctg}}(n)+\pi k,{\text{ }}n\in [-1;1], {\text{ }}k\in \mathbb {Z} ;$
${\text{ctg}}(x)=n\longrightarrow x={\text{arcctg}}(n)+\pi k,{\text{ }}n\in [-1;1], {\text{ }}k\in \mathbb {Z} .$

Jako příklad vyřešme složitější rovnici: $\sin(x)\cos(x)\cos(2x)={\frac {1}{8)).$

Protože pak dostaneme: $\sin(x)\cos(x)={\frac {1}{2}}\sin(2x),$ ${\frac {1}{2}}\sin(2x)\cos(2x)={\frac {1}{8}}.$

Vynásobíme 4 a opět dostaneme sinus dvojitého úhlu: $2\sin(2x)\cos(2x)={\frac {1}{2}}\Longleftrightarrow \sin {4x}={\frac {1}{2)).$

Konečný vzorec kořenů: $x_{0,1,...}=(-1)^{k}{\frac {\arcsin {\frac {1}{2))+\pi k}{4))=(- 1)^{k}{\frac {\pi }{24}}+{\frac {\pi k}{4)),{\text{ }}k\in \mathbb {Z} .$

Transformace diferenciálních a integrálních rovnic

Diferenciální rovnice jsou zpravidla rovnice obsahující numerické funkce a jejich derivace. Všechny transformace prováděné na numerických rovnicích se tedy vztahují i na tyto typy rovnic. Hlavní věc je mít na paměti, že je lepší provádět takové transformace, ve kterých se rozsahy přípustných hodnot funkcí zahrnutých v rovnici vůbec nezměnily. Charakteristickým rysem diferenciálních rovnic od numerických je možnost jejich integrace (diferenciace) na obou stranách rovnítka.

Diferenciální rovnice, stejně jako numerické, se řeší analyticky (symbolická integrace) při hledání primitivní funkce nebo numericky - při výpočtu určitého integrálu na libovolném segmentu. Níže jsou uvedeny hlavní a nejčastěji používané transformace pro nalezení analytického řešení.

Většinu typů diferenciálních rovnic lze redukovat na rovnice se separovatelnými proměnnými, jejichž obecné řešení je již známé [25] . Mezi tyto transformace patří [25] :

Redukce homogenních rovnic substitucí za $y(x)=xz(x)$ $x>0;$
Redukce kvazihomogenních rovnic na homogenní nahrazením a poté na rovnice se separovatelnými proměnnými. $y(x)=z^{\frac {\beta }{\alpha )),$

Lineární diferenciální rovnice se obvykle řeší třemi metodami [25] :

Metoda integračního faktoru ;
Lagrangeova metoda (variační konstanta) ;
Bernoulliho metoda .

Diferenciální Bernoulliho rovnice jsou také redukovány buď na lineární nebo na rovnice se separovatelnými proměnnými pomocí substitucí [26] .

Homogenní diferenciální rovnice druhého a vyšších řádů se řeší nahrazením funkce a přechodem tímto způsobem k řešení charakteristické algebraické rovnice z proměnného stupně rovného řádu původní diferenciální rovnice. ${\displaystyle y(x)=e^{kx))$ $k$

Existují typy diferenciálních rovnic vyšších řádů, jejichž řád lze snížit nahrazením derivace nějakého řádu jinou funkcí. Stejným způsobem je lze redukovat na rovnice s oddělitelnými proměnnými.

Integrální rovnice jsou složitější než diferenciální rovnice, ale stejně jako ony často obsahují integrální transformace ve svých řešeních:

Fourierova transformace ;
Laplaceova transformace ;
Hartleyho transformace ;
Abelova integrální transformace ;
Identická konverze ;
a další (viz Integrální transformace#Transformační tabulka ).

Kromě diferenciálních a integrálních existuje také smíšený typ - integro-diferenciální rovnice , jejichž hlavním směrem řešení je jejich redukce na dva předchozí typy rovnic různými metodami.

Transformace funkcionálních rovnic

Neexistuje žádné obecné řešení funkcionálních rovnic, stejně jako obecné metody. Funkcionální rovnice jsou samy o sobě vlastnostmi jejich řešení - funkcí nebo typem funkcí. Například řešením Abelovy funkcionální rovnice je funkce [27] $\alpha (f(x))=\alpha (x)+1,{\text{ }}f(x)=a^{x}$ $\alpha (x)={\text{slog}}_{a}x.$

Numerické metody řešení rovnic

Tyto metody jsou samostatnou sadou algoritmů pro získání řešení konkrétní rovnice s danou přesností. Hlavní rozdíly oproti analytickému řešení:

Chyba výpočtu (u analytické metody jsou iracionální čísla k dispozici ve formě vzorců z racionálních, a proto je lze v případě potřeby vypočítat s jakoukoli přesností pro jakékoli speciální případy);
Univerzálnost použití (stejné numerické metody lze aplikovat na zcela odlišné typy rovnic);
Obnovitelnost procesu řešení (pro každý konkrétní případ jednoho typu rovnic je třeba metodu použít znovu a od samého začátku, na rozdíl od analytického řešení, s vědomím kterého, pro výpočet kořenů stačí dosadit potřebné koeficienty do již známého, tj. získaného dřívějšího vzorce);
Potřeba používat další vybavení (jako jsou kalkulačky a softwarové produkty; analytická řešení jsou vynalezena „z hlavy“, ačkoli existují speciální stránky nebo instalovaný software, který dokáže odvodit vzorce pro již známá analytická řešení).

Metoda půlení (dichotomie)

Tato numerická metoda pro řešení rovnice je založena na opačných znaméncích spojité funkce blízko její nuly. Samotný algoritmus je poměrně jednoduchý:

Je vzat segment, na jehož koncích funkce dává hodnoty opačné ve znaménku;
Segment je rozdělen na polovinu, načež se hodnota funkce uprostřed segmentu vynásobí hodnotami jeho konců: negativní výsledek vede ke zúžení původního segmentu z bývalého středu na konec na který produkt byl negativní;
Nový segment opět rozdělíme na polovinu a postup opakujeme, dokud segment nedosáhne zadané přesnosti.

Příklad: najděte kladný kořen rovnice Chcete-li to provést, přepište rovnici na funkci: Vykreslením této funkce je snadné se ujistit, že požadovaná hodnota leží v segmentu Najděte hodnoty funkce od konců tohoto segmentu a jeho středu: - jak vidíte, součin hodnot \ u200b \u200a dává negativní výsledek, na rozdíl od Nyní je segment, ve kterém leží kořen, redukován: Zopakujme postup znovu (v v tomto případě jsou hodnoty funkce na koncích již známé z předchozích výpočtů: - nyní je segment zmenšen "v opačném směru": Další cyklus: - dostaneme nový segment: Cyklus pokračuje na požadovaný přesnost a poté se jako přibližná hodnota kořene vybere konec segmentu, jehož hodnoty funkce jsou nejblíže nule. V našem příkladu bude hodnota 4,44129 kořenem původní rovnice až na páté desetinné místo. $2^{x}=x^{2}+2.$ $f(x)=2^{x}-x^{2}-2.$ $[4;{\text{ }}5].$ $f(4)=-2;$ $f(5)=5;$ $f(4.5)\cca 0,377416997969519,$ $f(4)$ $f(4,5)$ $f(4,5)\cdot f(5).$ $[4;{\text{ }}4,5].$ $f(4,25)\přibližně -1,035186159956460,$ $[4,25;{\text{ }}4,5].$ $f(4,375)\approx -0,391192125583853,$ $[4,375;{\text{ }}4,5].$

Metoda akordů (sekantů)

Iterativní numerická metoda pro nalezení kořene rovnice s danou přesností, která je založena na konstantní aproximaci ke kořeni přes průsečík tětiv s osou úsečky. Zde se používá následující vzorec:

$x_{i+1}=x_{i}-{\dfrac {f(x_{i})\cdot (x_{i}-x_{0})}{f(x_{i})-f (x_{0})}},$ má však nízkou míru konvergence, takže se místo něj častěji používá následující algoritmus:

$x_{i+1}=x_{i-1}-{\dfrac {f(x_{i-1})\cdot (x_{i}-x_{i-1})}{f(x_ {i})-f(x_{i-1})}};$ v různých zdrojích se oba tyto vzorce nazývají odlišně - metoda akordů a / nebo metoda sekans.

Obecný algoritmus pro použití metody v geometrickém smyslu je:

Nejprve se musíte ujistit, že funkce rovnice je spojitá a na uvažovaném intervalu je pouze jeden kořen a neexistují žádné nuly derivace (jinak nemusí výpočet vůbec konvergovat);
Poté vyberte dva body patřící do grafu funkce (ležící na něm), jejichž úsečky jsou zahrnuty v daném intervalu a hodnoty funkce, ve kterých jsou opačné znaménko;
Oba tyto body jsou spojeny, tvoří tětivu (sekantu), vypočítá se průsečík tětivy s osou úsečky;
Z průsečíku do funkčního grafu je nakreslena kolmice k ose x (projekce průsečíku do funkčního grafu);
Výsledný bod na grafu funkce s opačným koncem stávající tětivy se spojí a vytvoří novou tětivu, pro kterou bude také nutné vypočítat průsečík s osou úsečky ... atd.

Newtonova metoda

Hlavní myšlenkou Newtonovy metody je použití iterativní aproximace diferencovatelné funkce podle následujícího algoritmu [28] :

$f'(x_{n})={\text{tg))\alpha _{n}={\frac {\Delta y}{\Delta x))={\frac {0-f(x_ {n})}{x_{n+1}-x_{n}}}\longrightarrow x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_ {n})}}$

Nejprve se musíte ujistit, že funkce rovná nule v této rovnici splňuje některá kritéria , omezení a podmínky pro použitelnost této metody, pak se ujistěte, že vedle objeveného neznámého kořene nejsou žádné další neznámé kořeny (v opačném případě můžete prostě se "zmást"). Nyní byste měli vybrat proměnnou hodnotu , která je blízko odmocnině (čím blíže, tím lépe), a dosadit ji do výše uvedeného vzorce. Jsou dva možné výsledky: $x_{n}$

Pokud výsledná hodnota leží ve stejném intervalu jako požadovaný kořen, lze ji do vzorce znovu dosadit: každá další hodnota je přesnější než předchozí; $x_{{n+1}}$
Pokud výsledná hodnota neleží ve stejném intervalu jako požadovaný kořen, pak je nutné nahrazovat , dokud se nová hodnota nevrátí do intervalu. $x_{{n+1}}$ $x_{{n+1}}$ ${\frac {x_{n}+x_{n+1}}{2}}$

Iterační proces pokračuje, dokud výsledná aproximace požadovaného kořene rovnice nedosáhne požadované přesnosti.

Jednoduchá iterační metoda

Zobecněním metody akordů (sekantů) a Newtonovy metody můžeme dojít k závěru, že obě jsou jakýmsi stejným algoritmem. Dá se to popsat následovně:

Rovnice je zredukována do tvaru: , - nyní můžete iterační vzorec napsat jako $f(x)=0$ $x=\varphi(x)$ $x_{i+1}=\varphi (x_{i});$
Funkce musí být zvolena v souladu s podmínkami pro konvergenci metody, obvykle , jako nezávislá , můžete zvolit konstantu , jejíž znaménko se shoduje se znaménkem derivace na úsečce spojující pravý kořen a první hodnota $\varphi (x_{i})$ $\varphi (x_{i})=x_{i}-\lambda (x)f(x_{i}),$ $\lambda(x)$ $\lambda _{0},$ $f'(x)$ $x_{0}.$

Zejména za předpokladu, že dojdeme k algoritmu zvanému metoda jedné tečny; a když dostanete stejnou Newtonovu metodu. $\lambda _{0}={\frac {1}{f'(x_{0})))),$ $\lambda (x)={\frac {1}{f'(x)))$

Příklad: najděte aproximaci kořene rovnice Nejprve definujeme funkci a vyjádříme ji: $0,25\sin(x)-x-\pi =0.$ $\varphi(x)$ $X$

$x=0,25\sin(x)-\pi \longrightarrow \varphi (x)=0,25\sin(x)-\pi ,$ — nyní je třeba se přesvědčit, zda výsledná funkce splňuje podmínku konvergence, — $|\varphi '(x)|<1:$

$\varphi '(x)=0,25\cos(x)\longrightarrow |0,25\cos(x)|<1,$ ale $\cos(x)\in {[-1;1]}{\text{ }}\forall x.$

Nyní zbývá zvolit hodnotu pro první iteraci blízko kořene (čím blíže, tím rychlejší je konvergence metody). Nechte tedy $x_{0}=-3,$ $\varphi (-3)=x_{1}=0,25\sin(-3)-\pi \approx -3,176872655604760.$

Zopakujeme postup pro novou hodnotu: $\varphi (x_{1})=x_{2}\cca 0,25\sin(-3,176872655604760)-\pi \approx -3,132774482649750...$

Když takto projdeme 22 iteračními kroky, získáme aproximaci , pro kterou platí až na patnácté desetinné místo následující rovnost: . Zkouška: $x_{22}\cca -3,141592653589790,$ $x_{22}=-\pi$ $0.25\sin(\pi )-(-\pi )-\pi =0.25\cdot 0+\pi -\pi =0\Longleftrightarrow 0=0.$

Všimněte si, že rychlost konvergence závisí také na samotné funkci. Pokud tedy místo násobiče vložíme , pak se stejnou počáteční hodnotou a úrovní chyby se počet kroků zvýší z 22 na 44. $0,25$ $0,5$ $x_{0}$

Metody ověřování řešení

Ověření řešení je nezbytné pro určení jednoho nebo druhého získaného řešení jako pravdivého a/nebo outsidera. Rovnice je speciálním případem problému, takže podléhají podobným ověřovacím metodám, konkrétně [29] :

Kontrola algoritmu řešení je hlavní metodou kontroly postupu řešení, která spočívá v předání zdůvodnění logiky všech provedených matematických akcí algoritmu (tj. jejich souladu s matematickými teoriemi, v rámci kterých je rovnice řešena) .

Ověření algoritmu však není vždy možné nebo není v plném rozsahu možné, kromě toho může dojít k chybám i při samotné verifikace a tato metoda téměř nikdy „nekontroluje“ úplnost řešení. V takových případech se používají jiné metody, například [29] :

Dosazení kořenů do původní rovnice spočívá v kontrole splnění shodné rovnosti rovnice pro konkrétní dané řešení (nejdou však takto ověřit nekonečné množiny řešení).
Kontrola souladu s ODZ nezaručuje správnost a úplnost řešení, ale určuje jejich pravdivost a pomáhá vyhnout se dalším řešením (a tedy kontrolám), když se objeví cizí kořeny.
Ověření řešení pro jednoduché a/nebo omezující případy se provádí na analytickém řešení, aby se prokázala jeho univerzálnost nebo přítomnost omezujících funkcí v něm, tzn. najít oblast možných řešení tohoto konkrétního typu rovnic.
Kontrola souladu struktury řešení se strukturou rovnice umožňuje předem určit další možná řešení rovnice na základě vlastností funkcí zahrnutých v rovnici, jako je symetrie , parita , opakování atd.
Řešení alternativním způsobem je užitečné, když je potřeba zkontrolovat libovolný algoritmus (analytické řešení), díky této metodě se objevují nové vzorce, souvislosti a vzájemné závislosti již známých funkcí.

Metody pro odplevelení cizích kořenů

Kritéria pro existenci přípustných řešení rovnic

Poznámky

↑ Uzavřený výraz // Wikipedie . — 2018-06-06.
↑ Kudryashova T. G. Metody řešení matematických problémů. 5. třída - M. : NF "Volnoe delo", 2008. - S. 132. - 208 s. - ISBN 978-5-90415-801-9 , BBC 22.1ya721, K-88.
↑ Baklanova E. A. Řešení textových problémů různými způsoby // Festival pedagogických nápadů "Otevřená lekce": web. - 2012. Archivováno 27. října 2020.
↑ Farrugia PS, Mann RB, Scott TC N-tělesná gravitace a Schrödingerova rovnice // Třída . Quantum Grav. . - 2007. - Sv. 24 , č. 18 . - S. 4647-4659 . - doi : 10.1088/0264-9381/24/18/006 . Archivováno z originálu 6. dubna 2019.
↑ Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P., Ivlev B. M., Shvartsburd S. I. Kapitola IV. Exponenciální a logaritmické funkce, par. 10 - Exponenciální a logaritmické funkce, s. 40 - Pojem inverzní funkce // Algebra a začátek matematické analýzy: učebnice. pro 10-11 buněk. obecné vzdělání instituce / ed. A. N. Kolmogorová. - 17. vyd. - M . : Vzdělávání, 2008. - S. 246-247. - ISBN 978-5-09-019513-3 .
↑ Mordkovich A. G., Semenov P. V. Kapitola 4. Goniometrické rovnice, par. 23 - Metody řešení goniometrických rovnic, s. 2. - Metoda faktoringu // Algebra a počátky matematické analýzy. Stupeň 10. Ve 14 hodin 1. část. Učebnice pro studenty vzdělávacích institucí (profilová úroveň) . - 6. vyd. — M .: Mnemozina, 2009. — S. 191. — ISBN 978-5-346-01201-6 . Archivováno 6. dubna 2019 na Wayback Machine
↑ Mordkovich A. G. Kapitola 4. Kvadratické rovnice, str. 30 - Iracionální rovnice // Algebra. 8. třída. Ve 2 hod. Část 1. Učebnice pro studenty vzdělávacích institucí. - 12. — M .: Mněmozina, 2010. — S. 175. — ISBN 978-5-346-01427-0 .
↑ Vystavovatel // Wikipedie. — 21. 12. 2017. (Ruština)
↑ Kvadratická funkce // Velká školní encyklopedie. - M .: "Ruské encyklopedické partnerství", 2004. - S. 118-119.
↑ Riemannův integrál // Wikipedie. — 2017-03-11. (Ruština)
↑ Diferencovatelná funkce // Wikipedie. — 20.05.2018. (Ruština)
↑ Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. Kapitola II. Funkce, par. 5 - Funkce a jejich grafy, str. 14 - Graf funkce // Algebra. 7. třída: studium pro všeobecné vzdělávání. instituce / ed. S. A. Teljakovskij. - 18. vyd. - M . : Vzdělávání, 2009. - S. 60. - ISBN 978-5-09-021255-7 .
↑ ODZ - rozsah přijatelných hodnot, jak zjistit ODZ . Získáno 20. srpna 2021. Archivováno z originálu dne 20. srpna 2021. (neurčitý)
↑ I. I. Žogin. O průměrech // Matematické vzdělání: časopis / ed. I. N. Bronshtein, A. M. Lopshits, A. A. Ljapunov, A. I. Markushevich, I. M. Yaglom. - M .: Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1961. - Vydání. 6 . - S. 217 . Archivováno z originálu 22. listopadu 2021.
↑ Joseph Gerver. Diferenciabilita Riemannovy funkce při určitých racionálních násobcích π // American Journal of Mathematics. - 1970. - T. 92 , čís. 1 . - S. 33-55 . - doi : 10.2307/2373496 . Archivováno z originálu 23. července 2018.
↑ Mordkovich A. G., Semenov P. V. Kapitola 6. Rovnice a nerovnice. Soustavy rovnic a nerovnic, odst. 27 - Obecné metody řešení rovnic // Algebra a začátek analýzy. 11. třída Ve 14 hodin 1. část. Učebnice pro vzdělávací instituce (profilová úroveň) . - M .: Mněmozina, 2007. - S. 211-218. — ISBN 5-346-729-6. Archivováno 12. dubna 2019 na Wayback Machine
↑ Savin A.P. Zero // Encyklopedický slovník mladého matematika / komp. A. P. Savin. - M .: "Pedagogika", 1989. - S. 219.
↑ Matematika 17. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič, ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1970. - T. II. (nedostupný odkaz) . ilib.mccme.ru. Získáno 3. června 2018. Archivováno z originálu 18. září 2011. (neurčitý)
↑ Superroot // Wikipedie. — 2018-05-31. (Ruština)
↑ R. Bruce King. Kapitola 8. Beyond the Quintic Equation // Beyond the Quartic Equation Archivováno 22. července 2014 na Wayback Machine . - Birkhäuser Boston, 2008. - S. 139-149. — 149 str. - (Moderní Birkhäuser Classics). — ISBN 0817648364 .
↑ 1 2 3 4 5 Mordkovich A. G., Semjonov P. V. Kapitola 6. Rovnice a nerovnice. Soustavy rovnic a nerovnic, odst. 26 - Ekvivalence rovnic // Algebra a počátky analýzy. 11. třída Ve 14 hodin 1. část. Učebnice pro vzdělávací instituce (profilová úroveň) . - M. : Mněmozina, 2007. - S. 201-211. — ISBN 5-346-729-6. Archivováno 12. dubna 2019 na Wayback Machine
↑ 1 2 Nerovnice // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - V. 3. - S. 999. Archivní kopie ze dne 16. října 2013 na Wayback Machine
↑ Rovnost do třetice // Wikipedie. — 2017-02-21. (Ruština)
↑ Superroot // Wikipedie. — 22. 6. 2018. (Ruština)
↑ 1 2 3 Obyčejná diferenciální rovnice // Wikipedie. — 27.05.2018. (Ruština)
↑ Bernoulliho diferenciální rovnice // Wikipedie. — 2017-04-06. (Ruština)
↑ Superlogaritmus // Wikipedie. — 2018-07-06. (Ruština)
↑ Newtonova metoda // Wikipedie. — 2018-05-21. (Ruština)
↑ 1 2 Hudak Yu. I., Aslanyan A. G. Kontrola správnosti úkolu je důležitou etapou ve vzdělávání a výchově školáka (ru, en) // Vydavatelství FGAOU VO "Univerzita přátelství lidu Ruska" (PFUR): místo. - S. 25-30 . Archivováno z originálu 28. července 2018.

Literatura

Markushevich, L. A. Rovnice a nerovnice v závěrečném opakování kurzu středoškolské algebry / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Matematika ve škole. - 2004. - č. 1.
Rovnice - článek z Velké sovětské encyklopedie .
Rovnice // Collierova encyklopedie. — Otevřená společnost . - 2000. (Ruština) // Encyklopedie Colliera. — Otevřená společnost. 2000.
Rovnice // Encyklopedie kolem světa
I. M. Vinogradov. Rovnice // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)// Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie. I. M. Vinogradov. 1977-1985.