Chybová funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. května 2020; kontroly vyžadují 5 úprav .

Chybová funkce (také nazývaná Gaussova chybová funkce) je neelementární funkce , která se vyskytuje v teorii pravděpodobnosti , statistice a teorii parciálních diferenciálních rovnic . Je definován jako

\operatorname {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{{-t^{2}}} \,{\mathrm d}t

Další chybová funkce , označovaná (někdy se používá notace ), je definována jako chybová funkce: $\operatorname {erfc}\,x$ $\operatorname {Erf}\,x$

\operatorname {erfc}\,x=1-\operatorname {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi ))))\int \limits _{x}^{{\infty }}e^{{-t^{2}}}\,{\mathrm d}t

Komplexní chybová funkce , označovaná jako , je také definována z hlediska chybové funkce: $w(x)$

w(x)=e^{{-x^{2}}}\jméno operátora {erfc}\,(-ix)

Vlastnosti

Chybová funkce je lichá :

\operatorname {erf}\,(-x)=-\operatorname {erf}\,x.

Pro jakýkoli komplex $X$

\operatorname {erf}\,{\bar {x}}=\overline {\operatorname {erf}\,x}

kde pruh označuje komplexní konjugaci čísla .

X

Chybová funkce nemůže být reprezentována pomocí elementárních funkcí , ale rozšířením integrovatelného výrazu do Taylorovy řady a integrací člen po členu můžeme získat její reprezentaci jako řadu:

\operatorname {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^ {n}x^{{2n+1}}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\left(x-{\frac { x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9} }{216}}-\ \cdots \right)

Tato rovnost platí (a řada konverguje) jak pro jakoukoli reálnou , tak pro celou komplexní rovinu , podle d'Alembertova testu . Posloupnost jmenovatelů tvoří v OEIS posloupnost A007680 .

X

Pro iterativní výpočet prvků řady je užitečné prezentovat ji v alternativní podobě:

\operatorname {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }\left(x\prod _{{ i=1}}^{n}{{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}}\right)={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\součet _{{n=0}}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod _{{i=1}}^{n}{\ frac {-x^{2}}{i}}

protože je faktor, který změní -tý člen řady na -tý, s ohledem na první člen .

{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)))

i

(i+1)

X

Chybová funkce v nekonečnu je rovna jedné; to však platí pouze při přibližování se k nekonečnu podél reálné osy, protože:

Při zvažování chybové funkce v komplexní rovině bude pro ni bod v podstatě singulární. $z=\infty$

Derivace chybové funkce je odvozena přímo z definice funkce:

{\frac {d}{dx}}\,\název operátora {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\,e^{{-x^{2} }}.

Primitivní funkce chybové funkce získaná metodou integrace po částech :

F(x)=x\jméno operátora {erf} (x)+{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.

Inverzní chybová funkce je řada

\operatorname {erf} ^{-1}\,x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\ frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1},

kde c 0 = 1 a

c_{k}=\sum _{{m=0}}^{{k-1}}{\frac {c_{m}c_{{k-1-m}}}{(m+1)(2m +1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}.

Proto může být řada reprezentována v následujícím tvaru (všimněte si, že zlomky jsou zkráceny):

\operatorname {erf} ^{-1}\,x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3} }{12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+ {\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\tečky \right).

[jeden] Sekvence čitatele a jmenovatele po redukci jsou A092676 a A132467 v OEIS; sekvence čitatelů před zkratkou je v OEIS A002067 .

Aplikace

Jestliže soubor náhodných proměnných sleduje normální rozdělení se směrodatnou odchylkou , pak pravděpodobnost, že se hodnota odchyluje od průměru o ne více než , je rovna . $\sigma$ $A$ $\operatorname {erf}\,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2))))$

Chybová funkce a přídavná chybová funkce se vyskytují při řešení některých diferenciálních rovnic, např. rovnice tepla s počátečními podmínkami popsanými Heavisideovou funkcí („krok“).

V digitálních optických komunikačních systémech je pravděpodobnost bitové chyby také vyjádřena vzorcem pomocí chybové funkce.

Asymptotická expanze

Pro velké hodnoty je užitečné asymptotické rozšíření pro další chybovou funkci : $X$

\operatorname {erfc} \,x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n= 1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n))}\vpravo ]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n} {\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.

Ačkoli tato řada diverguje pro jakékoli konečné číslo, v praxi stačí prvních několik členů k výpočtu s dobrou přesností, zatímco Taylorova řada konverguje velmi pomalu. $X$ $\operatorname {erfc}\,x$

Další přiblížení je dáno vzorcem

(\operatorname {erf}\,x)^{2}\cca 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{ 2}}}\vpravo)

kde

a={\frac {8}{3\pi }}{\frac {\pi -3}{4-\pi }}.

Související funkce

Až do měřítka a posunu se chybová funkce shoduje s normálním kumulativním rozdělením , označeným $\Phi (x)$

\Phi (x)={\frac {1}{2}}{\biggl (}1+\jméno operátora {erf} \,{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\biggl )}.

Inverzní funkce k , známá jako normální kvantilová funkce , je někdy označována a vyjádřena v podmínkách normální chybové funkce jako $\Phi$ $\operatorname {probit}$

\operatorname {probit}\,p=\Phi ^{{-1}}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf}^{{-1}}(2p-1).

Normální kumulativní rozdělení se běžněji používá v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice, zatímco chybová funkce se častěji používá v jiných oblastech matematiky.

Chybová funkce je speciálním případem Mittag-Lefflerovy funkce a může být také reprezentována jako degenerovaná hypergeometrická funkce ( Kummerova funkce ):

\operatorname {erf}\,x={\frac {2x}{{\sqrt {\pi }}}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}, {\frac {3}{2}},-x^{2}\vpravo).

Chybová funkce je také vyjádřena pomocí Fresnelova integrálu . Z hlediska regularizované neúplné gama funkce P a neúplné gama funkce ,

\operatorname {erf}\,x=\operatorname {sign}\,x\,P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {sign}\ ,x \over {\sqrt {\pi ))}\gamma \left({\frac {1}{2)),x^{2}\right).

Generalizované chybové funkce

Někteří autoři diskutují o obecnějších rysech

E_{n}(x)={\frac {n!}{{\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{{-t^{n}}} \,{\mathrm d}t={\frac {n!}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{p=0}}^{\infty }(-1)^{p} {\frac {x^{{np+1}}}{(np+1)p!}}\,.

Pozoruhodné zvláštní případy jsou:

$E_{0}(x)$ je přímka procházející počátkem souřadnic: $E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi ))))$
$E_{2}(x)$ je chybová funkce . $\operatorname {erf}\,x$

Po dělení všemi s lichými vypadají podobně (ale ne identicky), totéž lze říci o sudých . Všechny zobecněné chybové funkce vypadají podobně jako poloosy . $n$ $E_{n}$ $n$ $E_{n}$ $n$ $n>0$ $x>0$

Na poloose lze všechny zobecněné funkce vyjádřit pomocí funkce gama : $x>0$

E_{n}(x)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n))\right)-\Gamma \left({\frac {1} {n)),x^{n}\right)\right)}{{\sqrt \pi }}},\quad \quad x>0

Proto můžeme chybovou funkci vyjádřit pomocí funkce gama:

\operatorname {erf}\,x=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2)),x^{2}\right)}({\sqrt \pi ))}

Iterované integrály doplňkové chybové funkce

Iterované integrály komplementární chybové funkce jsou definovány jako [1] $\operatorname {I^{n}erfc}$

\operatorname {I^{0}erfc} \,z=\operatorname {erfc} \,z

\operatorname {I^{n}erfc} \,z=\int \limits _{z}^{\infty }\operatorname {I^{n-1}erfc} \,\zeta \,d\ zeta,

pro .

n>0

Mohou být uspořádány v řadě:

\operatorname {I^{n}erfc} \,z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{nj}j !\,\Gamma \left(1+{\frac {nj}{2}}\right)}}\,,

odkud vyplývají vlastnosti symetrie

\operatorname {I^{2m}erfc} \,(-z)=-\operatorname {I^{2m}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac { z^{2q}}{2^{2(mq)-1}(2q)!(mq)!}}

\operatorname {I^{2m+1}erfc} \,(-z)=\operatorname {I^{2m+1}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{ \frac {z^{2q+1}}{2^{2(mq)-1}(2q+1)!(mq)!}}\,.

Implementace

Norma jazyka C (ISO/IEC 9899:1999 klauzule 7.12.8) poskytuje chybovou funkci a další chybovou funkci . Funkce jsou deklarovány v hlavičkových souborech (pro C ) nebo (pro C++ ). Jsou tam deklarovány i dvojice funkcí , a . První pár přijímá a vrací hodnoty typu a druhý pár vrací hodnoty typu . Odpovídající funkce jsou také obsaženy v knihovně projektu Boost . $\operatorname {erf}$ $\operatorname {erfc}$ math.h cmatherff()erfcf()erfl()erfcl()floatlong doubleMath

V jazyce Java standardní knihovna matematických funkcí java.lang.Mathneobsahuje [2] chybovou funkci. Třídu lze nalézt v nestandardním Erfbalíčku knihoven, který poskytuje [3] Apache Software Foundation . org.apache.commons.math.special

Systémy počítačové algebry Maple [2] , Matlab [3] , Mathematica a Maxima [4] obsahují běžné a doplňkové chybové funkce a také funkce k nim inverzní.

V Pythonu je chybová funkce dostupná [4] ze standardní knihovny mathod verze 2.7. Také chybová funkce, přídavná chybová funkce a mnoho dalších speciálních funkcí jsou definovány v modulu Specialprojektu SciPy [5] .

V Erlangu je chybová funkce a doplňková chybová funkce dostupná ze standardního modulu math[5] .

V Excelu je chybová funkce reprezentována jako FOS a FOS.EXC [6]

Viz také

Poznámky

↑ Carslaw, H. S. & Jaeger, J. C. (1959), Vedení tepla v pevných látkách (2. vydání), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9 , s. 484
↑ Matematika (Java Platform SE 6) . Datum přístupu: 28. března 2008. Archivováno z originálu 29. srpna 2009. (neurčitý)
↑ Archivovaná kopie (odkaz není dostupný) . Získáno 28. března 2008. Archivováno z originálu dne 9. dubna 2008. (neurčitý)
↑ 9.2. math - Matematické funkce - dokumentace Pythonu 2.7.10rc0
↑ Jazyk Erlang . Popis Archivováno 20. června 2012 na Wayback Machine of Standard Module functions math.
↑ Funkce FOS . support.microsoft.com . Získáno 15. listopadu 2021. Archivováno z originálu dne 15. listopadu 2021. (neurčitý)

Literatura

Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. & Flannery, Brian P. (2007), oddíl 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3. vydání), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Milton Abramowitz a Irene A. Stegun, ed. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami . - New York: Dover, 1972. - T. 7.
Nikolaj G. Lehtinen. Chybové funkce (duben 2010). Datum přístupu: 25. května 2019. (neurčitý)

Odkazy

Slovníky a encyklopedie	Velký sovět (1 ed.)
V bibliografických katalozích	GND : 4156112-0 NDL : 00562553