Inverzní funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. července 2022; kontroly vyžadují 13 úprav .

Inverzní funkce je funkce , která převrací závislost vyjádřenou danou funkcí. Například, jestliže funkce x dává y , pak její inverzní funkce y dává x . Inverzní k funkci se obvykle označuje , někdy se používá i zápis . $F$ $f^{-1}$ $f^{\mathrm{inv))$

Funkce, která má inverzní funkci, se nazývá reverzibilní .

Definice

Funkce se nazývá inverzní k funkci , pokud platí následující identity: $g:Y\to X$ $f:X\to Y$

$f(g(y))=y$ pro všechny $y\v Y;$
$g(f(x))=x$ pro všechny $x\in X.$

Související definice

Funkce se nazývá levá inverze funkce if for all . $g:Y\to X$ $f:X\to Y$ $g(f(x))=x$ $x\in X$
Funkce se nazývá pravá inverze funkce if for all [1] . $g:Y\to X$ $f:X\to Y$ $f(g(y))=y$ $y\v Y$

Existence

Chcete-li najít inverzní funkci, musíte vyřešit rovnici pro . Pokud má více než jeden kořen, pak neexistuje žádná inverzní funkce. Funkce je tedy invertibilní na intervalu právě tehdy, když je na tomto intervalu jedna ku jedné . $y = f(x)$ $X$ $F$ $f(x)$ $(a; b)$

Pro spojitou funkci je vyjádření z rovnice možné právě tehdy, když je funkce přísně monotónní (viz věta o implicitní funkci ). Spojitou funkci však lze vždy invertovat na intervalech její striktní monotónnosti. Například, je inverzní funkce k on , ačkoli inverzní funkce je odlišná na intervalu: . $F(y)$ $y$ $x - F(y) = 0$ $F(y)$ $\sqrt{x}$ $x^{2}$ $[0, +\infty)$ $(-\infty, 0]$ $-\sqrt{x}$

Pro existenci inverzní funkce není nutná kontinuita ani monotónnost původní funkce. Příklad: funkce , kde je Dirichletova funkce , je nespojitá a není monotónní, ale existuje pro ni inverzní [2] : $y=x+D(x),$ $D(x)$ $x=yD(y).$

Příklady

Pokud , někde $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x$ $a>0,a\neq 1,$ $F^{-1}(x) = \log_a x.$
If , kde jsou pevné konstanty a , then $F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}$ $a,b\in \mathbb{R}$ $a \neq 0$ $F^{-1}(x) = \frac{xb}{a}.$
Pokud , pak $F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z$ $F^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}.$

Vlastnosti

Doména je množina a doména je množina . $F^{-1}$ $Y$ $X$
Podle konstrukce máme:

y = F(x) \Šipka doleva x = F^{-1}(y)

nebo

F\left(F^{-1}(y)\vpravo) = y,\; \forall y \in Y

F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X

nebo kratší

F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y

F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X

kde označuje složení funkcí , a jsou identická zobrazení na a , resp. $\circ$ $\mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y$ $X$ $Y$

Takové zobrazení , které ("pravá inverzní") se nazývá sekce mapování . $G\colon \,Y\to X$ $F\circ G=\mathrm {id} _{Y}$ $F$

Funkce je inverzní k : $F$ $F^{-1}$

\left(F^{-1}\right)^{-1} = F

Nechť je bijekce. Nechte jeho inverzní funkci. Potom grafy funkcí a jsou symetrické vzhledem k přímce . $F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R}$ $F^{-1}:Y \to X$ $y = F(x)$ $y = F^{-1}(x)$ $y=x$
Také, pokud má funkce k ní inverzi , pak grafy těchto funkcí budou symetrické podle čáry . $f(x)$ $f^{-1}(x)$ $y=x$

Věta . Složení libovolných dvou invertibilních funkcí je invertibilní funkce, tedy . ${\displaystyle {\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1))$

Důkaz
Protože a pro jakoukoli vratnou funkci , kde je transformace identity, můžeme napsat následující rovnosti. $\alpha \circ {\alpha }^{-1}={\alpha }^{-1}\circ \alpha =e$ $\alpha \circ e=e\circ \alpha =\alpha$ $\alpha$ $E$ My máme: $e=e\Longleftrightarrow e=f\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=f\circ g\circ g^{-1}\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=\left( f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right).$ Chovejme se funkcí vlevo a dostaneme: Věta je dokázána. ${\displaystyle {\left(f\circ g\right)}^{-1))$ ${\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \mid e=\left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f ^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ e={\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1 }=e\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1 }\circf^{-1}.$

Tento výrok je snadno zapamatovatelný takto: " Sako se obléká po košili a svléká se před ."

Rozšíření výkonové řady

Inverzní funkci analytické funkce v nějakém okolí bodu lze znázornit jako mocninnou řadu : $x_{0}$

f^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(yf(x_{0}))^ {k}}{k!}},

kde funkce jsou dány rekurzivním vzorcem: $A_k$

A_{n}(x)={\begin{cases}x\;,\;n=0\\{\frac {A_{n-1}'(x)}{f'(x)} }\;,\;n>0\end{cases}}

Viz také

Poznámky

↑ Kulikov L.Ya. "Algebra a teorie čísel: učebnice pro pedagogické ústavy"
↑ Shibinsky V. M. Příklady a protipříklady v průběhu matematické analýzy. Tutorial. - M . : Vyšší škola, 2007. - S. 29-30. — 543 str. - ISBN 978-5-06-005774-4 .