Tetování

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. dubna 2021; kontroly vyžadují 6 úprav .

Tetrace ( hyperoperátor-4 ) v matematice je iterační funkce exponentu, dalšího hyperoperátoru po umocnění . Tetrace se používá k popisu velkých čísel.

Termín "tetrace" , sestávající ze slov " tetra- " (čtyři) a " iterace " (opakování), poprvé použil anglický matematik Reuben Goodstein v roce 1947 [1] .

Definice

Tetrace jako energetická věž

Pro jakékoli kladné reálné číslo a nezáporné celé číslo lze tetaci definovat rekurzivně: $a>0$ $n\geqslant 0$ ${}^{n}a$

${}^{0}a=1,$
${}^{n}a=a^{{({}^{{n-1}}a)}},\,n>0.$

Podle této definice začíná výpočet tetrace, psané jako „power tower“, umocňování od nejvzdálenějších úrovní k počáteční (v tomto zápisu od nejvyššího exponentu):

{}^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)} =2^{(2^{4})}=2^{16}=65536.

Nebo:

{}^{5}2=2^{{2^{{2^{{2^{2}}}}}}}=2^{{\left(2^{{\left(2^{{ \left(2^{2}\right)}}\right)}}\right)}}=2^{{(2^{{16}})}}=2^{{65536}}.

Současně, protože umocňování není asociativní operace , výpočet výrazu v jiném pořadí povede k jiné odpovědi:

2^{{2^{{2^{2}}}}}\neq \left((2^{2})^{2}\right)^{2}=2^{{2\cdot 2\ cdot 2}}=2^{8}=256.

Nebo:

2^{{2^{{2^{{2^{2}}}}}}\neq \left(((2^{2})^{2})^{2}\right)^{ 2}=2^{{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}=2^{{16}}=65536.

Energetické věže se tedy musí počítat shora dolů (nebo zprava doleva), to znamená, že mají správnou asociativitu.

Tetrace jako hyperoperátor

Tetrace je čtvrtá hyper operace v řadě :

dodatek : $a+b=a+\underbrace {1+1+\ldots +1}_{b};$
násobení : $a\times b=\underbrace {a+a+\ldots +a}_{b};$
umocnění : $a^{b}=\underbrace {a\times a\times \ldots \times a}_{b};$
tetování: ${^{b}a}=\underbrace {a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{a))))))))))))_{b} .$

Zde je každá operace iterací předchozí.

Vlastnosti

Tetrace není považována za elementární funkci (kromě případů s konstantním přirozeným exponentem, kdy je tetrace vyjádřena jako výkonová věž konstantní výšky).
Kvůli nekomutativnosti má tetrace dvě inverzní operace - superlogaritmus a superkořen (podobně jako umocňování má dvě inverzní funkce: aritmetický kořen a logaritmus ).

Pro tetaci jsou v obecném případě následující vlastnosti charakteristické pro předchozí operátory nesprávné:

${}^{b}({}^{c}a)\neq {}^{c}({}^{b}a)$ , například: ale . ${}^{3}({}^{2}2)=({}^{2}2)^{({}^{2}2)^{({}^{2}2) }}=4^{4^{4}}=4^{256}$ ${}^{2}({}^{3}2)=({}^{3}2)^{({}^{3}2)}=16^{16}=4^{ 32}$
${}^{b+c}a$ se nerovná ani , ani , například: , protože . ${}^{b}a+{}^{c}a$ ${}^{b}a\times {}^{c}a$ ${}^{1+2}3={}^{3}3=3^{27}\neq {}^{1}3+{}^{2}3\neq {}^{1 }3\krát {}^{2}3$ ${}^{1}3+{}^{2}3=30;{}^{1}3\times {}^{2}3=81$

Poznámka: však platí nebo . $\underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a))))} _{b}{({}^{b+c}a) }={}^{c}a$ $\underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a))))} _{c}{({}^{b+c}a) }={}^{b}a$

Tetrace mínus jedna se rovná mínus jedna:

${^{n}(-1)}=\pod závorkou {(-1)^{(-1)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{(-1)))))) } } _{n}=-1,n>0$

Terminologie

Existuje několik termínů pro definování pojmu tetrace a každý z nich má svou vlastní logiku, ale některé z nich se z toho či onoho důvodu nestaly obecně uznávanými. Níže je několik takových příkladů.

V terminologii dominuje termín tetration , který použil Reuben Goodstein v roce 1947 v Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory (zobecnění rekurzivních reprezentací v Goodsteinově větě používané pro vyšší operátory). Termín byl také popularizován v Infinity and the Mind od Rudyho Ruckera .
Termín "superexponenciace" publikoval Bromer ve své práci " Superexponenciace" v roce 1987 . [2] Termín již dříve použil Ed Nelson ve své knize Predicative Aritmetic [3 ] .
Termín "hyperpower" ( anglicky hyperpower ) [4] je přirozenou kombinací pojmů "hyper-" a "degree" , která vhodně popisuje tetaci. Problém spočívá v samotném pojetí pojmu „hyper“ ve vztahu k hierarchii hyperoperátorů . Když vezmeme v úvahu hyperoperátory, výraz „hyper“ se vztahuje na všechny úrovně a výraz „super“ se vztahuje na úroveň 4 neboli tetrace. Za těchto okolností tedy může být pojem „hyperstupeň“ zavádějící, protože se vztahuje pouze na pojem tetrace.
Někdy se používá termín „power tower“ ( anglicky power tower ) [5] ve formě „power tower of order “ pro . $n$ $\underbrace {a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{a))))))))))_{n}$

Tetrace je také často zaměňována s jinými úzce souvisejícími funkcemi a výrazy. Níže uvádíme několik souvisejících výrazů:

Formulář	Terminologie
$a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{a))))))))))))}$	tetování
$a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{{a^{x)))))))))))))}$	Iterativní exponenty
$a_{1}^{{a_{2}^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{{a_{n))))))))))))}$	Vnoření vystavovatelé (také věže)
$a_{1}^{{a_{2}^{{a_{3}^{{\cdot ^({\cdot ^{\cdot )))))))))}}$	Nekonečné exponenty (také věže)

První dva výrazy mají základ a číslo, které se objeví, je výška . Ve třetím výrazu je výška , ale všechny základny jsou různé. $A$ $A$ $n$

Notace

Notační systémy, ve kterých lze použít tetaci (některé z nich umožňují použití ještě vyšších iterací), zahrnují:

název	Formulář	Popis
Standardní notace	${}^{n}a$	Použito Maurerem [1901] a Goodsteinem [1947]; popularizoval v Infinity and the Mind Rudy Ruecker .
Knuthova šipková notace	$a{\uparrow \uparrow }n$	Umožňuje rozšíření přidáním přírůstkových nebo indexovaných šipek, což je výkonnější.
Conwayův řetěz	$a\do n\do 2$	Umožňuje prodloužení přidáním 2 (ekvivalent výše uvedené metody), ale ještě výkonnější způsob zápisu je možný také zvýšením řetězce.
Ackermannova funkce	${}^{n}2={\mathrm {A}}(4,\;n-3)+3$	Umožňuje speciální případ v psaní z hlediska Ackermannovy funkce. $a=2$
Iterovatelný exponenciální zápis	${}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)$	Umožňuje jednoduché rozšíření na iterativní exponenty začínající na hodnotách jiných než 1.
Hoosmandova notace ( anglicky Hoosmand ) [6]	${\mathrm {uxp}}_{a}n,\quad a^{{\frac {n}{}}}$
Hyperoperátorový notační systém	$a^{{(4)}}n,\quad {\mathrm {hyper}}_{4}(a,\;n)$	Umožňuje prodloužení přidáním 4; to dává rodinu hyperoperátorů .
Systém zápisu ASCII	a^^n	Vzhledem k tomu, že značení šipky nahoru se používá shodně se značením stříška ( ^), operátor tetování lze zapsat jako ( ^^).
Notace Bowers / Bird array [7]	{a,b,2}	{a, b, c} = a^^^…^^^b (c šipky nadstupně).

Jeden z výše uvedených systémů používá iterovaný exponent; obecně je definován takto:

\exp _{a}^{n}(x)=\underbrace {a^{{a^{{\cdot ^({\cdot ^({\cdot ^{{a^{x)))))) ) }}}}} }_{n}.

Pro iterované exponenty neexistuje mnoho zápisů, ale několik je uvedeno níže:

název	Formulář	Popis
Standardní notace	$\exp _{a}^{n}(x)$	Systém notace a iterativní notační systém zavedl Euler . $\exp _{a}(x)=a^{x}$ $f^{n}(x)$
Knuthova šipková notace	$(a{\uparrow })^{n}(x)$	Umožňuje superschopnosti a superexponenciální funkce ke zvýšení počtu šipek.
Hyper-E notace	E(a)x#n
Ioannis Galidakis ( angl . Ioannis Galidakis ) notační systém	${}^{n}(a,\;x)$	Umožňuje použití velkých výrazů v základu. [osm]
ASCII (doplňkové)	a^^n@x	Na základě názoru, že iterativní exponent je další tetrace .
ASCII (standardní)	exp_a^n(x)	Na základě standardní notace.

Příklady

V níže uvedené tabulce je většina hodnot příliš velkých na to, aby je bylo možné zapsat v exponenciálním zápisu, takže k jejich vyjádření v základu 10 se používá iterativní zápis exponentů. Hodnoty obsahující desetinnou čárku jsou přibližné. Například čtvrtá tetrace od 3 (tj. ) začíná 1258, končí 39387 a má 3638334640025 číslic, sekvence OEIS je A241292 . ${\displaystyle 3^{3^{3^{3))))$

$X$	${}^{2}x$	${}^{3}x$	${}^{4}x$
jeden	jeden	jeden	jeden
2	čtyři	16	65 536
3	27	7 625 597 484 987	$\exp _{{10}}^{3}(1{,}09902)$
čtyři	256	$\exp _{{10}}^{2}(2{,}18788)$	$\exp _{{10}}^{3}(2{,}18726)$
5	3 125	$\exp _{{10}}^{2}(3{,}33931)$	$\exp _{{10}}^{3}(3{,}33928)$
6	46 656	$\exp _{{10}}^{2}(4{,}55997)$	$\exp _{{10}}^{3}(4{,}55997)$
7	823 543	$\exp _{{10}}^{2}(5{,}84259)$	$\exp _{{10}}^{3}(5{,}84259)$
osm	16 777 216	$\exp _{{10}}^{2}(7{,}18045)$	$\exp _{{10}}^{3}(7{,}18045)$
9	387 420 489	$\exp _{{10}}^{2}(8{,}56784)$	$\exp _{{10}}^{3}(8{,}56784)$
deset	10 000 000 000	$\exp _{{10}}^{3}(1)$	$\exp _{{10}}^{4}(1)$

Otevřené problémy

Není známo, zda n π nebo n e jsou celá čísla pro jakékoli přirozené n > 4 . Není ani známo , zda je celá ${^4\pi}=\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$ .
Není známo, zda může být racionální číslo , pokud je celé číslo větší než 3 a je racionální, ale ne celé číslo (protože odpověď je záporná) [9] . ${^nq}$ $n$ $q$ $n=2,\,3$
Pro žádné celé číslo není známo, zda kladný kořen rovnice je racionální, algebraicky iracionální nebo transcendentální číslo . $n>3$ ${^{n}x}=2$

Poznámky

↑ Goodstein RL Transfinitní ordinály v rekurzivní teorii čísel (neopr.) // Journal of Symbolic Logic. - 1947. - T. 12 . - doi : 10.2307/2266486 .
↑ Bromer N. Superexponenciation // Mathematics Magazine : magazine . - 1987. - Sv. 60 , č. 3 . - S. 169-174 . Archivováno z originálu 27. ledna 2017.
↑ Nelson E. Predikativní aritmetika. — Princeton University Press, 1986.
↑ MacDonnell JF Somecritical points of the hyperpower function $\scriptstyle {x^{{x^{{\dots }}}}}$ // International Journal of Mathematical Education: journal. - 1989. - Sv. 20 , č. 2 . - str. 297-305 .
↑ Weisstein, Eric W. Power Tower na webu Wolfram MathWorld .
↑ Hooshmand MH Ultra power a ultra exponenciální funkce (neopr.) // Integrální transformace a speciální funkce. - 2006. - T. 17 , č. 8 . - S. 549-558 . - doi : 10.1080/10652460500422247 .
↑ Zdroj . Datum přístupu: 20. ledna 2013. Archivováno z originálu 21. října 2014. (neurčitý)
↑ Galidakis I. On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals Archived 25. května 2006 na Wayback Machine .
↑ Marshall, Ash J. a Tan, Yiren, „Racionální číslo tvaru a a s iracionálním “, Mathematical Gazette 96, březen 2012, str. 106-109. . Získáno 28. dubna 2013. Archivováno z originálu 6. května 2014. (neurčitý)

Odkazy

Místo o tetration Andrew Robins .
Web o tetaci od Daniela Geislera .
Diskusní fórum Tetracy .
Kuzněcov D. Tetrace jako speciální funkce // Vladikavkaz Mathematical Journal. — 2010.

Velká čísla
Čísla	googol Shannonovo číslo Googolplex Skewes číslo Moserovo číslo Grahamovo číslo STROM(3) Rayo číslo
Funkce	Ackermannova funkce Funkce Veblen Psi funkce Buchholze tetování Pentace Hyperoperátor Rychle rostoucí hierarchie Pomalu rostoucí hierarchie Hardyho hierarchie
Notace	Steinhaus-Moserova notace Knuthova šipková notace Notace Conwayovy šipky Masivní Bowers Notace