Kořen (matematika)

Tento článek je o extrakci kořenů . Viz také Kořen rovnice a Kořen polynomu .

Kořen tého stupně $n$ čísla je definován [1] jako číslo takové, že Zde je přirozené číslo , nazývané exponent odmocniny (neboli stupeň odmocniny); je obvykle větší nebo roven 2, protože případ není zajímavý. $A$ $b$ $b^{n}=a.$ $n$ $n=1$

Zápis: Symbol ( kořenový znak ) na pravé straně se nazývá radikál . Číslo ( radikálový výraz ) je nejčastěji reálné nebo komplexní , ale existují i zobecnění pro jiné matematické objekty , jako jsou zbytky , matice a operátory , viz #Variace a zobecnění níže . $b={\sqrt[{n}]{a}},$ $A$

Příklady pro reálná čísla:

Kořeny 2. stupně čísla 9 jsou a obě tato čísla mají stejné druhé mocniny a jsou rovny 9 $+3$ $-3,$
${\sqrt[{3}]{\ 64}}=4,$ protože $4^{3}=64.$
${\sqrt[{3}]{\frac {8}{27}}}={\frac {2}{3)),$ protože $\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {8}{27}}.$

Jak můžete vidět z prvního příkladu, skutečný sudý kořen může mít dvě hodnoty (kladnou a zápornou), což ztěžuje práci s takovými kořeny, což neumožňuje jejich použití v aritmetických výpočtech. Pro zajištění jednoznačnosti se zavádí pojem aritmetického kořene (z nezáporného reálného čísla), jehož hodnota je vždy nezáporná, v prvním příkladu toto číslo , navíc je přijata dohoda podle ke kterému znaménko sudého stupně odmocniny z reálného čísla vždy značí aritmetický odmocninec [2] [3] : Je-li třeba vzít v úvahu nejednoznačnost odmocniny, umístí se před znaménko plus nebo mínus . radikál [2] ; například takto se to dělá ve vzorci pro řešení kvadratické rovnice : $3.$ ${\sqrt[{2}]{9}}=3.$ $ax^{2}+bx+c=0$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

Skutečné sudé kořeny záporných čísel neexistují. Z komplexního čísla je vždy možné extrahovat odmocninu libovolného stupně, ale výsledek je nejednoznačně definován – komplexní odmocnina nenulového čísla má různé hodnoty (viz #Kořeny komplexních čísel ). $n$ $n$

Operace extrakce kořenů a algoritmy pro její implementaci se objevily ve starověku v souvislosti s praktickými potřebami geometrie a astronomie, viz #History .

Definice a související pojmy

Kromě výše uvedeného lze uvést dvě ekvivalentní definice kořene [4] :

Odmocnina čísla $n$ je řešením rovnice (všimněte si, že řešení může být několik nebo žádné). $A$ $X$ $x^n=a$
Kořen tého stupně $n$ čísla je kořenem polynomu , tedy hodnotou, při které je zadaný polynom roven nule. $A$ $x^{n}-a,$ $X$

Operace výpočtu se nazývá " převzetí th odmocniny " čísla . Toto je jedna ze dvou operací, které jsou inverzní k umocňování [5] , konkrétně nalezení základu stupně ze známého exponentu a výsledku umocňování . Druhá inverzní operace, logaritmus , najde exponent daný známým základem a výsledkem. ${\sqrt[{n}]{a))$ $n$ $A$ $b$ $n$ $a=b^{n}$

Obzvláště často se používají kořeny druhého a třetího stupně, a proto mají zvláštní jména [5] .

Druhá odmocnina : V tomto případě se exponent 2 obvykle vynechává a výraz "odmocnina" bez určení stupně nejčastěji implikuje druhou odmocninu. Geometricky to může být interpretováno jako délka strany čtverce , jehož plocha je rovna . ${\sqrt {a}).$ ${\sqrt {a}}$ $A$
Odmocnina krychle : Geometricky je to délka hrany krychle, jejíž objem je . ${\sqrt[{3}]{a}}.$ ${\sqrt[{3}]{a))$ $A$

Kořeny reálných čísel

V této sekci všude - přirozené číslo, - reálná čísla. Kořen tého stupně reálného čísla může mít v závislosti na paritě a znaménku 0 až 2 reálné hodnoty. $n$ $a,b$ $n$ $A$ $n$ $A$

Obecné vlastnosti

Lichá odmocnina kladného čísla je kladné číslo, jednoznačně určené.

${\sqrt[{n}]{a}}=b$ , kde je liché $a,b>0,$ $n$

Například,

{\sqrt[{3}]{125}}=5,\ {\sqrt[{5}]{32}}=2,\ {\sqrt[{15}]{1}}=1

Lichá odmocnina záporného čísla je záporné číslo , které je jednoznačně definováno.

${\sqrt[{n}]{a}}=b$ , kde je liché $a,b<0,$ $n$

Například,

{\sqrt[{3}]{-8}}=-2,\ {\sqrt[{5}]{-243}}=-3,\ {\sqrt[{7}]{-1}}= -jeden

Odmocnina sudého stupně kladného čísla má dvě hodnoty s opačnými znaménky, ale stejné v absolutní hodnotě.

$\pm {\sqrt[{n}]{a}}=\pm b$ , kde je sudý $a,b>0,$ $n$

Například,

\pm {\sqrt {4}}=\pm 2,\ \ \pm {\sqrt[{4}]{81}}=\pm 3,\ \ \pm {\sqrt[{10}] {1024}}=\pm 2

Odmocnina sudého stupně záporného čísla v oboru reálných čísel neexistuje , protože při umocnění libovolného reálného čísla na mocninu se sudým exponentem bude výsledkem nezáporné číslo. Níže bude ukázáno, jak extrahovat takové kořeny v širším systému - množině komplexních čísel (pak hodnoty kořene budou komplexní čísla). $n$

${\sqrt[{n}]{a))$ neexistuje v oboru reálných čísel , jestliže - sudé $a<0,$ $n$

Kořen jakékoli přirozené mocniny nuly je nula.

${\sqrt[{n}]{0}}=0$

Upozornění

Jak je uvedeno výše: " Odmocnina sudých stupňů záporného čísla v oboru reálných čísel neexistuje ". Navíc takový kořen existuje v oblasti komplexních čísel . Proto je třeba vždy zvážit, ve které číselné soustavě (reálná nebo komplexní čísla) odmocninu extrahujeme.

Příklad. V oblasti reálných čísel odmocnina z neexistuje. $-9$
Příklad. V oblasti komplexních čísel je odmocnina z is $-9$ $\pm 3i.$

Aritmetický kořen

Již bylo řečeno výše, že kořeny sudého stupně jsou definovány, obecně řečeno, nejednoznačně a tato skutečnost způsobuje nepříjemnosti při jejich použití. Proto bylo zavedeno prakticky důležité omezení tohoto konceptu [6] .

Aritmetický kořen t. stupně $n$ nezáporného reálného čísla je nezáporné číslo , jehož aritmetický kořen je označen radikálem . $A$ $b$ $b^{n}=a.$

Aritmetický kořen je tedy na rozdíl od kořene obecného tvaru ( algebraický ) definován pouze pro nezáporná reálná čísla a jeho hodnota existuje vždy, jednoznačně [7] a nezáporně. Například odmocnina z čísla má dvě hodnoty: a , z nichž první je aritmetická. $čtyři$ $2$ $-2$

Algebraické vlastnosti

Níže uvedené vzorce jsou správné především pro aritmetické kořeny jakéhokoli stupně (kromě speciálních případů). Platí i pro kořeny lichého stupně, které mají i negativní radikální výrazy [8] .

Vzájemné zrušení kořene a stupně: [9]
- pro liché : , $n$ ${\sqrt[{n}]{a^{n))}=a$
- pro dokonce : $n$ ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{n))))}=|a|$
Pokud , pak a $a<b$ ${\barva {modrá}{\sqrt[{\barva {černá}n}]{\barva {černá}{a))))<{\barva {modrá}{\sqrt[{\barva {černá}n} ]{\barva {černá}{b))))$

Kořen součinu se rovná součinu kořenů faktorů:

${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{ab))))={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n} ]{\color {black}{a)))){\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b))))$

Podobně pro rozdělení:

${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{\frac {a}{b))))}={\frac {\color {blue}{\ sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a)))){\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b }}}}}},\;b\neq 0$

Následující rovnost je definicí zvýšení na zlomkovou mocninu [10] :

$a^{m/n}={\color {modrá}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{m))))}=\left({\color {modrá}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a))))\right)^{m}=\left(a^{1/n}\right)^ {m}$

Hodnota odmocniny se nezmění, pokud jeho index a stupeň radikálového vyjádření vydělíme stejným číslem (faktor exponentu a exponentu radikálového výrazu):

${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}nk}]{\color {black}{a^{mk)))}}={\color {blue}{\sqrt[{\color { černá}n}]{\barva {černá}{a^{m))))},\;n,k\in \mathbb {N} .$ Příklad: ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}6}]{\color {black}{64))))={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}{2 \cdot 3}}]{\color {black}{4^{3}}}}={\color {blue}{\sqrt {\color {black}{4}}}}=2$
${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}k}]{\color {black}{a)))) ))={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}nk}]{\color {black}{a)))),\;n,k\in \mathbb {N}$

Pro kořeny lichého stupně uvádíme další vlastnost:

${\sqrt[{n}]{-a}}=-{\sqrt[{n}]{a}}$

Extrahování odmocniny a zvýšení na zlomkovou mocninu

Operace umocňování byla původně zavedena jako zkratka pro operaci násobení přirozených čísel: . Dalším krokem bylo definovat umocnění na libovolné celé číslo, včetně záporné, mocniny: $m^{n}={\barva {šedá}\pod závorkou {\barva {černá}m\cdot m\cdot \dots \cdot m} _{\barva {černá}n))$ $m^{-n}={\frac {1}{m^{n))}.$

Operace extrahování aritmetické odmocniny vám umožňuje definovat zvýšení kladného čísla na jakoukoli racionální (zlomkovou) mocninu [10] :

a^{\frac {m}{n}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{m))))},

a>0

V tomto případě může mít čitatel zlomku znaménko. Vlastnosti rozšířené operace jsou v zásadě stejné jako umocnění na celé číslo. $m$ ${\frac {m}{n}}$

Tato definice znamená, že extrahování kořene a jeho inverzní umocňování jsou ve skutečnosti spojeny do jedné algebraické operace. Zejména:

{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a))))=a^{\frac {1}{n))

Pokusy zvýšit záporná čísla na racionální mocninu mohou vést k chybám, protože hodnota algebraického kořene je nejednoznačná a rozsah aritmetického kořene je omezen na nezáporná čísla. Příklad možné chyby:

-1=(-1)^{2\ \cdot \ {\frac {1}{2}}}=\left({(-1)^{2}}\right)^{\frac {1}{ 2))=1^{\frac {1}{2))={\color {modrá}{\sqrt {\color {black}1))}=1

Kořenová funkce

Grafy kořenových funkcí
Kořenové funkce a mocninné funkce inverzní k nim v intervalu $[0;\ 1]$
Kořenové funkce:
- aritmetika, sudé mocniny 2, 4, 6
- společné, liché mocniny 3, 5, 7

Uvažujeme-li kořenový výraz jako proměnnou, dostaneme kořenovou funkci tého stupně: . Kořenová funkce patří do kategorie algebraických funkcí . Graf libovolné kořenové funkce prochází počátkem a bodem . $n$ $y={\sqrt[{n}]{x}}$ $(jedenáct)$

Jak bylo uvedeno výše, pro sudý kořen, aby bylo zajištěno, že funkce je jedinečná, musí být kořen aritmetický, takže argument není záporný. Kořenová funkce lichého stupně je jednohodnotová a existuje pro jakoukoli skutečnou hodnotu argumentu. $X$

Typ kořenové funkce	Doména	Rozsah hodnot	Další vlastnosti
Rovnoměrný stupeň	$[0;\ +\infty )$	$[0;\ +\infty )$	Funkce je konvexní nahoru přes celou definiční doménu
lichý stupeň	$(-\infty ;+\infty )$	$(-\infty ;+\infty )$	Funkce je lichá

Pro jakýkoli stupeň je kořenová funkce přísně rostoucí, spojitá všude v rámci své definiční domény. Neohraničeně diferencovatelné všude kromě počátku, kde derivace jde do nekonečna [11] [12] . Derivace je určena vzorcem [13] :

{\frac {d}{dx}}{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}} }

. Zejména .

{\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}

Funkce je neomezeně integrovatelná v celé oblasti definice. Neurčitý integrál se hledá podle vzorce:

\int {\sqrt[{n}]{x}}\;dx={\frac {\sqrt[{n}]{x^{n+1}}}{1+{\frac {1}{n }}}}+C

. Konkrétně , kde je libovolná konstanta.

\int {\sqrt {x}}\;dx={\frac {2{\sqrt {x^{3}}}}{3}}+C

C

Neomezená diferencovatelnost a integrovatelnost funkce

Vzorec pro nalezení derivace tého řádu $k$ [14] funkce : ${\sqrt[{n}]{x}}$

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}{\sqrt[{n}]{x}}=(-1)^{k}{\frac {\prod _{m=0 }^{k-1}(mn-1)}{{n^{k}}{\sqrt[{n}]{x^{kn-1}}}}}$
kde $\ k,n\in \mathbb {N} ,\ x\neq 0$

Vzorec pro nalezení tého neurčitého integrálu [15] funkce : $k$ ${\sqrt[{n}]{x}}$

$\underbrace {\int \cdots \int } _{k}{\sqrt[{n}]{x}}\ \underbrace {dx\cdots dx} _{k}={\frac {{n^{k} }{\sqrt[{n}]{x^{kn+1)))){\prod _{m=1}^{k}(1+mn)))+C$
kde $k,n\in \mathbb {N} ,\ C=konst$

Pravé části vzorců jsou algebraické výrazy, které vždy existují, s přirozeným . Proto také levice.

k

Limitní poměry

Zde jsou některé užitečné limity obsahující kořeny [16] .

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\ln n}}=1

\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\ frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)=\ln x

\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt[{n}]{(x+1)^{m}}}-1}{x}}={\frac {m}{n} }

\lim _{n\to \infty }\left({\frac {{\sqrt[{n}]{a}}+{\sqrt[{n}]{b}}}{2}}\vpravo) ^{n}={\sqrt {ab}}

Praktický výpočet kořenů

Funkce výpočtu druhé mocniny a třetí mocniny je poskytována v mnoha kalkulačkách; například kalkulačka Windows zobrazuje odpovídající tlačítka v režimu "Engineering" (Scientific). Pokud je na elektronické kalkulačce umocňovací klávesa: pak pro extrakci odmocniny z aktuálního čísla musíte stisknout následující klávesy [17] . $y^{x},$

y^{x}

Získejte kořenový exponent zmáčkni tlačítko

1/x

zmáčkni tlačítko

=

Pro ruční výpočet můžete použít rychlou konvergentní metodu popsanou v článku " Algoritmus pro nalezení kořene n-tého stupně ". Pro mocniny nad třetí lze použít logaritmickou identitu :

{\sqrt[{n}]{x}}=a^{\frac {\log _{a}(x)}{n}}=e^{\frac {\ln(x)}{ n}}

Chcete-li extrahovat kořen, musíte najít logaritmus kořenového výrazu, vydělit ho mocninou a najít antilogaritmus výsledku.

Kořeny komplexních čísel

Původ konceptu komplexního čísla byl historicky spojen s touhou „legalizovat“ odmocniny záporných čísel. Jak se postupně ukázalo, komplexní čísla mají bohaté algebraické a analytické vlastnosti; zejména extrahování kořenů z nich je vždy možné, i když nejednoznačně. Pro kořeny v komplexní doméně se radikálový znak obvykle buď nepoužívá, nebo neoznačuje kořenovou funkci, ale množinu všech kořenů; v druhém případě, aby se předešlo chybám, nesmí být v aritmetických operacích použito znaménko radikálu. Příklad možné chyby:

-1=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1

(což samozřejmě není pravda)

Chyba vznikla, protože nearitmetická druhá odmocnina je vícehodnotová funkce a nelze ji použít v aritmetice.

Způsoby, jak najít

Napišme komplexní číslo v goniometrickém tvaru : $z$

z=r\left(\cos {\varphi }+i\sin {\varphi }\right)

Potom jsou kořeny tého stupně určeny De Moivreovým vzorcem (trigonometrický tvar) [18] : $n$ $z$

{\sqrt[{n}]{z}}={\barva {modrá}{\sqrt[{\barva {černá}n}]{\barva {černá}{r}}}}\left(\cos { \frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\;k=0,1,\tečky , n-1

nebo v exponenciální formě :

z=re^{i\varphi }

{\sqrt[{n}]{z}}={\color {modrá}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{r}}}}e^{\left( i{\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right)},\;k=0,1,\tečky ,n-1

Notový zápis

$z=x+iy,\ z\in \mathbb {C}$ (komplexní číslo), (reálná část komplexního čísla), (imaginární část komplexního čísla), - imaginární jednotka , (modul komplexního čísla), (argument komplexního čísla), - základ přirozeného logaritmu .
$x=\operatorname {Re} (z)\in \mathbb {R}$
$y=\operatorname {Im} (z)\in \mathbb {R}$
$i$
$r=|z|={\barva {modrá}{\sqrt {\barva {černá}{x^{2}+y^{2))))}$
$\varphi =\operatorname {arg} z=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x))$
$E$

Mocninná odmocnina nenulového komplexního čísla má hodnoty (toto je důsledek základní věty algebry ) a všechny jsou odlišné. Hodnota kořene získané pomocí se často nazývá jistina . $n$ $n$ $k=0$

Protože modul je stejný pro všechny hodnoty kořene (je definován jako aritmetický kořen modulu původního komplexního čísla) a mění se pouze jeho argument , všechny kořenové hodnoty jsou umístěny v komplexní rovině na kruh o poloměru se středem v počátku. Kořeny rozdělují tento kruh na stejné části. $n$ ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{r))))$ $n$

Příklady

Pojďme najít . Protože podle vzorce dostaneme: ${\sqrt {-4}}$ $-4=4(\cos {\pi }+i\sin {\pi }),$

{\sqrt {-4}}=2\left(\cos {\frac {\pi +2\pi k}{2}}+i\sin {\frac {\pi +2\pi k}{2} }\vpravo),\;k=0,1

Když dostaneme první kořen , když dostaneme druhý kořen $k=0$ $2i$ $k=1$ $(-2i).$

Další příklad: najít . Představme radikální výraz v trigonometrickém tvaru: ${\sqrt[{4}]{-16}}$

-16=16\ (\cos(\pi +2k\pi )+i\sin(\pi +2k\pi))

Podle vzorce Moivre dostaneme:

z_{k}={\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt[{4}]{16}}\left(\cos {\frac {\pi +2k\pi }{4} }+i\sin {\frac {\pi +2k\pi }{4}}\right)

V důsledku toho máme čtyři kořenové hodnoty [19] :

z_{0}=2\left(\cos {\frac {\pi }{4))+i\sin {\frac {\pi }{4))\right)={\sqrt {2))\ ( 1+i)

z_{1}=2\left(\cos {\frac {3\pi }{4}}+i\sin {\frac {3\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}} \ (-1+i)

z_{2}=2\left(\cos {\frac {5\pi }{4}}+i\sin {\frac {5\pi }{4}}\right)=-{\sqrt {2} }\ (1+i)

z_{3}=2\left(\cos {\frac {7\pi }{4}}+i\sin {\frac {7\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}} \(1-i)

Souhrnnou odpověď můžete napsat jako: ${\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt {2}}\ (\pm 1\pm i)$

Komplexní kořenová funkce a Riemannův povrch

Uvažujme o komplexní funkci kořene t. stupně: Podle toho, co bylo řečeno výše, je tato funkce vícehodnotovou (přesněji -hodnotovou) funkcí, což způsobuje nepříjemnosti při jejím studiu a aplikaci. V komplexní analýze bylo místo uvažování vícehodnotových funkcí v komplexní rovině učiněno jiné rozhodnutí: považovat funkci za jednohodnotovou, ale definovanou ne v rovině, ale na složitější varietě , která se nazývá Riemann povrch [20] . $n$ $w={\sqrt[{n}]{z}}.$ $n$

Riemannova plocha pro komplexní odmocninu
Riemannův povrch pro komplexní kořen 4. stupně

Pro komplexní kořenovou funkci t. stupně sestává jeho Riemannův povrch (viz obrázky) z větví ( listů ) spojených spirálovitě, přičemž poslední list je připojen k prvnímu. Tato plocha je souvislá a jednoduše spojená . Jeden z listů obsahuje hlavní hodnoty kořene získané jako analytické pokračování skutečného kořene z kladného paprsku reálné osy. $n$ $n$

Pro jednoduchost popíšeme komplexní funkci odmocniny. Jeho Riemannův povrch se skládá ze dvou plechů. První list může být reprezentován jako komplexní rovina s vyříznutým kladným paprskem skutečné osy. Hodnoty kořenové funkce na tomto listu mají polovinu argumentu , a tak vyplňují horní část komplexní roviny hodnot. Na řezu se první list přilepí k druhému a funkce plynule pokračuje přes řez k druhému listu, kde jeho hodnoty vyplňují spodní část roviny komplexních hodnot. Zbývající volný začátek prvního listu a konec druhého jsou rovněž slepeny, načež se výsledná funkce na Riemannově ploše stává jednohodnotovou a všude spojitou [20] . $w$ $z$

Jediná nula funkce (prvního řádu) je získána v . Singulární body: a (větevní body nekonečného řádu) [20] . Pojem bod větvení znamená, že uzavřený obrys v blízkosti nuly nevyhnutelně obsahuje přechod z listu na list. $z=0$ $z=0$ $z=\infty$

Díky jednoduchému spojení je Riemannův povrch kořene univerzálním krytem [21] pro komplexní rovinu bez bodu . $0$

Variace a zobecnění

Třetí odmocnina je řešením rovnice a v zásadě může být definována všude tam, kde má taková rovnice smysl. Nejčastěji se taková zobecnění zvažují v algebraických kruzích . Zobecněné druhé odmocniny jsou nejlépe prozkoumané. $n$ $A$ $x^n=a$

Pokud je kruh doménou integrity , pak mohou existovat buď dvě, nebo žádná z odmocnin nenulového prvku. Opravdu, pokud existují dva kořeny , pak odkud: , to znamená kvůli absenci nulových dělitelů , . Obecněji, když má kruh nulové dělitele nebo je nekomutativní , může existovat libovolný počet kořenů. $a, b,$ $a^{2}=b^{2},$ $(ab)(a+b)=0$ $a=\pm b$

V teorii čísel se uvažuje o konečném kruhu zbytků modulo : má-li srovnání řešení, pak se celé číslo nazývá zbytek stupně n (jinak zbytek stupně n ). Řešení , pokud existuje, je úplnou analogií n-té odmocniny celého čísla . Nejčastěji používané případy jsou [22] : $m$ $x^{n}\equiv a{\pmod {m))$ $A$ $X$ $A$

$n=2$ ( kvadratické zbytky )
$n=3$ (kubické srážky)
$n=4$ (bikvadratické zbytky)

Kořeny pro kvaterniony mají mnoho společného s komplexními, ale existují také významné rysy. Odmocnina čtverce má obvykle 2 hodnoty, ale pokud je odmocninou záporné reálné číslo, pak existuje nekonečně mnoho hodnot. Například odmocniny tvoří trojrozměrnou kouli definovanou vzorcem [23] : $-jeden$

\{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}\,.

Pro kruh čtvercových matic je dokázáno, že pokud je matice kladně definitní , pak kladná definitní odmocnina matice existuje a je jedinečná [24] . U matic jiných typů může být libovolný počet kořenů (včetně žádného).

Odmocniny jsou také zavedeny pro funkce [25] , operátory [26] a další matematické objekty.

Historie

Vývoj koncepce

První problémy související s extrakcí druhé odmocniny byly nalezeny v dílech babylonských matematiků (o úspěších starověkého Egypta v tomto ohledu není nic známo). Mezi takové úkoly [27] :

Aplikace Pythagorovy věty k nalezení strany pravoúhlého trojúhelníku vzhledem k ostatním dvěma známým stranám.
Nalezení strany čtverce , jehož plocha je dána.
Řešení kvadratických rovnic .

Babylonští matematici (II. tisíciletí př. n. l.) vyvinuli speciální numerickou metodu pro extrakci druhé odmocniny. Počáteční aproximace pro byla vypočtena na základě přirozeného čísla nejblíže odmocnině (směrem dolů) . Reprezentující radikální výraz ve tvaru: , dostaneme: , pak byl aplikován iterativní proces zpřesňování, odpovídající Newtonově metodě [28] : ${\sqrt {a}}$ $n$ $a=n^{2}+r$ $x_{0}=n+{\frac {r}{2n))$

x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}\right)\

Iterace v této metodě konvergují velmi rychle. Například pro , a dostaneme posloupnost aproximací: ${\sqrt {5}}$ $a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_{0}={\frac {9}{4))=2{,}25,$

x_{1}={\frac {161}{72}}=2{,}23611;\;x_{2}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779

V konečné hodnotě jsou všechny číslice správné kromě poslední.

Podobné problémy a metody se nacházejí ve staré čínské " Matematice v devíti knihách " [29] . Staří Řekové učinili důležitý objev: - iracionální číslo . Podrobná studie Theaeteta z Athén (4. století př. n. l.) ukázala, že pokud kořen přirozeného čísla není úplně extrahován, pak je jeho hodnota iracionální [30] . ${\sqrt {2}}$

Řekové formulovali problém zdvojnásobení krychle , který se scvrkl na konstrukci krychle pomocí kružítka a pravítka . Problém se ukázal jako neřešitelný. Numerické algoritmy pro extrakci krychlové odmocniny publikovali Heron (v pojednání " Metric ", 1. století našeho letopočtu) a indický matematik Aryabhata I (5. století) [31] .

Algoritmy pro extrahování kořenů libovolného stupně z celého čísla, vyvinuté indickými a islámskými matematiky, byly vylepšeny ve středověké Evropě. Nicholas Orem (XIV. století) byl první, kdo interpretoval [32] kořen th stupně jako umocňování . $n$ ${\frac {1}{n}}$

Po objevení se Cardanova vzorce (XVI. století) se v matematice začalo používat imaginární čísla , chápaná jako druhé odmocniny záporných čísel [33] . Základy práce s komplexními čísly vyvinul v 16. století Rafael Bombelli , který také navrhl originální metodu pro počítání odmocnin (pomocí pokračovacích zlomků ). Objev Moivreho vzorce (1707) ukázal, že extrahování odmocniny libovolného stupně z komplexního čísla je vždy možné a nevede k novému typu čísel [34] .

Komplexní kořeny libovolného stupně byly do hloubky studovány Gaussem na počátku 19. století , ačkoli první výsledky jsou způsobeny Eulerem [35] . Mimořádně důležitým objevem ( Galois ) byl důkaz toho, že ne všechna algebraická čísla (kořeny polynomů) lze získat z přirozených čísel pomocí čtyř operací aritmetiky a extrakce odmocnin [36] .

Etymologie termínu a původ symbolismu

Termín kořen má dlouhou a komplikovanou historii. Staří Řekové chápali extrakci odmocniny přísně geometricky: jako nalezení strany čtverce podle známé plochy. Poté, co byl přeložen do sanskrtu , řecké slovo pro „stranu“ se stalo „ mula “ (základ). Slovo „ mula “ mělo také význam „kořen“, takže při překladu indických siddhantas do arabštiny byl použit výraz „ jizr “ (kořen rostliny). Následně bylo slovo „ radix “ s podobným významem zafixováno v latinských překladech z arabštiny a jejich prostřednictvím v ruské matematické terminologii („kořen“, „radikální“) [37] .

Středověcí matematici (například Cardano ) označovali druhou odmocninu [38] symbolem R x , což je zkratka pro slovo „radix“. Moderní notaci poprvé použil německý matematik Christoph Rudolf ze školy cosistů (tj. algebraistů) v roce 1525 [39] . Tento symbol pochází ze stylizovaného prvního písmene stejného slova „ radix “. Linka nad radikálním výrazem zpočátku chyběla; později jej zavedl Descartes (1637) za jiným účelem (místo závorek) a tento rys brzy splynul se znamením kořene.

Exponent se objevil v kořenovém znaku díky Wallisově a Newtonově „ univerzální aritmetice “ (XVIII. století) [40] .

Viz také

Literatura

Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky . - ed. 25. - M .: Nauka, 1978. - ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Dějiny matematiky, ve třech svazcích / Edited by A. P. Yushkevich . - M .: Nauka, 1970-1972.
Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro výzkumníky a inženýry) . - 2. vyd. — M .: Nauka, 1970. — 720 s.
Mordkovich A. G. Algebra a počátky analýzy. Učebnice pro ročníky 10-11, díl 1. - ed. 4. — M .: Mnemozina, 2003. — 376 s.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné. — M .: Nauka, 1967. — 304 s.
Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. - ed. 6. — M .: Nauka, 1966. — 680 s.

Poznámky

↑ Kořen // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3.
↑ 1 2 Elementární matematika, 1976 , s. 49.
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1970 , s. 33.
↑ Skanavi M. I. Elementární matematika. P. 1.11. S. 49.
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky, 1978 , str. 64.
↑ Aritmetický kořen // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M .: Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 1.
↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, 1966 , T. I, S. 35-36.
↑ Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 141-143.
↑ Algebra a začátek analýzy. Učebnice pro ročníky 10-11, ed. A. N. Kolmogorová. M.: Osvěta, 2002, S. 209.
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky, 1978 , str. 183.
↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, 1966 , T. I, S. 194, 198.
↑ Mordkovich A. G., 2003 , s. 236-238.
↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, 1966 , T. I, S. 215.
↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, 1966 , T. I, S. 233, speciální případ pro . $\mu ={\frac {1}{n}}.$
↑ Nezaměňovat s vícenásobnými integrály . Jejich zápisy jsou velmi podobné, ale -tý integrál je neurčitý , zatímco -násobný integrál je určitý . $k$ $k$
↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, 1966 , svazek I, s. 67, 131-132, 164, 166-167.
↑ Algebra. 9. třída Učebnice pro vzdělávací instituce / Ed. S. A. Teljakovskij. - Ed. 18. - M . : Vzdělávání, 2011. - S. 53. - ISBN 978-5-09-025168-6 .
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1970 , s. 36-37.
↑ Zaitsev V.V., Ryzhkov V.V., Skanavi M.I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - třetí vydání, stereotypní. - M. : Nauka, 1976. - S. 68. - 591 s.
↑ 1 2 3 Sveshnikov A. G., Tichonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné, 1967 , str. 96-99, 28-29.
↑ Boltyansky V. G. , Efremovich V. A. Vizuální topologie . - M. : Nauka, 1982. - S. 112. - (Kvantová knihovna, číslo 21).
↑ Vinogradov I. M. Základy teorie čísel . - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 71. - 180 s.
↑ Porteous, Ian R. Clifford Algebry a klasické skupiny. Cambridge, 1995, strana 60.
↑ Viz například: Gantmakher F. R. Theory of Matrices. Moskva: GITTL, 1953, s. 212-219, nebo: V. Voevodin, V. Voevodin. Encyklopedie lineární algebry. Elektronický systém LINEAL. SPb.: BHV-Petersburg, 2006.
↑ Viz např.: Ershov L. V., Raikhmist R. B. Konstrukce grafů funkcí. M .: Vzdělávání, 1984, nebo: Kaplan I. A. Praktické hodiny vyšší matematiky. Charkov: Nakladatelství KhSU, 1966.
↑ Viz například: Hutson W., Pim J. Aplikace funkcionální analýzy a teorie operátorů. M.: Mir, 1983, nebo: Halmosh P. Hilbert prostor v problémech. M.: Mir, 1970.
↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , I. díl, s. 42-46.
↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , svazek I, S. 47.
↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , I. díl, s. 169-171.
↑ Bashmakova I. G. Formování algebry (z dějin matematických představ). - M . : Poznání, 1979. - S. 23. - (Novinka v životě, vědě, technice. Matematika, kybernetika, č. 9).
↑ Abhishek Parakh. Ariabhatovy metody extrakce kořenů // Indian Journal of History of Science. - 2007. - Vydání. 42,2 . - S. 149-161 . Archivováno z originálu 9. června 2010.
↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , svazek I, s. 275-276.
↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , svazek I, s. 296-298.
↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , svazek III, s. 56-59.
↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , svazek III, S. 62.
↑ Kolmogorov A. N., Juškevič A. P. (ed.). Matematika 19. století. Matematická logika, algebra, teorie čísel, teorie pravděpodobnosti. - M. : Nauka, 1978. - T. I. - S. 58-66.
↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , svazek I, s. 185.
↑ Nikiforovsky V. A. Z dějin algebry XVI-XVII století. - M. : Nauka, 1979. - S. 81. - 208 s. — (Dějiny vědy a techniky).
↑ Matematické znaky // Matematická encyklopedie . - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 2.
↑ Alexandrova N. V. Historie matematických termínů, pojmy, notace: Slovník-příručka, ed. 3 . - Petrohrad. : LKI, 2008. - S. 82 . — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .