Logaritmické identity

Tento článek obsahuje souhrn různých algebraických a analytických identit souvisejících s logaritmy . Tyto identity jsou zvláště užitečné při řešení algebraických a diferenciálních rovnic obsahujících logaritmy.

Dále se předpokládá, že všechny proměnné jsou reálné , základy logaritmických a logaritmických výrazů jsou kladné a základ logaritmu se nerovná 1. Pro zobecnění na komplexní čísla viz článek Komplexní logaritmus .

Algebraické identity

Z definice logaritmu vyplývá základní logaritmická identita [1] :

a^{\log _{a}b}=b

Několik dalších rovnosti, zřejmé z definice logaritmu:

\log _{a}1=0

\log _{a}a=1

\log _{a}a^{b}=b

Logaritmus podílového součinu, stupně a odmocniny

Přehled identit [2] :

	Vzorec	Příklad	Důkaz
Práce	$\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3= 5$
Podíl dělení	$\log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
Stupeň	$\log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$	Důkaz $\log _{a}{x^{p}}=y$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p))$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac {y}{p}}$ $p\cdot log_{a}{x}=y$
Titul na základně	$\log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p))\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}( x)}{p}}$	$\log _{2^{10}}{\sin {({\frac {\pi }{6}})))={\frac {\log _{2}{\frac {1}{ 2}}}{10}}=-{\frac {1}{10}}=-0,1$	Důkaz $\log _{a^{p}}{x}=y$ $a^{y\cdot p}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac {log_{a}{x}}{p}}=y$
Vykořenit	$\log _{a}{\sqrt[{p}]{(x)}}={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1,5$	Důkaz $\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}=y$ $a^{y}={\sqrt[{p}]{x))$ $a^{p\cdot y}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac {log_{a}{x}}{p}}=y$
Kořen na základně	$\log _{\sqrt[{p}]{a}}(x)=p\log _{a}(x)$	$\log _{\sqrt {\pi }}{(4\cdot \arctan {1})}=2\cdot \log _{\pi }{(4\cdot {\frac {\pi }{ 4)))}=2\cdot \log _{\pi }{(\pi )}=2$	Důkaz $\log _{\sqrt[{p}]{a}}{x}=y$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p))$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac {y}{p}}$ $p\cdot log_{a}{x}=y$

Je zřejmé zobecnění výše uvedených vzorců na případ, kdy jsou povoleny záporné hodnoty proměnných, například:

\log _{a}|xy|=\log _{a}|x|+\log _{a}|y|

\log _{a}\!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\log _{a}|x|-\log _{a}|y|

Vzorce pro logaritmus součinu lze snadno zobecnit na libovolný počet faktorů:

\log _{a}(x_{1}x_{2}\tečky x_{n})=\log _{a}(x_{1})+\log _{a}(x_{2})+\ tečky +\log _{a}(x_{n})

\log _{a}|x_{1}x_{2}\tečky x_{n}|=\log _{a}|x_{1}|+\log _{a}|x_{2}|+\ tečky +\log _{a}|x_{n}|

Logaritmus součtu a rozdílu

Ačkoli logaritmus součtu (nebo rozdílu) není vyjádřen pomocí logaritmů členů, mohou být užitečné následující vzorce.

\log _{a}(b+c)=\log _{a}b+\log _{a}\left(1+{\frac {c}{b))\right)

\log _{a}(bc)=\log _{a}b+\log _{a}\left(1-{\frac {c}{b))\right),\quad

tady

b>c

zobecnění:

\log _{a}\sum \limits _{k=1}^{N}b_{k}=\log _{a}b_{1}+\log _{a}\left(1+ \sum \limits _{k=2}^{N}{\frac {b_{k}}{b_{1}}}\right)=\log _{a}b_{1}+\log _{a }\left(1+\sum \limits _{k=2}^{N}a^{\left(\log _{a}b_{k}-\log _{a}b_{1}\right) }\že jo)

Nahrazení základny logaritmu

Logaritmus na základ lze převést [3] na logaritmus na jiný základ : $\log _{a}b$ $A$ $C$

\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a))

Důsledek (when ) je permutací základu a logaritmického výrazu: $b=c$

\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}

Jiné identity

Pokud výrazy pro základ logaritmu a pro logaritmický výraz obsahují umocnění, lze pro jednoduchost použít následující identitu:

{\log _{a^{q}}{b}}^{p}={\frac {p}{q}}\log _{a}{b}

Tato identita je okamžitě získána, pokud je v logaritmu nalevo báze nahrazena podle výše uvedeného vzorce pro změnu báze. Důsledky: $a^{q}$ $A$

\log _{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log _{a}b;\quad \log _{\sqrt[{n}]{a}}b=n \log _{a}b;\quad \log _{a^{k}}b^{k}=\log _{a}b

Další užitečná identita:

c^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}c}

Abychom to dokázali, všimneme si, že logaritmy levé a pravé strany se shodují v základu (rovné ) a pak jsou levá a pravá strana identicky stejné. Vezmeme-li logaritmus předchozí identity v libovolném základu , získáme další identitu „základní výměny“: $A$ $\log _{a}b\cdot \log _{a}c$ $d,$

\log _{a}b\cdot \log _{d}c=\log _{d}b\cdot \log _{a}c

Tuto identitu lze snadno rozšířit na libovolný počet faktorů, například:

\log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z\cdot \log _{d}w=\log _{b}x\cdot \log _ {d}y\cdot \log _{c}z\cdot \log _{a}w

Jinými slovy, v produktu tohoto druhu lze provést libovolnou permutaci základen logaritmů.

x^{\frac {\log _{a}b}{\log _{a}x}}=b

Tuto identitu lze také snadno prokázat logaritmem obou stran k základně $X.$

\log _{xy}a={\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}a}}+{\frac {1}{\log _{y}a} }}}

Abychom tuto identitu prokázali, musíme výše uvedené permutační pravidlo použít dvakrát:

{\frac {1}{\log _{x}a}}=\log _{a}x;\quad {\frac {1}{\log _{y}a}}=\log _ {a}y;\quad {\frac {1}{\log _{a}(xy)))=\log _{xy}a

Analytické identity

Limitní poměry

Zde jsou některé užitečné limity související s logaritmy [4] :

\lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e={\frac {1}{\ln a}}

\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0\quad (b>0)

\lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{b))}=0\quad (b>0)

\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left( 1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)

\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}

Derivace a integrál

Derivace pro logaritmickou funkci se vypočítá podle vzorce:

{d \over dx}\ln x={1 \over x},

{\displaystyle {d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x))

Definice logaritmu přes určitý integrál :

\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt

Primitivní funkce pro logaritmus:

\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C

\int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C

Abychom dali vzorce pro integrály vyššího řádu, označíme řád harmonického čísla e : $H_{n}\ n-$

H_{n}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\tečky +{\frac {1} {n}}

Dále označujeme:

x^{\left[0\right]}=\ln x

x^{\left[n\right]}=x^{n}(\ln x-H_{n});\quad

( )

n=1,2,3\tečky

Dostaneme posloupnost funkcí:

x^{\left[1\right]}=x\ln xx

x^{\left[2\right]}=x^{2}\ln x-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^ {2}

x^{\left[3\right]}=x^{3}\ln x-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^ {3}

atd. Pak platí identity:

{\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]};\quad

( )

n=1,2,3\tečky

\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C;\quad

( )

n=0,1,2,3\tečky

Poznámky

↑ Algebra a začátek analýzy. Učebnice pro ročníky 10-11. 12. vydání, Moskva: Osvícení, 2002. Pp. 233.
↑ Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 187.
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 34.
↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, 1966 , svazek I, s. 164.

Literatura

Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky . — M .: Nauka, 1978.
- Reedice: AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro výzkumníky a inženýry) . - M .: Nauka, 1973. - 720 s.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné. — M .: Nauka, 1967. — 304 s.
Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. - ed. 6. — M .: Nauka, 1966. — 680 s.
Shakhmeister A. Kh. Logaritmy. Příručka pro školáky, účastníky a učitele. - ed. 5. - Petrohrad. : MTSNMO, 2016. - 288 s. - ISBN 978-5-4439-0648-5 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Logarithm (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .