Harmonické číslo

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. prosince 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

V matematice je n-té harmonické číslo součtem převrácených hodnot prvních n po sobě jdoucích čísel přirozené řady :

Harmonická čísla jsou částečné součty harmonické řady .

Studium harmonických čísel začalo ve starověku. Oni jsou důležití v různých polích teorie čísel a teorie algoritmu, a zvláště být blízko příbuzný Riemann zeta funkce .

Alternativní definice

Další zobrazení

K výpočtu harmonických čísel (včetně bodů jiných, než jsou body přirozené řady) lze použít následující vzorce:

Generující funkce

Vlastnosti

Hodnoty z neceločíselného argumentu

kde  je zlatý řez .

Součty související s harmonickými čísly

Identity související s harmonickými čísly

Přibližný výpočet

Pomocí Euler-Maclaurinova součtového vzorce získáme následující vzorec:

kde ,  je Eulerova konstanta , kterou lze z jiných úvah vypočítat rychleji[ co? ] a  jsou Bernoulliho čísla .

Číselné teoretické vlastnosti

Některé významy harmonických čísel

Čitatel a jmenovatel neredukovatelného zlomku , což je n-té harmonické číslo, jsou n- tými členy celočíselných posloupností A001008 a A002805 .

Aplikace

V roce 2002 Lagarias dokázal [1] , že Riemannova hypotéza o nulách Riemannovy zeta funkce je ekvivalentní tvrzení, že nerovnost

platí pro všechna celá čísla s přísnou nerovností pro , kde  je součet dělitelů .

Viz také

Poznámky

  1. Jeffrey Lagarias. Elementární problém ekvivalentní Riemannově hypotéze  // Amer. Matematika. Měsíční. - 2002. - č. 109 . - S. 534-543 .