V matematice je n-té harmonické číslo součtem převrácených hodnot prvních n po sobě jdoucích čísel přirozené řady :
Harmonická čísla jsou částečné součty harmonické řady .
Studium harmonických čísel začalo ve starověku. Oni jsou důležití v různých polích teorie čísel a teorie algoritmu, a zvláště být blízko příbuzný Riemann zeta funkce .
K výpočtu harmonických čísel (včetně bodů jiných, než jsou body přirozené řady) lze použít následující vzorce:
Pomocí Euler-Maclaurinova součtového vzorce získáme následující vzorec:
kde , je Eulerova konstanta , kterou lze z jiných úvah vypočítat rychleji[ co? ] a jsou Bernoulliho čísla .
Čitatel a jmenovatel neredukovatelného zlomku , což je n-té harmonické číslo, jsou n- tými členy celočíselných posloupností A001008 a A002805 .
V roce 2002 Lagarias dokázal [1] , že Riemannova hypotéza o nulách Riemannovy zeta funkce je ekvivalentní tvrzení, že nerovnost
platí pro všechna celá čísla s přísnou nerovností pro , kde je součet dělitelů .