Funkce Digamma

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. prosince 2015; kontroly vyžadují 4 úpravy .

V matematice je funkce digamma definována jako logaritmická derivace funkce gama : ${\textstyle {\psi (x)))$

\psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x))).

Je to polygama funkce prvního řádu a derivací se z ní získávají funkce polygama vyššího řádu ( trigama funkce atd.).

Vlastnosti

Funkce digamma souvisí s harmonickými čísly vztahem $\displaystyle {\psi (n)=H_{{n-1}}-\gamma},$

kde je n-té harmonické číslo a je Euler-Mascheroniho konstanta .

{\textstyle {H_{n))}

{\textstyle {\gamma ))

Doplněk vzorce ${\displaystyle \displaystyle {\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \operatorname {ctg} (\pi x)))$
Opakující se vztah $\psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}$
Rozklad na nekonečný součet $\psi (x)=\ln x-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{ x^{2n}}}$

kde je Riemannova funkce zeta .

\zeta (x)

Logaritmická expanze $\psi (x)=\součet _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\součet _{{k=0}}^{n}(-1 )^{k}{\binom {n}{k}}\ln(x+k)$
Gaussova věta ${\frac {\Gamma '(p/q)}{\Gamma (p/q)))=-\gamma -\ln(2q)-{\frac {\pi }{2))\název operátora {ctg} \left({\frac {\pi p}{q}}\right)+2\sum _{0<n<q/2}\cos \left({\frac {2\pi pn}{ q}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{q}}\right)$

pro celá čísla s podmínkou .

p,q

0<p<q

Pro všechny platí rozšíření v řadě: $z\neq -1,-2,-3,\ldots$ $\psi (z+1)=-\gamma +\součet _{{n=1}}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z))).$

Odkazy

Weisstein, Eric W. Digamma Function (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
Vlastnosti funkce digamma