Bernoulliho čísla

Čitatele a jmenovatele zlomku Bernoulliho čísel tvoří sekvenci A027641 v OEIS , respektive sekvenci A027642 v OEIS ;

B_{0}=1

B_{1}=-{\frac {1}{2))

B_{2}={\frac {1}{6}}

B_{3}=0

B_{4}=-{\frac {1}{30))

B_{5}=0

B_{6}={\frac {1}{42}}

B_{7}=0

B_{8}=-{\frac {1}{30))

B_{9}=0

B_{10}={\frac {5}{66}}

B_{11}=0

B_{12}=-{\frac {691}{2730}}

B_{13}=0

B_{14}={\frac {7}{6}}

B_{15}=0

B_{16}=-{\frac {3617}{510}}

B_{17}=0

B_{18}={\frac {43867}{798}}

B_{19}=0

B_{20}=-{\frac {174611}{330}}

B_{22}={\frac {854513}{138}}

B_{24}=-{\frac {236364091}{2730}}

B_{26}={\frac {8553103}{6}}

B_{28}=-{\frac {23749461029}{870}}

B_{30}={\frac {8615841276005}{14322}}

B_{32}=-{\frac {7709321041217}{510}}

B_{34}={\frac {2577687858367}{6}}

B_{36}=-{\frac {26315271553053477373}{1919190}}

B_{38}={\frac {2929993913841559}{6))

B_{40}=-{\frac {261082718496449122051}{13530}}

B_{42}={\frac {1520097643918070802691}{1806}}

B_{44}=-{\frac {27833269579301024235023}{690}}

B_{46}={\frac {596451111593912163277961}{282}}

B_{48}=-{\frac {5609403368997817686249127547}{46410}}

B_{50}={\frac {495057205241079648212477525}{66}}

Bernoulliho čísla jsou posloupností racionálních čísel , kterou poprvé zvažoval Jacob Bernoulli v souvislosti s výpočtem součtu po sobě jdoucích přirozených čísel umocněných na stejnou mocninu : $B_{0},B_{1},B_{2},\tečky$

\sum _{n=0}^{N-1}n^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{s=0}^{k}{\binom {k+1}{s}}B_{s}N^{k+1-s},

kde je binomický koeficient . ${\tbinom {k+1}{s}}={\tfrac {(k+1)!}{s!\cdot (k+1-s)!)}}$

Někteří autoři uvádějí jiné definice, ale většina moderních učebnic uvádí stejnou definici jako zde. Ve stejnou dobu . Někteří autoři (například Fichtenholtzova třísvazková kniha ) používají definici, která se od této liší pouze znakem . Vzhledem k tomu, že všechna Bernoulliho čísla s lichými čísly jsou 0 kromě , někteří autoři používají označení „ “ pro nebo . $B_{1}=-{\tfrac {1}{2}}$ $B_{k}$ $B_1$ $B_{n}$ $B_{2n}$ $|B_{2n}|$

Opakovaný vzorec

Pro Bernoulliho čísla existuje následující rekurzivní vzorec :

B_{0}=1,

B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k+1}}B_{nk },\quad n\in \mathbb {N} .

Vlastnosti

Všechna lichá Bernoulliho čísla, kromě , se rovnají nule a znaménka sudých Bernoulliho čísel se střídají. $B_1$
Bernoulliho čísla jsou hodnoty Bernoulliho polynomů pro : $B_{n}(x)$ $x=0$

B_{n}=B_{n}(0).

Bernoulliho čísla jsou často zahrnuta v koeficientech expanzí mocninných řad elementárních funkcí . Například:
- Exponenciální generující funkce pro Bernoulliho čísla: ${\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!)}}x^ { n},|x|<2\pi ,$ $x\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n) !}}x^{2n},|x|<\pi ,$ $\operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{( 2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2.$
Euler vytvořil spojení mezi Bernoulliho čísly a hodnotami Riemannovy zeta funkce ζ( s ) pro sudé s = 2 k : $B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\,(2k)!}{(2\pi )^{2k))}.$

Stejně jako

B_{n}=-n\zeta (1-n)

pro všechna přirozená čísla n > 1.

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}\,dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1 }{4n}}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\tečky .$
Pořadí růstu Bernoulliho čísel je dáno následujícím asymptotickým vzorcem: ${\displaystyle |B_{n}|\sim {\frac {2\cdot n!}{(2\pi )^{n))))$ se sudým . Z výše napsaného vzorce vyplývá, že tato asymptotika je ekvivalentní rovnosti: . $n\to\infty$ $\lim \limits _{k\to \infty }{\zeta (2k)}=1\;{\text{by}}\;k\in \mathbb {Z}$

Literatura

Bernoulliho čísla // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
Abramovič V. Bernoulli čísla // Kvant . - 1974. - č. 6 . - S. 10-14 .

Odkazy

Bernoulliho generátor čísel