Druhá odmocnina matice

Druhá odmocnina matice je rozšířením konceptu numerické odmocniny na kruh čtvercových matic .

Definice

Matice se nazývá druhá odmocnina matice , pokud je čtverec, tj. součin matice , stejný jako matice $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ ${\mathbf {B}),$ $\mathbf {BB} ,$ $\mathbf {A} .$

Existence a jedinečnost

Ne všechny matice mají druhou odmocninu. Například matice nemá kořen . Tato matice je také nulovým dělitelem a druhou odmocninou nuly. V maticovém kruhu má tedy nula nekonečně mnoho odmocnin. $\left({\begin{smallmatrix}0&a\\0&0\end{smallmatrix}}\right),a\neq 0$

V případech, kdy kořen existuje, není vždy jednoznačně určen. Například matice má čtyři kořeny: a . $\left( \begin{smallmatrix}33&24\\ 48&57\end{smallmatrix} \right)$ $\pm \left({\begin{smallmatrix}1&4\\8&5\end{smallmatrix}}\right)$ $\pm \left({\begin{smallmatrix}5&2\\4&7\end{smallmatrix}}\right)$

Matice identity má následujících 6 kořenů mezi maticemi skládajícími se z , a : $\bigl( \begin{smallmatrix}1&0\\ 0&1\end{smallmatrix} \bigr)$ $0$ $-jeden$ $+1$

\left({\begin{matrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{matrix}}\right),\quad \left({\begin{matrix}\pm 1&0\\0&\mp 1\end{matice}}\right),\quad \left({\begin{matrix}0&\pm 1\\\pm 1&0\end{matrix}}\right);

stejně jako nekonečně mnoho symetrických racionálních odmocnin tvaru:

{\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}s&r\\r&-s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}} \left({\begin{matrix}s&-r\\-r&-s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}- s&r\\r&s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}-s&-r\\-r&s\end{matrix}}\ že jo),

kde je libovolná pythagorejská trojice , tedy trojice přirozených čísel pro která . $(r,s,t)$ $r^2+s^2=t^2$

Složitost extrakce kořene z matice je způsobena skutečností, že maticový kruh je nekomutativní a má nulové dělitele, to znamená, že se nejedná o doménu integrity . V oblasti integrity, například v kruhu polynomů nad polem , má každý prvek nejvýše dvě odmocniny.

Pozitivně určité matice

Kladně definitní matice má vždy právě jednu kladnou definitní odmocninu, která se nazývá aritmetická odmocnina [1] .

Celkově vzato má matice kladně určitého řádu s různými vlastními hodnotami kořeny. Rozšířením takové matice pomocí vlastních vektorů získáme její reprezentaci ve tvaru , kde je diagonální matice s vlastními čísly . Potom mají odmocniny matice tvar kde je diagonální matice se vstupy na diagonále. $A$ $n$ $2^{n}$ $\mathbf {A} =\mathbf {VDV^{-1}} ,$ $\mathbf {D}$ $\lambda _{i}>0$ $A$ $\mathbf{VD^\frac12V^{-1}},$ $\mathbf {D^{\frac {1}{2))}$ $\pm\sqrt{\lambda_i}$

Literatura

Gantmakher F. R. Teorie matic. Moskva: GITTL, 1953, s. 212-219.
Voevodin VV, Voevodin Vl. B. Encyklopedie lineární algebry. Elektronický systém LINEAL. SPb.: BHV-Petersburg, 2006.

Poznámky

↑ Valentin Vasilievič Voevodin, Jurij Alekseevič Kuzněcov. Matice a výpočetní technika . — „Věda“, kapitola. vyd. Fyzikální a matematická literatura, 1984. - S. 88-89. — 330 s.