Pole (algebra)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. července 2022; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Pole v obecné algebře je množina , pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání , nabývání opačné hodnoty , násobení a dělení (kromě dělení nulou ), přičemž vlastnosti těchto operací se blíží vlastnostem běžných numerických operací . Nejjednodušším tělesem je těleso racionálních čísel (zlomků). Prvky pole nemusí být nutně čísla, takže i když jsou názvy operací polí převzaty z aritmetiky , definice operací mohou být daleko od aritmetiky.

Obor je hlavním předmětem studia teorie pole . Racionální , reálná , komplexní čísla, racionální funkce [1] a rezidua modulo daného prvočísla tvoří pole .

Historie

V rámci konceptu pole Galois v roce 1830 implicitně pracoval , pomocí myšlenky algebraického rozšíření pole se mu podařilo najít nezbytnou a postačující podmínku pro řešení rovnice v jedné proměnné v roce radikálové . Později, s pomocí Galoisovy teorie , byla prokázána nemožnost řešení takových klasických problémů, jako je kvadratura kruhu , trisekce úhlu a zdvojnásobení krychle .

Explicitní definice pojmu pole je připisována Dedekindovi (1871), který použil německý termín Körper (tělo). Termín „field“ ( anglicky field ) zavedl v roce 1893 americký matematik Eliakim Hastings Moore [2] .

Pole se ze všech obecných algebraických abstrakcí nejvíce blíží běžným číslům a používá se v lineární algebře jako struktura, která univerzalizuje pojem skalární , a hlavní struktura lineární algebry, lineární prostor , je definována jako konstrukce nad libovolným pole. Teorie pole také z velké části tvoří instrumentální základ takových sekcí, jako je algebraická geometrie a algebraická teorie čísel .

Formální definice

Formálně je pole algebra nad množinou , která tvoří komutativní grupu sčítáním s neutrálním prvkem a komutativní grupu násobením nad nenulovými prvky , s distributivní vlastností násobení s ohledem na sčítání. $F$ $+$ $F$ ${\boldsymbol {0}}$ $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$

Pokud definici rozšíříme, pak množina s algebraickými operacemi sčítání a násobení , které jsou na ní zavedeny ( , tedy ), se nazývá pole , pokud platí následující axiomy: $F$ $+$ $*$ $+\dvojtečka F\krát F\až F,\čtyřtečka *\dvojtečka F\krát F\to F$ $\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F$ $\left\langle F,+,*\right\rangle$

Komutativnost sčítání: . $\forall a,b\in F\quad a+b=b+a$
Sčítací asociativita: . $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)$
Existence nulového prvku: . $\exists {\boldsymbol {0}}\in F\colon \forall a\in F\quad a+{\boldsymbol {0}}=a$
Existence opačného prvku: . $\forall a\in F\;\existuje (-a)\in F\colon a+(-a)={\tučný symbol {0))$
Komutativnost násobení: . $\forall a,b\in F\quad a*b=b*a$
Asociativita násobení: . $\forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)$
Existence jediného prvku: . $\exists e\in F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}\dvojtečka \forall a\in F\quad a*e=a$
Existence inverzního prvku pro nenulové prvky: . $(\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0)))\;\existuje a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e$
Distributivita násobení vzhledem ke sčítání: . $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)$

Axiómy 1-4 odpovídají definici komutativní skupiny sčítáním přes ; axiomy 5-8 odpovídají definici komutativní grupy násobením nad ; axiom 9 spojuje operace sčítání a násobení distributivním zákonem. $+$ $F$ $*$ $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$

Axiomy 1-7 a 9 jsou definicí komutativního kruhu s identitou.

Všechny výše uvedené axiomy, s výjimkou komutativnosti násobení, také odpovídají definici tělesa .

V souvislosti s dalšími strukturami (historicky vzniklými později) lze pole definovat jako komutativní prstenec , který je divizním prstencem . Hierarchie struktury je následující:

Komutativní okruhy ⊃ Oblasti integrity ⊃ Faktorové kruhy ⊃ Hlavní ideální oblasti ⊃ Eukleidovské kruhy ⊃ Pole.

Související definice

Přes pole jsou základní obecné algebraické definice zavedeny přirozeným způsobem: podpole je podmnožina, která je sama polem s ohledem na omezení operací z hlavního pole na něj, a rozšíření je pole, které obsahuje dané jako podpole.

Homomorfismus pole je také zaveden přirozeným způsobem: jako zobrazení takové, že , a . Konkrétně žádný invertibilní prvek pod homomorfismem nemůže jít na nulu, protože jádro jakéhokoli homomorfismu pole je nulové, to znamená, že homomorfismus pole je vložení . $F$ $f(a+b)=f(a)+f(b)$ $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ $f(1)=1$ $f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1$

Charakteristika pole je stejná jako charakteristika kruhu : nejmenší kladné celé číslo , takže součet kopií jedné je nula: $n$ $n$

\underbrace {1+\tečky +1} _{n}=n1=0.

Pokud takové číslo neexistuje, pak se charakteristika považuje za rovnou nule. Problém stanovení charakteristiky se obvykle řeší pomocí konceptu jednoduchého pole - pole, které neobsahuje vlastní podpole, a to z toho důvodu, že libovolné pole obsahuje právě jedno z jednoduchých polí.

Galoisova pole jsou pole skládající se z konečného počtu prvků. Pojmenován po svém prvním průzkumníkovi Évariste Galoisovi .

Vlastnosti

Charakteristikou pole je vždy nebo prvočíslo . $0$
- Pole charakteristiky obsahuje podpole
izomorfní k oboru racionálních čísel . $0$ $\mathbb {Q}$
Pole jednoduché charakteristiky obsahuje podpole izomorfní k poli zbytků . $p$ $\mathbb {Z} _{p}$

Počet prvků v konečném poli je vždy roven mocnině prvočísla.

p^{n}

Navíc pro libovolné číslo tvaru existuje jedinečné (až do izomorfismu ) pole prvků, obvykle označované . $p^{n}$ $p^{n}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

V poli nejsou žádné nulové dělitele .

Nějaká konečná podskupina multiplikativní polní skupiny je cyklická . Zejména multiplikativní skupina nenulových prvků konečného pole je izomorfní k .

\mathbb {F} _{q}

\mathbb {Z} _{q-1}

Z hlediska algebraické geometrie jsou pole body, protože jejich spektrum se skládá právě z jednoho bodu – ideálního {0}. Pole totiž jiné vlastní ideály neobsahuje : pokud k ideálu patří nenulový prvek, pak všechny jeho násobky, tedy celé pole, jsou v ideálu. Naopak komutativní kruh , který není polem, obsahuje neinvertibilní (a nenulový) prvek a . Pak se hlavní ideál generovaný a neshoduje s celým prstencem a je obsažen v nějakém maximálním (a tedy jednoduchém ) ideálu; a proto spektrum tohoto kruhu obsahuje alespoň dva body.

Příklady polí

Pole charakteristiky rovna 0

$\mathbb {Q}$ jsou racionální čísla ,
$\mathbb {R}$ jsou reálná čísla ,
$\mathbb {C}$ jsou komplexní čísla ,
$\mathbb {A}$ jsou algebraická čísla nad oborem racionálních čísel (podpole v oboru ). $\mathbb {C}$
Čísla tvaru , , vzhledem k obvyklým operacím sčítání a násobení. Toto je jeden příklad kvadratického pole , které tvoří podpole v . $a+b{\sqrt {2}}$ $a,b\in \mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
$\mathbb {F} (x)$ je pole racionálních funkcí tvaru , kde a jsou polynomy nad nějakým polem charakteristiky 0 (v tomto případě , , , a nemají žádné společné dělitele, kromě konstant). $f(x)/g(x)$ $F$ $G$ $\mathbb {F}$ $g\neq 0$ $F$ $G$

Pole s nenulovou charakteristikou

Jakékoli konečné pole má jinou charakteristiku než nulu. Závěrečné terénní příklady:

$\mathbb {Z} _{p}$ je pole zbytků modulo , kde je prvočíslo. $p$ $p$
$\mathbb {F} _{q}$ je konečný obor prvků , kde je prvočíslo, je přirozené číslo. Všechna konečná pole mají tento tvar. $q=p^{k}$ $p$ $k$

Existují příklady nekonečných polí s nenulovou charakteristikou.

Viz také

Algebraicky uzavřené pole

Poznámky

↑ Lev Dmitrijevič Kudrjavcev. Kurz matematické analýzy. Hlasitost 1
↑ Nejstarší známá použití některých slov matematiky (F) . Získáno 28. září 2019. Archivováno z originálu 24. ledna 2021. (neurčitý)

Literatura

Bourbaki N. Algebra. Část 2. Polynomy a tělesa. Objednané skupiny. — M .: Nauka, 1965.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1968. — 564 s.
P. Aluffi. Kapitola VII // Algebra: Kapitola 0. - Americká matematická společnost, 2009 . - (graduální studium matematiky). — ISBN 0-8218-4781-3 .
Galois, Evariste. Sur la théorie des nombres (neopr.) // Bulletin des Sciences mathématiques. - 1830. - T. XIII . - S. 428 .
L. V. Kuzmin. Field // Mathematical Encyclopedia : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M .: Sovětská encyklopedie, 1977-1985.

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Skvělý norský Velký Rus Britannica (online) Brockhaus