Cílové pole

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. dubna 2022; kontroly vyžadují 5 úprav .

Konečné pole nebo Galoisovo pole v obecné algebře je pole sestávající z konečného počtu prvků ; toto číslo se nazývá pořadí pole.

Konečné pole se obvykle označuje nebo (zkratka pro anglické Galois field ) a nazývá se Galois field of order , kde je počet prvků pole [1] . Až do izomorfismu je konečné pole zcela určeno svým řádem, který je vždy mocninou nějakého prvočísla , tedy kde je prvočíslo a je libovolné přirozené číslo . V tomto případě se bude jednat o charakteristiku tohoto oboru [2] . $\mathbb {F} _{q}$ $\mathrm {GF} (q)$ $q$ $q$ $q=p^{n}$ $p$ $n$ $p$

Pojem konečného tělesa se používá v teorii čísel [3] , teorii grup [3] , algebraické geometrii [3] , kryptografii [4] .

Definice a vlastnosti

Konečné těleso je konečná množina , na které jsou definovány libovolné operace, nazývané sčítání , násobení , odčítání a dělení (kromě dělení 0) v souladu s axiomy pole [5] .

Multiplikativní grupa konečného pole je cyklická . To znamená, že všechny nenulové prvky pole tvoří grupu s ohledem na operaci násobení (tato grupa se nazývá multiplikativní grupa pole a značí se ). Tato skupina je cyklická , to znamená, že má generující prvek , a všechny ostatní prvky získáme zvýšením výkonu generátoru [5] . To znamená, že existuje generující prvek takový, že pro any , můžeme napsat: $\mathbb {F} _{q}$ $\mathbb {F} _{q}^{*}$ $G$ $a\in \mathbb {F} _{q}^{*}$

$\exists n:g^{n}=a\mod q$ .

Generujícímu prvku se také říká primitivní prvek pole Pole obsahuje primitivní prvky, kde je Eulerova funkce . [6] $\mathbb {F} _{q}^{*}$ $\mathbb {F} _{q}.$ $\mathbb {F} _{q}$ $\varphi (q-1)$ $\varphi$

Pole má také řadu dalších vlastností:

Podle Fermatovy malé věty splňuje každý prvek pole rovnost [2] . $\mathbb {F} _{q}$ $a^{q}=a$
Pole obsahuje jako podpole právě tehdy, když je dělitel [1] . $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {F} _{p^{k}}$ $k$ $n$
Jestliže je ireducibilní polynom stupně , pak pole obsahuje některý z jeho kořenů a množina všech jeho kořenů má tvar . Je tedy expanzní pole polynomu nad polem [7] . $f\in \mathbb {F} _{q}[x]$ $m$ $\mathbb {F} _{q^{m}}$ $\alpha$ $\{\alpha ,\alpha ^{q},\ldots ,\alpha ^{q^{m-1}}\}$ $\mathbb {F} _{q^{m}}$ $F$ $\mathbb {F} _{q}$
Pro každé konečné těleso a přirozené číslo je součin všech normalizovaných ireducibilních nad polynomy, jejichž stupeň dělí , konkrétně součet stupňů takových polynomů [8] . $\mathbb {F} _{q}$ $n$ $\mathbb {F} _{q}$ $n$ $x^{q^{n}}-x.$ $q^{n}$
Počet normalizovaných polynomů stupně n , které jsou neredukovatelné přes pole, je určen vzorcem , kde je Möbiova funkce . Toto tvrzení vyplývá ze vzorce po aplikaci Möbiova inverzního vzorce [9] . $N(q,n)$ $\mathbb {F} _{q},$ $N(q,n)={\frac {1}{n}}\součet _{d|n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}$ $\mu$ $q^{n}=\součet _{d|n}dN(q,d)$

Pole s prvočíslem prvků

Jakékoli pole prvořadého řádu může být reprezentováno zbytkovým kruhem (tj. jakékoli pole prvků je izomorfní se zbytkovým kruhem ). Nejznámějším příkladem konečného tělesa je těleso tříd zbytků modulo a prvočíslo , označované [10] . Toto pole může být reprezentováno následovně. Pro prvočíslo budou prvky pole čísla . Sčítání a násobení jsou definovány jako sčítání a násobení čísel s modulo redukcí výsledku [11] . Následují příklady takových polí se dvěma prvky a třemi prvky . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {Z} /(p)$ $p$ $\mathbb {Z} /(p)$ $p$ $\{0,1,...,p-1\}$ $p$

Vztah ke zbytkovým kruhům

Konečná pole a zbytkové prstence by se neměly zaměňovat . Pouze když je exponent prvočíslo , je zbytek prstencem pole. [12] $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {Z} /(p^{n})$

Pro n > 1 zbytkový kruh není pole. Příklad. $\mathbb {Z} /(p^{n})$

V poli pro jakýkoli prvek je true .

\mathbb {F} _{8}

x+x=0

V kruhu , počítání , dostaneme 0 pouze ve dvou případech, kdy . Tento prsten má nulové dělitele : .

\mathbb {Z} _{8}

x+x

x=4,x=0

2\cdot 4=0{\pmod {8}}

Charakterizace konečných těles

Charakteristikou každého konečného tělesa je prvočíslo. Nechť je konečné pole. Pak se skládá z prvků, kde je charakteristika pole , a přirozené číslo je míra pole nad jeho jednoduchým podpolem [2] . $F$ $p^{n}$ $p$ $F$ $n$ $F$

Podle teorému o existenci a jedinečnosti konečných těles pro každé prvočíslo a přirozené číslo existuje konečné pole prvků a jakékoli konečné pole prvků je izomorfní s polem rozkladu polynomu nad polem . Tato věta nám umožňuje mluvit o dobře definovaném poli daného řádu (tj. Galoisově poli prvků ) [13] . $p$ $n$ $p^{n}$ $q=p^{n}$ $x^{q}-x$ $\mathbb {F} _{p}$ $q$ $q$

Konstrukce

Pole pro n > 1 může být sestrojeno jako podílový kruh , kde je ireducibilní polynom stupně n nad polem . Ke konstrukci pole z prvků tedy stačí najít polynom stupně , který je nad polem neredukovatelný (takový polynom vždy existuje). Prvky pole jsou zbytkové třídy polynomů nižšího stupně s koeficienty z modulo hlavního ideálu generovaného polynomem . $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {K} =\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $f(x)$ $\mathbb {F} _{p}$ $p^{n}$ $n$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {K}$ $n$ $\mathbb {F} _{p}$ $f(x)$

Prvek je kořenem polynomu a pole je generováno tímto prvkem nad polem , takže přechod z pole do pole se nazývá spojení kořene neredukovatelného polynomu s polem . [14] [15] $\alpha =x+(f(x))\in \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $f(x)$ $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $\mathbb {F} _{p}$ $f(x)$

Příklady

Pole dvou prvků

Pole se skládá ze dvou prvků, ale může být specifikováno různými způsoby v závislosti na volbě prvků a definici operací sčítání a násobení na nich: [16] $\mathbb {F} _{2}$

Jako množina dvou čísel "0" a "1", na kterých jsou operace sčítání a násobení definovány jako sčítání a násobení čísel s výsledkem modulo 2 ( ): ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}=\{0,1\))$

+	0	jeden
0	0	jeden
jeden	jeden	0

×	0	jeden
0	0	0
jeden	0	jeden

S běžnou aritmetikou Tato logika je základem binárního systému počítačů (pole ) (počítače).

0+0=0,\quad 0+1=1+0=1,\quad 1+1=0,\quad 0\cdot 0=0\cdot 1=1\cdot 0=0,\quad 1\cdot 1=1.

\mathbb {F} _{2}

\Šipka doprava

Jako sada dvou logických objektů „FALSE“ (F) a „TRUE“ (T), na kterých jsou operace sčítání a násobení definovány jako booleovské operace „exclusive or“ a „and“, v tomto pořadí:

+	F	T
F	F	T
T	T	F

×	F	T
F	F	F
T	F	T

Tato pole jsou navzájem izomorfní , to znamená, že se ve skutečnosti jedná o dva různé způsoby určení stejného pole.

Pole tří prvků

Pole . Sčítání a násobení jsou definovány jako sčítání a násobení čísel modulo 3. Operační tabulky jsou: $\mathbb {F} _{3}=\{0,1,2\}$ $\mathbb {F} _{3}$

+	0	jeden	2
0	0	jeden	2
jeden	jeden	2	0
2	2	0	jeden

×	jeden	2
0	0	0
jeden	jeden	2
2	2	jeden

Zbytky z dělení 3 tvoří ze tří prvků (kde protože pro zbytky z dělení 3). $\mathbb {F} _{3}$ ${\frac {1}{2}}=2,$ $2\cdot 2=1$

Zbytek dělení 4 poli netvoří, protože prvek 2 nemá inverzní.

Pole čtyř prvků

Pole může být reprezentováno jako množina (kde je kořen polynomu nad polem , tj . ). Operační tabulky vypadají takto: [17] $\mathbb {F} _{4}$ $\{0,1,\alpha ,\alpha +1\}$ $\alpha$ $f(x)=x^{2}+x+1$ $\mathbb {F} _{2}$ $\alpha ^{2}=-\alpha -1=\alpha +1$ $\mathbb {F} _{4}$

+	0	jeden	$\alpha$	$\alpha +1$
0	0	jeden	$\alpha$	$\alpha +1$
jeden	jeden	0	$\alpha +1$	$\alpha$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha +1$	0	jeden
$\alpha +1$	$\alpha +1$	$\alpha$	jeden	0

×	jeden	$\alpha$	$\alpha +1$
0	0	0	0
jeden	jeden	$\alpha$	$\alpha +1$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha +1$	jeden
$\alpha +1$	$\alpha +1$	jeden	$\alpha$

Pole devíti prvků

Ke konstrukci pole stačí najít normalizovaný polynom stupně 2, který je neredukovatelný přes . Tyto polynomy jsou: $\mathbb {F} _{9}=\mathrm {GF} (3^{2})$ $\mathbb {F} _{3}$

x^{2}+1

x^{2}+x+2

x^{2}+2x+2

Pro , existuje požadované pole (pokud místo toho vezmeme jiný polynom , dostaneme nové pole izomorfní ke starému). V níže uvedených tabulkách symbol označuje třídu ekvivalence polynomu ve faktorovém kruhu , který splňuje rovnici . $x^{2}+1$ $\mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ $x^{2}+1$ $i$ $X$ $\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ $i^{2}+1=0$

Přídavná tabulka je určena na základě poměru : $\mathbb {F} _{9}$ $1+1+1=0$

+	0	jeden	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	jeden	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
jeden	jeden	2	0	$i+1$	$i+2$	$i$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$
2	2	0	jeden	$i+2$	$i$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$
$i$	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	jeden	2
$i+1$	$i+1$	$i+2$	$i$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	jeden	2	0
$i+2$	$i+2$	$i$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	jeden
$2i$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	jeden	2	$i$	$i+1$	$i+2$
$2i+1$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	jeden	2	0	$i+1$	$i+2$	$i$
$2i+2$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	jeden	$i+2$	$i$	$i+1$

Násobící tabulka v je určena z poměru : $\mathbb {F} _{9}$ $i^{2}=-1$

×	jeden	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	0	0	0	0	0	0	0
jeden	jeden	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
2	2	jeden	$2i$	$2i+2$	$2i+1$	$i$	$i+2$	$i+1$
$i$	$i$	$2i$	2	$i+2$	$2i+2$	jeden	$i+1$	$2i+1$
$i+1$	$i+1$	$2i+2$	$i+2$	$2i$	jeden	$2i+1$	2	$i$
$i+2$	$i+2$	$2i+1$	$2i+2$	jeden	$i$	$i+1$	$2i$	2
$2i$	$2i$	$i$	jeden	$2i+1$	$i+1$	2	$2i+2$	$i+2$
$2i+1$	$2i+1$	$i+2$	$i+1$	2	$2i$	$2i+2$	$i$	jeden
$2i+2$	$2i+2$	$i+1$	$2i+1$	$i$	2	$i+2$	jeden	$2i$

Prvek má řád 8 a je primitivní. Prvek není primitivní, protože (jinými slovy, polynom není primitivní ) [17] . $i+1$ $i$ $i^{4}=1$ $x^{2}+1\in \mathbb {F} _{3}[x]$

Multiplikativní skupina polí 16 prvků

Když je pole konstruováno pomocí ireducibilního polynomu , prvky expanze jsou dány sadami koeficientů polynomu, jehož výsledkem je zbytek, když je děleno , zapsané ve vzestupném pořadí mocnin. Multiplikativní grupa je generována prvkem , který je zapsán jako (0, 1, 0, 0) [18] . $\mathbb {F} _{16}=\mathrm {GF} (2^{4})$ $x^{4}+x+1$ $x^{4}+x+1$ $\alpha=x$

Polynom	Stupeň $\alpha$	$1,x,x^{2},x^{3}$
jeden	$\alpha ^{0}$	(1, 0, 0, 0)
$\alpha$	$\alpha$	(0, 1, 0, 0)
$\alpha ^{2}$	$\alpha ^{2}$	(0, 0, 1, 0)
$\alpha ^{3}$	$\alpha ^{3}$	(0, 0, 0, 1)
$1+\alfa$	$\alpha ^{4}$	(1, 1, 0, 0)
$\alpha +\alpha ^{2}$	$\alpha ^{5}$	(0, 1, 1, 0)
$\alpha ^{2}+\alpha ^{3}$	$\alpha ^{6}$	(0, 0, 1, 1)
$\alpha ^{3}+\alpha +1=\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{7}$	(1, 1, 0, 1)
$1+\alpha ^{2}=\alpha +1+\alpha ^{2}+\alpha$	$\alpha ^{8}$	(1, 0, 1, 0)
$\alpha +\alpha ^{3}$	$\alpha ^{9}$	(0, 1, 0, 1)
$\alpha ^{2}+1+\alpha =\alpha ^{2}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{10}$	(1, 1, 1, 0)
$\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}$	$\alpha ^{11}$	(0, 1, 1, 1)
$1+\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{12}$	(1, 1, 1, 1)
$1+\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{13}$	(1, 0, 1, 1)
$1+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{14}$	(1, 0, 0, 1)
$1=\alpha +\alpha ^{4}$	$\alpha ^{15}$	(1, 0, 0, 0)

Historie studia

Počátky teorie konečných polí sahají do 17. a 18. století . Na tomto tématu pracovali vědci jako Pierre Fermat , Leonard Euler , Joseph Louis Lagrange a Adrien Marie Legendre , které lze považovat za zakladatele teorie konečných polí prvořadého řádu. Větší zajímavostí je však obecná teorie konečných polí, pocházející z prací Gausse a Galoise [19] . Do určité doby byla tato teorie používána pouze v algebře a teorii čísel, ale následně byly nalezeny nové styčné body s algebraickou geometrií , kombinatorikou a teorií kódování [3] .

Galoisův příspěvek

V roce 1830 publikoval osmnáctiletý Evariste Galois článek [20] , který položil základ obecné teorii konečných polí. V tomto článku Galois (v souvislosti s výzkumem teorie permutačních grup a algebraických rovnic [21] ) zavádí imaginární srovnávací kořen , kde je libovolný polynom stupně neredukovatelného modulo p . Poté se uvažuje obecný výraz , kde jsou některá celá čísla modulo p . Pokud těmto číslům přiřadíte všechny možné hodnoty, výraz nabude hodnot. Dále Galois ukazuje, že tyto hodnoty tvoří pole a multiplikativní skupina tohoto pole je cyklická. Tato práce je tedy prvním kamenem v základu obecné teorie konečných polí. Na rozdíl od svých předchůdců, kteří uvažovali pouze o polích , Galois již uvažuje o polích , kterým se na jeho počest začalo říkat Galois field [22] . $F(x)\ekviv 0{\pmod {p}}$ $F(x)$ $\nu$ $A=a_{0}+{a_{1}}i+{a_{2}}i^{2}+\ldots +a_{\nu -1}i^{\nu -1}$ $a_{0},a_{1},...,a_{\nu -1}$ $A$ $p^{\nu }$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

První dílo v tomto směru napsal Gauss kolem roku 1797, ale za jeho života nebyla tato studie nikdy publikována. Tuto studii pravděpodobně editor jeho spisů ignoroval, a tak se tato práce objevila až v posmrtném vydání v roce 1863 [23] .

Další vývoj

V roce 1893 matematik Eliakim Moore dokázal větu o klasifikaci konečných těles, která tvrdila, že každé konečné pole je Galoisovo pole , to znamená, že jakékoli pole prvků je izomorfní s polem zbytkových tříd polynomů s koeficienty modulo neredukovatelným polynomem. stupně [24] . První pokus o axiomatický přístup k teorii konečných polí patří do téhož roku, který provedl Heinrich Weber , který se ve své práci pokusil zkombinovat pojmy, které vznikly v různých odvětvích matematiky, včetně konceptu konečného pole. [25] . Dále v roce 1905 Joseph Wedderburn dokazuje Wedderburnovu malou větu , že každé konečné těleso je komutativní, to znamená, že je polem. Moderní axiomatická definice pole (s konečnými poli jako speciálním případem) je zásluhou Ernsta Steinitze a prezentovaná v jeho práci z roku 1910 [26] . $p^{n}$ $\mathbb {F} _{p}$ $n$

Aplikace

Diofantické rovnice

Diophantine rovnice je rovnice s celočíselnými koeficienty, ve kterých proměnné také nabývají celočíselných hodnot. Velkou vlnu diskusí o takových rovnicích vyvolal Fermat , který formuloval své věty. Fermatova malá věta říká, že jestliže je prvočíslo, které není dělitelem jiného čísla , pak . V teorii konečných polí je tato věta důsledkem Lagrangeovy věty , aplikované na multiplikativní podgrupu generovanou prvkem , protože celá multiplikativní grupa polí se skládá z prvků [5] . $p$ $A$ $a^{p-1}\ekviv 1{\pmod {p}}$ $A$ $\mathbb {F} _{p}$ $p-1$

Fermat si všimne, že jediná prvočísla, která lze rozložit na součet dvou čtverců, jsou ta prvočísla, která při dělení 4 dávají zbytek 1. Zejména poznamenává, že

5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29= 2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.

Ve svém dopise Marinu Mersennovi z 25. prosince 1640 Fermat navrhuje vyřešit rovnici [27] . $a^{2}+b^{2}=p$

Julius Dedekind studoval tuto rovnici v konečném poli , kde má tvar . Pokud , pak je řešení triviální. Jinak můžete obě části vydělit a zavedením náhrady získat rovnici ve tvaru . Vynásobením číslem dostaneme rovnici . Za předpokladu , že generátor je multiplikativní podgrupa řádu 4, lze získat nezbytné a dostatečné podmínky na p , za kterých má rovnice řešení. Další důkaz Fermat-Eulerovy věty , který provedl Dedekind, nepoužívá koncept konečných těles a lze jej nalézt v odpovídajícím článku [28] . $\mathbb {F} _{p}$ $a^{2}+b^{2}=0$ $b=0$ $b^{2}$ $x^{2}+1=0$ $x^{2}-1=0$ $x^{4}-1=0$ $X$

Teorie opravných kódů

Za rok vzniku teorie korekčních kódů je považován rok 1948 , ve kterém byl publikován článek Clauda Shannona , ve kterém ukazuje, že přítomnost chyb v přenosu informací jakýmkoliv kanálem závisí mimo jiné na poměr přenosové rychlosti a kapacity kanálu. Přenosová rychlost musí být vyšší než šířka pásma. Shannon poskytl důkazy, ale ty byly prohlášeny za neplatné [29] .

Konstruktivní přístup navrhl Richard Hamming , čímž stanovil vektor pro vývoj mnoha pozdějších článků na toto téma. Hamming ve své práci vybudoval jednoduchý kód , který určitým způsobem opravuje chyby. Hamming uvažoval o opravných kódech pouze přes pole [30] . Brzy byly podobné kódy sestrojeny nad libovolnými konečnými poli Golayem v roce 1949 [31] . Největší příspěvek k této teorii však patří Hammingovi [30] . $\mathbb {F} _{2}$

Kryptografie

Konečná pole získala nejširší uplatnění v kryptografii. Článek Diffieho a Helmana o kryptografii s veřejným klíčem, který navrhl protokol pro výměnu klíčů [4] , je považován za klíčovou práci . V této práci byla použita konečná pole určitého typu. Později se objevila celá řada kryptografických protokolů a kryptosystémů založených na použití konečných polí. Patří mezi ně schéma ElGamal , Advanced Encryption Standard [32] , Schnorr schéma , Chaumův algoritmus (slepý podpis) , kryptosystém XTRa mnoho dalších. Algoritmy eliptických křivek , které jsou jedním z klíčových objektů studia v moderní kryptografii, také využívají konečná pole [33] .

Také kvalita šifrování často závisí na schopnosti rychle generovat velká prvočísla. V souladu s tím vyvstává úkol sestrojit algoritmus pro rozklad čísla na prvočinitele (určující jednoduchost konkrétního čísla). Michael Rabin publikoval studii, ve které navrhuje test primality založený na vlastnostech multiplikativní skupiny polí [34] .

Různé

V roce 1960 publikovali R. K. Bowes a D. K. Roy-Chowdhury článek, ve kterém studovali rodiny polynomů nad konečnými poli. A. Hockwingham jejich teorii zobecnil, což vedlo k vytvoření kódu BCH , jehož speciálním případem je známý Reed-Solomonův kód , který má velmi široké uplatnění. Používá se při zápisu a čtení v řadičích RAM , při archivaci dat, zápisu informací na pevné disky ( ECC ), zápisu na disky CD/DVD. Je pozoruhodné, že pokud je poškozeno značné množství informací nebo je poškozeno několik sektorů diskového média, kód Reed-Solomon vám umožní obnovit většinu ztracených informací. BCH kód se také používá v komunikačním systému některých sond NASA (jako je Voyager ) [35] .

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Lidl, Niederreiter, 1988 , str. 68.
↑ 1 2 3 Lidl, Niederreiter 1988 , str. 66.
↑ 1 2 3 4 Lidl, Niederreiter, 1988 , str. 5.
↑ 1 2 Diffie, Hellman, 1976 .
↑ 1 2 3 Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vjaly. Diskrétní analýza. Základy vyšší algebry. - M. : MZ Press, 2007. - S. 151. - 224 s.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , str. 69-70.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , str. 71.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , str. 119.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , str. 121.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , str. 65.
↑ Egorov A. A. Modulo srovnání a zbytková aritmetika // Kvant . - 1970. - č. 5 . - S. 28-33 .
↑ Vinberg, 2011 , str. 32.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , str. 67-68.
↑ Vinberg, 2011 , str. 409.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , str. 51, 66.
↑ Gabidulin E. M., Kshevetsky A. S., Kolybelnikov A. I., Vladimirov S. M. Informační bezpečnost. Tutorial. Verze ze dne 22. listopadu 2015 . - S. 249.
↑ 1 2 Mullen, Gary L.; Panario, Daniel. Příručka konečných polí. - CRC Press, 2013. - ISBN 978-1-4398-7378-6 .
↑ Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vjaly. Diskrétní analýza. Základy vyšší algebry. - M. : MZ Press, 2007. - S. 152. - 224 s.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , str. deset.
↑ Evariste Galois (1830), Sur la théorie des nombres (francouzsky) . Bulletin des sciences mathématiques de M. Ferussac 13, str. 428-435 (1830).
↑ Bourbaki N. Eseje o dějinách matematiky / přel. od fr. I. G. Bašmaková, ed. K. A. Rybníková. - M. : IL, 1963. - S. 102.
↑ Izrael Kleiner. Historie abstraktní algebry . - Birkhäuser, 2007. - S. 70 . — 168p. — ISBN 978-0-8176-4684-4 .
↑ G. Frei. Nepublikovaný oddíl osmý: Na cestě k fungování polí nad konečným polem . - Goldstein Schappacher Schwermer, 2007. - S. 159-198.
↑ Moore, Eliakim Hastings. Dvojitý nekonečný systém jednoduchých grup (anglicky) // Chicago Congr. doklady. - 1896. - S. 208-242. Archivováno z originálu 19. listopadu 2015.
↑ H. Weber, "Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie", Mathematische Annalen, sv. 43, 1893, str. 521-549.
↑ Ernst Steinitz, "Algebraische Theorie der Körper", Journal für die reine und angewandte Mathematik, sv. 137, 1910, str. 167-309 (ISSN 0075-4102).
↑ Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vjaly. Diskrétní analýza. Základy vyšší algebry. - M. : MZ Press, 2007. - S. 38. - 224 s.
↑ R. Dedekind , Supplement XI des Leçons en théorie des nombres de Dirichlet, 1894.
↑ Shannon, K. Matematická teorie komunikace // Práce z teorie informace a kybernetiky. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1963. - S. 243-332.
↑ 1 2 Hamming, K. Kódy s detekcí a opravou chyb. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1956. - S. 7-23.
↑ Golay MJE Poznámky k digitálnímu kódování // Proceedings IRE. 1949. V. 37, S. 657.
↑ O. S. Zenzin, M. A. Ivanov. Kryptografický bezpečnostní standard je AES. Koncová pole . - KUDITS-Obraz, 2002. - S. 41 -78. — 176 s. — ISBN 5-93378-046-4 .
↑ Anatolij Bolotov, Sergej Gashkov, Alexander Frolov, Anatolij Chasovskikh. Základní úvod do eliptické kryptografie. Algebraické a algoritmické základy. - KomKniga, 2006. - S. 390 - 398. - 527 s. — ISBN 5-484-00443-8 .
↑ M. Rabin , Pravděpodobnostní algoritmus pro testování primality, J. Číslo Th. 12 (1980), 128-138.
↑ Bose RC, Ray-Chaudhuri DK O třídě binárních skupinových kódů opravujících chyby // Inform. řízení. - sv. 3. - březen 1960. - str. 68-79.

Literatura

Kurz algebry Vinberg E. B. - nové vyd., přepracované. a doplňkové - M. : MTSNMO, 2011. - 592 s. - 2000 výtisků. — ISBN 978-5-94057-685-3 .
Lidl R., Niederreiter G. Konečná pole. Ve 2 svazcích - M. : Mir, 1988. - 430 s. — ISBN 5-03-000065-8 .
Zhuravlev Yu.I., Flerov Yu.A., Vyaly M.N. Diskrétní analýza. Základy vyšší algebry. - 2. vyd. - M. : MZ Press, 2007. - 224 s. - 1000 výtisků. — ISBN 5-94073-101-5 .
Vasiliev K. K., Glushkov V. A., Dormidontov A. V., Nesterenko A. G. Teorie elektrické komunikace. - Uljanovsk: UlGTU, 2008. - 452 s. - ISBN 978-5-9795-0203-8 .
Steinitz, Ernst. Algebraische Theorie der Körper (německy) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1910. - Bd. 137 . - S. 167-309 .
Diffie W. , Hellman M. E. Nové směry v kryptografii // IEEE Trans . inf. Teorie / F. Kschischang - IEEE , 1976. - Sv. 22, Iss. 6. - S. 644-654. — ISSN 0018-9448 ; 1557-9654 - doi:10.1109/TIT.1976.1055638 .
Kleiner, Izrael. Historie abstraktní algebry. - Birkhäuser, 2007. - ISBN 978-0-8176-4684-4 .