Möbiova funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. května 2020; kontroly vyžadují 8 úprav .

Möbiova funkce je multiplikativní aritmetická funkce používaná v teorii čísel a kombinatorice , pojmenovaná po německém matematikovi Möbiovi , který o ní poprvé uvažoval v roce 1831 . $\mu(n)$

Definice

$\mu(n)$ je definován pro všechna přirozená čísla a nabývá hodnot v závislosti na povaze rozkladu čísla na prvočinitele: $n$ ${-1,\;0,\;1}$ $n$

$\mu(n)=1$ , pokud je bez druhých mocnin (to znamená, že žádné prvočíslo není dělitelné druhou mocninou) a rozklad na prvočinitele se skládá ze sudého počtu činitelů; $n$ $n$
$\mu(n)=-1$ , pokud je prostý čtverců a rozklad na prvočinitele sestává z lichého počtu činitelů; $n$ $n$
$\mu(n)=0$ , pokud není bez čtverců. $n$

Také, podle definice, . $\mu(1)=1$

Ivan Matveevich Vinogradov v knize „Elements of Higher Mathematics“ obsahuje následující definici Möbiovy funkce:

Möbiova funkce je multiplikativní funkce definovaná rovností: $\mu \,(p)=-1,\;\mu \,(p^{\alpha })=0,\;{\text{if}}\;\alpha >1.$

Z těchto dvou rovností a multiplikativnosti funkce samotné jsou odvozeny její hodnoty pro všechny přirozené argumenty.

Funkce a aplikace

Möbiova funkce je multiplikativní: pro všechna prvočísla a rovnost platí . $A$ $b$ $\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$

Součet hodnot Möbiovy funkce přes všechny dělitele celého čísla , které se nerovná jedné, je roven nule $n$

\sum _{{d|n}}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}}

To vyplývá zejména ze skutečnosti, že pro každou neprázdnou konečnou množinu je počet různých podmnožin skládajících se z lichého počtu prvků roven počtu různých podmnožin sestávajících ze sudého počtu prvků, což je skutečnost, také použitý v důkazu Möbiova inverzního vzorce .

$\sum \limits _{{k=1}}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1.$

$\sum \limits _{{k=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (kn)}{k}}=0,$ kde n je kladné celé číslo .

$\sum \limits _{{k=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1.$

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln(2k+1)}{2k+1}}=-2.$

$\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln ^{2}k}{k))=-2\gamma ,$ kde je Eulerova konstanta . $\gamma$

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln ^{2}(2k+1)}{2k+1)))=-4 (\gamma +ln2).$

Möbiova funkce úzce souvisí s Riemannovou zeta funkcí . Koeficienty Dirichletovy řady funkce, která je multiplikativně inverzní pro Riemannovu zeta funkci, jsou tedy vyjádřeny pomocí Möbiovy funkce:

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (n)}{n^{{s))))={\frac {1}{\zeta ( s)}}

Řada konverguje absolutně v , konverguje podmíněně na přímce , v oblasti je tvrzení o podmíněné konvergenci řady ekvivalentní Riemannově hypotéze a v , řada rozhodně nekonverguje, a to ani podmíněně. ${{\rm {Re}}}\,s>1$ ${{\rm {Re}}}\,s=1$ $1/2<{{\rm {Re}}}\,s<1$ ${{\rm {Re}}}\,s<1/2$

Když je vzorec také platný: ${{\rm {Re}}}\,s>1$

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {|\mu (n)|}{n^{{s))))={\frac {\zeta (s )}{\zeta (2s)))

$\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (pn)}{n^{{s))))={\frac {p^{{s} }}{(1-p^{{s}})\zeta (s)}},$ kde p je prvočíslo.

Möbiova funkce souvisí s Mertensovou funkcí , také úzce souvisí s problémem nul Riemannovy zeta funkce

M(n)=\součet _{{k=1}}^{n}\mu (k).

Asymptotické vztahy jsou platné:

{\frac {1}{x}}\sum \limits _{{n\leq x}}\mu (n)=o(1)

x\rightarrow \infty

{\frac {1}{x}}\sum \limits _{{n\leq x}}|\mu (n)|={\frac {1}{\zeta (2)))+O({\ frac {1}{{\sqrt x}}}})

z čehož vyplývá, že pro hodnoty Möbiovy funkce existuje asymptotická distribuční hustota . Lineární hustota množiny jejích nul je , a hustota množiny jedniček (nebo mínus jedniček) je . Z této skutečnosti vycházejí pravděpodobnostní přístupy ke studiu Möbiovy funkce. $1-1/\zeta(2)=0,3920729$ $1/2\zeta(2)=0,30396355$

Möbiova inverze

První Möbiův inverzní vzorec

Pro aritmetické funkce a , $F$ $G$

g(n)=\součet _{{d\,\mid \,n}}f(d)

tehdy a jen tehdy

f(n)=\součet _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d))\right)

Druhý vzorec Möbiovy inverze

Pro funkce s reálnou hodnotou a definované pro , $f(x)$ $g(x)$ $x\geqslant 1$

g(x)=\sum _{{n\leqslant x}}f\left({\frac {x}{n}}\right)

tehdy a jen tehdy

f(x)=\součet _{{n\leqslant x}}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)

Zde je součet interpretován jako . $\sum _{{n\leqslant x}}$ $\sum _{{n=1}}^{{\lpatro x\rpatro }}$

Generalizovaná Möbiova funkce

Navzdory zjevné nepřirozenosti definice Möbiovy funkce se její povaha může vyjasnit při zvažování třídy funkcí s podobnými vlastnostmi reverzibility zavedených na libovolných částečně uspořádaných množinách .

Nechť je uvedena nějaká částečně uspořádaná množina se srovnávacím vztahem . To budeme předpokládat . $\prec$ $a \preccurlyeq b \iff a \prec b \lor a = b$

Definice

Zobecněná Möbiova funkce je rekurzivně definována vztahem.

{\mu _{A}^{*}}(a,b)={\begin{cases}1,&a=b\\-\sum \limits _{a\preccurlyeq z\prec b}{ {\mu _{A}^{*}}(a,z)},&a\prec b\\0,&a\not \preccurlyeq b\end{cases}}

Konverzní vzorec

Nechte funkce a nabývají reálné hodnoty na množině a podmínka je splněna . $G$ $F$ $A$ $g(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {f(y)}$

Pak $f(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {{\mu_A^*}(y,x) g(y)}$

Spojení s klasickou Möbiovou funkcí

Pokud vezmeme jako množinu přirozených čísel, přičemž poměr vezmeme jako poměr , pak dostaneme , kde je klasická Möbiova funkce. $A$ $a \prec b$ $a \mid b \land a \not = b$ ${\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\left({\frac{b}{a))\right)$ $\mu$

Konkrétně to znamená, že , a dále definice klasické Möbiovy funkce vyplývá indukcí z definice zobecněné funkce a identity , protože lze uvažovat součet přes všechny dělitele čísla, které není dělitelné celou druhou mocninou . jako součet jeho prvočíselných činitelů vynásobený v každém prvku booleanu . $\mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n)$ $\sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0$

Viz také

Vintage Dirichlet

Literatura

Vinogradov I.M. Základy teorie čísel. - 9. vyd. - M. , 1981.
Hala M. Kombinatorická teorie. - M .: Mir, 1970. - 424 s.

Odkazy

Přednáškový sál MIPT . Raygorodsky A.M. - Základy kombinatoriky a teorie čísel. Přednáška č. 5 , 2013.
Přednáškový sál MIPT . Raygorodsky A.M. - Základy kombinatoriky a teorie čísel. Přednáška č. 6 , 2013.
Zobecněný Möbiův inverzní vzorec