Absolutní konvergence

Konvergentní řada se nazývá absolutně konvergentní, pokud řada modulů konverguje , jinak se nazývá podmíněně konvergentní . $\součet a_{n}$ $\sum |a_{n}|$

Podobně, jestliže nevlastní integrál funkce konverguje, pak se nazývá absolutně nebo podmíněně konvergentní v závislosti na tom, zda integrál jejího modulu konverguje nebo ne . $\int f(x)\,dx$ $\int |f(x)|\,dx$

V případě obecného normovaného prostoru je modul v definici nahrazen normou.

Řádky

Známky absolutní konvergence

Znak srovnání

Pokud v , pak: $\exists N_{0}:|a_{n}|\leqslant b_{n}$ $n\geqslant N_{0}$

pokud řada konverguje, pak řada konverguje absolutně $\součet b_{n}$ $\součet a_{n}$
pokud se řada diverguje, pak se řada diverguje $\součet a_{n}$ $\součet b_{n}$

Podle Cauchyho kritéria . Proto, a podle Cauchyho kritéria řada konverguje. Druhé tvrzení vyplývá z prvního, protože pokud by řada konvergovala, pak by řada konvergovala.

\forall \varepsilon >0\ \exists N\geqslant N_{0}\ \forall m\geqslant n\geqslant N:\left|\sum _{{k=n}}^{{m}}b_{k} \right|\leqslant \varepsilon

\left|\sum _{{k=n}}^{{m}}a_{k}\right|\leqslant \sum _{{k=n}}^{{m}}|a_{k}| \leqslant \sum _{{k=n}}^{{m}}b_{k}\leqslant \left|\sum _{{k=n}}^{{m}}b_{k}\right| \leqslant \varepsilon

\součet a_{n}

\součet b_{n}

\součet a_{n}

Kritérium pro konvergenci řad s monotónně klesajícími členy

Nechte _ Pak řada konverguje právě tehdy, když řada konverguje $a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant a_{3}\geqslant ...\geqslant 0$ $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}$ $\sum _{{k=0}}^{{\infty }}2^{{k}}a_{{2^{k}}}=a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+ 8a_{8}+...$

Důkaz

Označit:

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$

$t_{k}=a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+...+2^{{k}}a_{{2^{k}}}$

Protože konvergence řady s nezápornými členy je ekvivalentní ohraničenosti posloupnosti jejích parciálních součtů, stačí ukázat, že a jsou současně omezené nebo neomezené. $s_{n}$ $t_k$

Když máme $n<2^{k}$

$s_{n}\leqslant a_{1}+(a_{2}+a_{3})+...+(a_{{2^{k}}}+...+a_{{2^{{ k+1}}-1}})\leqslant a_{1}+2a_{2}+...+2^{{k}}a_{{2^{k}}}=t_{k}$

Takto, $s_{n}\leqslant t_{k}$

Na druhou stranu, kdy $n>2^{k}$

$s_{n}\geqslant a_{1}+a_{2}+(a_{3}+a_{4})+...+(a_{2^{k-1}+1}+. ..+a_{2^{k)))\geqslant {\frac {1}{2}}a_{1}+a_{2}+2a_{4}+...+2^{k-1} a_{2^{k}}={\frac {1}{2}}t_{k}$

Tedy obě sekvence a nebo obě jsou omezené, nebo obě nejsou omezeny. $2s_{n}\geqslant t_{k}$ $s_{n}$ $t_k$

Známky Cauchyho a d'Alemberta

Znamení d'Alemberta

Řádek $\součet a_{n}$

konverguje absolutně pokud $\varlimsup _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|<1$
Rozchází se, pokud $\varliminf _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|>1$
Pro které existují jak konvergentní, tak divergentní řady $\varliminf _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|\leqslant 1\leqslant \varlimsup _{{n\ do \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|$

Cauchy znamení

Nechat sérii a být dán . Pak $\součet a_{n}$ $\alpha =\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{|a_{n}|}}$

Jestliže , pak řada konverguje absolutně $\alpha < 1$
Pokud , pak se řada rozchází $\alpha >1$
Pro které existují jak konvergentní, tak divergentní řady $\alpha=1$

Tvrzení o konvergenci ve znameních Cauchyho a d'Alemberta je odvozeno ze srovnání s geometrickou progresí (se jmenovateli resp .), o divergenci - ze skutečnosti, že společný člen řady neinklinuje k nule. $\varlimsup _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|$ $\alpha$

Jestliže d'Alembertův znak indikuje konvergenci, pak Cauchyho znak indikuje konvergenci; pokud nám Cauchyho test neumožňuje vyvodit závěr o konvergenci, pak nám d'Alembertův test také neumožňuje vyvodit žádné závěry. Cauchyho test je silnější než d'Alembertův test, protože existují řady, pro které Cauchyho test indikuje konvergenci a d'Alembertův test konvergenci neindikuje.

Cauchy-Maclaurinův integrální test

Nechť je dána řada a funkce taková, že: $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n},a_{n}\geqslant 0$ $f(x):\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

$f(x)$ nestriktně monotónně klesající: $x_{1}<x_{2}\Šipka doprava f(x_{1})\geqslant f(x_{2})$
$\forall \ n:\ f(n)=a_{n}$

Pak řada a integrál konvergují nebo divergují současně a $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}$ $\int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx$ $\forall k\geqslant 1\ \sum _{{n=k}}^({\infty }}a_{n}\geqslant \int \limits _{k}^({\infty }}f(x)dx \geqslant \sum _{{n=k+1}}^{{\infty }}a_{n}$

Znamení Raabe

Nechte sérii , a být dán . $\součet a_{n}$ $a_{n}>0$ $R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-1\vpravo)$

Jestliže , pak řada konverguje $\varliminf _{{n\to \infty }}R_{n}>1$
Pokud , pak se řada rozchází $\varlimsup _{{n\to \infty }}R_{n}\leqslant 1$
Pro které existují jak konvergentní, tak divergentní řady $\varliminf _{{n\to \infty }}R_{n}\leqslant 1\leqslant \varlimsup _{{n\to \infty }}R_{n}$

Raabeho znamení je založeno na srovnání se zobecněnou harmonickou řadou

Akce řádku

Pokud obě řady konvergují absolutně, pak jejich součet konverguje absolutně . $\součet a_{n}$ $\součet b_{n}$ $\součet (a_{n}+b_{n})$
Pokud alespoň jedna z řad konverguje absolutně, pak jejich Cauchyho součin konverguje, ale pokud obě řady konvergují absolutně, pak jejich součin konverguje absolutně $\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=0}}^{\infty }b_{n}$ $\sum c_{n},c_{n}=\součet _{{k=0}}^{n}a_{k}b_{{nk}}$
Řada konverguje absolutně tehdy a jen tehdy, když konverguje každá její permutace . Navíc všechny permutace absolutně konvergentní řady konvergují ke stejnému součtu.

Příklady

Uvažujme o sérii . Pro tento řádek: ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}} }+{\frac {1}{2^{3}}}+...$

$\varliminf _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\ frac {2}{3}}\right)^{n}=0$
$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {2n}]{{ \frac {1}{2^{n}}}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}$
$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\ frac {3}{2}}\right)^{n}=+\infty$

Cauchyho test tedy naznačuje konvergenci, zatímco d'Alembertův test neumožňuje vyvozovat žádné závěry.

Zvažte seriál $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}2^{{n-(-1)^{n}}}$

$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {2 ^{{n+1+1}}}{2^{{n-1}}}}=8$
$\varliminf _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {2 ^{{n+1-1}}}{2^{{n+1}}}}={\frac {1}{2}}$
$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}2{\sqrt[ {n}]{ 2^{{(-1)^{n}}}}}}=2$

Cauchyho test tedy ukazuje na divergenci, zatímco d'Alembertův test neumožňuje vyvozovat žádné závěry.

Řada konverguje v a diverguje v , nicméně: $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ $\alpha >1$ $\alpha \leqslant 1$

$\varliminf _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\ frac {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=1$
$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}n^{{\alpha /n}} =1$
$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\ frac {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=1$

Cauchyho a d'Alembertova znamení nám tedy neumožňují dělat žádné závěry.

Řada konverguje podmíněně podle Leibnizova testu , ale ne absolutně, protože harmonická řada diverguje. $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}\left|{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right|=\sum _{{n=1} }^{{\infty }}{\frac {1}{n}}$

Absolutní konvergence nevlastních integrálů prvního druhu

Definice

Nevlastní integrál prvního druhu se nazývá absolutně konvergentní , jestliže integrál konverguje . $\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx$ $\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx$

Vlastnosti

konvergence integrálu implikuje konvergenci integrálu . $\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx$ $\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx$
K identifikaci absolutní konvergence nevlastního integrálu prvního druhu se používají znaky konvergence nevlastních integrálů prvního druhu nezáporných funkcí.
Pokud integrál diverguje, pak lze Abelovo a Dirichletovo znamení použít k identifikaci podmíněné konvergence nevlastního integrálu prvního druhu . $\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx$

Absolutní konvergence nevlastních integrálů druhého druhu

Definice

Dovolit být definován a integrovatelný na , neomezený v levém okolí bodu . Nevlastní integrál druhého druhu se nazývá absolutně konvergentní , jestliže integrál konverguje . $f(x)$ $[a;b-\varepsilon \ ]\quad \forall \varepsilon \ \in (0;ba)$ $b$ $\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx$ $\int \limits _{{a}}^{{b}}|f(x)|dx$

Vlastnosti

konvergence integrálu implikuje konvergenci integrálu . $\int \limits _{{a}}^{{b}}|f(x)|dx$ $\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx$
K identifikaci absolutní konvergence nevlastního integrálu druhého druhu se používají znaky konvergence nevlastních integrálů druhého druhu nezáporných funkcí.
Pokud integrál diverguje, pak lze Abelovo a Dirichletovo znamení použít k identifikaci podmíněné konvergence nevlastního integrálu druhého druhu . $\int \limits _{{a}}^{{b}}|f(x)|dx$

Zdroje

Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Příručka matematiky. - Ed. 7., stereotypní. - M . : Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1967. - S. 296.

Viz také

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština