Znamení konvergence

V matematice je znak konvergence číselné řady metodou, která vám umožňuje stanovit konvergenci nebo divergenci nekonečné řady:

Stručný záznam:

Zde je posloupnost reálných nebo komplexních čísel ; tato čísla se nazývají členy řady .

Nezbytná podmínka pro konvergenci řad

Pokud limita člena řady neexistuje nebo není s růstem rovna nule, pak řada diverguje [1] .

Pro konvergenci řady je tedy podmínka nezbytná (nikoli však postačující). Jinými slovy, pokud tato podmínka není splněna, tak řada jistě diverguje, ale pokud je splněna, pak není zaručeno, že řada konverguje - viz např. harmonická řada .

Hlavní znaky konvergence

Řada s nezápornými členy

Řady s nezápornými členy se také nazývají pozitivní [2] nebo jednoduše pozitivní [3] .

Kritérium konvergence pro řady s kladným znaménkem

Znamenně kladná řada konverguje právě tehdy, je-li posloupnost jejích dílčích součtů shora omezena [4] .

Znak srovnání s majorantem

Závěr o konvergenci či divergenci řady lze učinit na základě jejího posloupného srovnání s jinou řadou („ majorant “), jejíž chování je již známé [4] .

Nechť jsou dány dvě řady kladných znamének: a . Pokud od nějakého čísla ( ) platí následující nerovnost: , pak [5] :

  • z konvergence řady vyplývá konvergence řady ;
  • divergence řady implikuje také divergenci řady .

Důsledek pro řady s termíny libovolného znaménka:

Pokud řada konverguje absolutně a počínaje od nějakého čísla vše , pak řada konverguje absolutně.

Příklad [6] . Dokažme konvergenci řady inverzních čtverců :

K tomu si vedle majora můžete vybrat řadu:

Částečný součet této řady může být reprezentován jako:

Proto řada konverguje a její součet je roven 2. Proto podle srovnávacího testu a řada inverzních čtverců konverguje k určitému číslu v intervalu .

Znamení Raabe

Toto znamení je silnější než d'Alembertovo znamení a Cauchyho radikální znamení [7] .

Pokud existuje limit pro sérii :

pak pro , řada konverguje a pro , diverguje. Jestliže , pak nám tato vlastnost neumožňuje vyvodit jednoznačný závěr o konvergenci řady [8] .

Cauchy-Maclaurinův integrální test

Tato funkce umožňuje s naprostou jistotou určit, zda řada konverguje nebo diverguje.

Nechť je funkce definována pro , je nezáporná, klesá monotónně , a .

Pak řada a nevlastní integrál:

současně konvergují nebo divergují [9] .

Příklad [10] . Zjistíme konvergenci řady pro Riemannovu zeta funkci (ve skutečném případě):

Pro něj má generující funkce tvar: . Pojďme vypočítat integrál:

if , or if Závěr: tato řada konverguje v a diverguje v . Gaussův znak

Nechť je vztah pro kladnou znaménkovou řadu reprezentován jako:

kde jsou konstanty a posloupnost je omezená. Pak [11] :

  • řada konverguje, pokud buď
  • série se rozchází, pokud buď
Kummer znamení

Kummerův test je extrémně obecný a flexibilní test pro konvergenci řad s kladnými členy. Ve skutečnosti jde o schéma pro konstrukci specifických prvků [12] .

Nechť je dána kladná řada a posloupnost kladných čísel tak, aby se řada rozcházela.

Pokud od nějakého čísla platí následující nerovnost:

kde . je kladná konstanta, pak řada konverguje.

Pokud počínaje nějakým číslem, řada se rozchází.

Častěji se v praxi používá omezující forma Kummerova testu: pak najdeme v případě, že řada konverguje, a když diverguje.

Z Kummerova znamení se získá řada dalších znaků:

Střídavé řady

Znaménkové proměnné řady jsou řady, jejichž členy mohou být kladné i záporné.

Znamení d'Alemberta

Tato funkce je také známá jako d'Alembertovo kritérium . Je jednodušší než Cauchyho test, ale slabší - pokud d'Alembertův test funguje, pak Cauchyho test funguje vždy, ale existují série, na které je Cauchyho test použitelný, a d'Alembertův test nedává výsledky [13 ] .

Pokud existuje, pak:

  • jestliže pak řada konverguje absolutně ;
  • jestliže se pak řada rozchází;
  • if , pak nám tato vlastnost neumožňuje vyvodit jednoznačný závěr o konvergenci řady.

Příklad [14] . Prozkoumejte konvergenci řady , kde Vypočítejte limitu:

V důsledku toho řada konverguje na a diverguje na Případ by měl být posuzován samostatně; ověření ukazuje, že pak členy řady neklesají ( , tedy ), takže v tomto případě řada diverguje.

Cauchyho radikální znamení

Pokud existuje, pak:

  • jestliže pak řada konverguje, a absolutně ;
  • jestliže se pak řada rozchází;
  • if , pak tato vlastnost neumožňuje vyvodit jednoznačný závěr o konvergenci řady [15] .

Cauchyho test je složitější, ale silnější než d'Alembertův test: pokud d'Alembertův test potvrdí konvergenci nebo divergenci řady, pak Cauchyho test udělá totéž, ale opak není pravdou [16] .

Příklad [17] . Podívejme se na řadu , kde je posloupnost kladných čísel a

Podle Cauchyho testu jsou možné tři případy.

  • Jestliže pak v , řada konverguje, v - diverguje, v určitém závěru nelze vyvodit.
  • Pokud se pak série rozchází.
  • Pokud řada konverguje.
Leibnizův test pro střídavé řady

Tento rys se také nazývá Leibnizovo kritérium .

Uvažujme střídající se řadu :

, kde ,

jsou splněny následující podmínky:

  • sekvence začínající od nějakého čísla ( ) monotónně klesá: ;

Pak taková řada konverguje [18] .

Abelův znak

Číselná řada konverguje, pokud jsou splněny následující podmínky [19] :

  • Posloupnost je monotónní a ohraničená.
  • Řada konverguje.
Sign of Dirichlet

Ať jsou splněny následující podmínky:

  • posloupnost dílčích součtů je omezena;
  • posloupnost , začínající od nějakého čísla, monotónně klesá: ;
  • .

Poté řada konverguje.

Výše popsané Leibnizovy a Abelovy testy vycházejí z Dirichletova testu a jsou tedy slabší než posledně jmenovaný [19] .

Znamení Bertranda

Pokud existuje limit pro sérii :

pak pro , řada konverguje a pro , diverguje. Jestliže , pak nám tato vlastnost neumožňuje vyvodit jednoznačný závěr o konvergenci řady [11] .

Variace a zobecnění

Zatímco většina funkcí se zabývá konvergencí nekonečných řad, lze je často použít k zobrazení konvergence nebo divergence nekonečných produktů . Toho lze dosáhnout pomocí následující věty:

Věta . Nechť je posloupnost kladných čísel. Potom nekonečný součin konverguje právě tehdy, když řada konverguje .

Podobně, if , pak má nenulovou limitu právě tehdy, když řada konverguje. To lze dokázat logaritmováním součinu [20] .

Poznámky

  1. Fikhtengolts, 1966 , s. 293-294.
  2. Matveeva a další .
  3. Fikhtengolts, 1966 , s. 262.
  4. 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 264-266.
  5. Vorobjov, 1979 , s. 51-52.
  6. Vorobjov, 1979 , s. 52.
  7. Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics (pro vědce a inženýry). - 2. vyd. - M. : Nauka, 1970. - S. 137. - 720 s.
  8. Fikhtengolts, 1966 , s. 273-274.
  9. Fikhtengolts, 1966 , s. 282-285.
  10. Vorobjov, 1979 , s. 61.
  11. 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 279.
  12. Fikhtengolts, 1966 , s. 277-279.
  13. Fikhtengolts, 1966 , s. 271-272, 275.
  14. Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Matematická příručka pro inženýry a studenty vysokých škol . - ed. 13. - M. : Nauka, 1985. - S. 274. - 544 s.
  15. Fikhtengolts, 1966 , s. 270-271.
  16. Fikhtengolts, 1966 , s. 272, 275 (příklady 3, 4).
  17. Fikhtengolts, 1966 , s. 274 (příklad 1).
  18. Fikhtengolts, 1966 , s. 302-303.
  19. 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 307-308.
  20. Belk. Konvergence nekonečných produktů (26. ledna 2008). Staženo 21. září 2020. Archivováno z originálu 31. ledna 2017.

Literatura

  • Vorobyov N. N. Teorie řad. - 4. vyd. — M .: Nauka, 1979. — 408 s. - (Vybrané kapitoly vyšší matematiky pro inženýry a studenty vysokých škol).
  • Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. - Ed. 6. - M. : Nauka, 1966. - T. 2. - 800 s.

Odkazy

  • Matveeva T. A., Svetlichnaja V. B., Korotkova N. N. Numerická řada . Datum přístupu: 22. září 2020.
  • Znaky konvergence řady . Datum přístupu: 22. září 2020.