V matematice je znak konvergence číselné řady metodou, která vám umožňuje stanovit konvergenci nebo divergenci nekonečné řady:
Stručný záznam:Zde je posloupnost reálných nebo komplexních čísel ; tato čísla se nazývají členy řady .
Pokud limita člena řady neexistuje nebo není s růstem rovna nule, pak řada diverguje [1] . |
Pro konvergenci řady je tedy podmínka nezbytná (nikoli však postačující). Jinými slovy, pokud tato podmínka není splněna, tak řada jistě diverguje, ale pokud je splněna, pak není zaručeno, že řada konverguje - viz např. harmonická řada .
Řady s nezápornými členy se také nazývají pozitivní [2] nebo jednoduše pozitivní [3] .
Kritérium konvergence pro řady s kladným znaménkem
Znamenně kladná řada konverguje právě tehdy, je-li posloupnost jejích dílčích součtů shora omezena [4] . |
Závěr o konvergenci či divergenci řady lze učinit na základě jejího posloupného srovnání s jinou řadou („ majorant “), jejíž chování je již známé [4] .
Nechť jsou dány dvě řady kladných znamének: a . Pokud od nějakého čísla ( ) platí následující nerovnost: , pak [5] :
|
Důsledek pro řady s termíny libovolného znaménka:
Pokud řada konverguje absolutně a počínaje od nějakého čísla vše , pak řada konverguje absolutně. |
Příklad [6] . Dokažme konvergenci řady inverzních čtverců :
K tomu si vedle majora můžete vybrat řadu:
Částečný součet této řady může být reprezentován jako:
Proto řada konverguje a její součet je roven 2. Proto podle srovnávacího testu a řada inverzních čtverců konverguje k určitému číslu v intervalu .
Znamení RaabeToto znamení je silnější než d'Alembertovo znamení a Cauchyho radikální znamení [7] .
Pokud existuje limit pro sérii : pak pro , řada konverguje a pro , diverguje. Jestliže , pak nám tato vlastnost neumožňuje vyvodit jednoznačný závěr o konvergenci řady [8] . |
Tato funkce umožňuje s naprostou jistotou určit, zda řada konverguje nebo diverguje.
Nechť je funkce definována pro , je nezáporná, klesá monotónně , a . Pak řada a nevlastní integrál: současně konvergují nebo divergují [9] . |
Příklad [10] . Zjistíme konvergenci řady pro Riemannovu zeta funkci (ve skutečném případě):
Pro něj má generující funkce tvar: . Pojďme vypočítat integrál:
if , or if Závěr: tato řada konverguje v a diverguje v . Gaussův znak
Nechť je vztah pro kladnou znaménkovou řadu reprezentován jako: kde jsou konstanty a posloupnost je omezená. Pak [11] :
|
Kummerův test je extrémně obecný a flexibilní test pro konvergenci řad s kladnými členy. Ve skutečnosti jde o schéma pro konstrukci specifických prvků [12] .
Nechť je dána kladná řada a posloupnost kladných čísel tak, aby se řada rozcházela. Pokud od nějakého čísla platí následující nerovnost: kde . je kladná konstanta, pak řada konverguje. Pokud počínaje nějakým číslem, řada se rozchází. |
Častěji se v praxi používá omezující forma Kummerova testu: pak najdeme v případě, že řada konverguje, a když diverguje.
Z Kummerova znamení se získá řada dalších znaků:
Znaménkové proměnné řady jsou řady, jejichž členy mohou být kladné i záporné.
Znamení d'AlembertaTato funkce je také známá jako d'Alembertovo kritérium . Je jednodušší než Cauchyho test, ale slabší - pokud d'Alembertův test funguje, pak Cauchyho test funguje vždy, ale existují série, na které je Cauchyho test použitelný, a d'Alembertův test nedává výsledky [13 ] .
Pokud existuje, pak:
|
Příklad [14] . Prozkoumejte konvergenci řady , kde Vypočítejte limitu:
V důsledku toho řada konverguje na a diverguje na Případ by měl být posuzován samostatně; ověření ukazuje, že pak členy řady neklesají ( , tedy ), takže v tomto případě řada diverguje.
Cauchyho radikální znamení
Pokud existuje, pak: |
Cauchyho test je složitější, ale silnější než d'Alembertův test: pokud d'Alembertův test potvrdí konvergenci nebo divergenci řady, pak Cauchyho test udělá totéž, ale opak není pravdou [16] .
Příklad [17] . Podívejme se na řadu , kde je posloupnost kladných čísel a
Podle Cauchyho testu jsou možné tři případy.
Tento rys se také nazývá Leibnizovo kritérium .
Uvažujme střídající se řadu : , kde ,jsou splněny následující podmínky:
Pak taková řada konverguje [18] . |
Číselná řada konverguje, pokud jsou splněny následující podmínky [19] :
|
Ať jsou splněny následující podmínky:
Poté řada konverguje. |
Výše popsané Leibnizovy a Abelovy testy vycházejí z Dirichletova testu a jsou tedy slabší než posledně jmenovaný [19] .
Znamení Bertranda
Pokud existuje limit pro sérii : pak pro , řada konverguje a pro , diverguje. Jestliže , pak nám tato vlastnost neumožňuje vyvodit jednoznačný závěr o konvergenci řady [11] . |
Zatímco většina funkcí se zabývá konvergencí nekonečných řad, lze je často použít k zobrazení konvergence nebo divergence nekonečných produktů . Toho lze dosáhnout pomocí následující věty:
Věta . Nechť je posloupnost kladných čísel. Potom nekonečný součin konverguje právě tehdy, když řada konverguje .
Podobně, if , pak má nenulovou limitu právě tehdy, když řada konverguje. To lze dokázat logaritmováním součinu [20] .
Znaky konvergence řad | ||
---|---|---|
Pro všechny řádky | ||
Pro znaménko-pozitivní řady |
| |
Pro střídání sérií | Leibnizův znak | |
Pro řádky formuláře | ||
Pro funkční série | ||
Pro Fourierovy řady |
|