Kritérium konvergence pro znaménko-pozitivní řady

Kritérium konvergence kladných řad je hlavním znakem konvergence kladných číselných řad . Tvrdí, že kladná řada konverguje právě tehdy, když je posloupnost jejích dílčích součtů shora omezena. $\sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}$ $S(n)=\součet _{{k=1}}^{n}a_{k}$

Důkaz

Na jedné straně, protože řada konverguje, má posloupnost dílčích součtů limitu. Proto je omezená. Omezuje se tedy jak zdola, tak shora.

Nechť je naopak dána kladná řada a shora ohraničená posloupnost dílčích součtů. Všimněte si, že posloupnost dílčích součtů je neklesající:

S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}\geqslant 0

Nyní použijeme vlastnost z věty o monotónní posloupnosti . Dostaneme, že posloupnost dílčích součtů konverguje (neklesá monotónně a je shora ohraničená), a proto řada podle definice konverguje.

Literatura

Yu S. Bogdanov — Přednášky o matematické analýze — Část 2 — Minsk — Nakladatelství BSU. V. I. Lenin - 1978.

Znaky konvergence řad
Pro všechny řádky	Nutná podmínka Cauchyho kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pro znaménko-pozitivní řady	Hlavní kritérium Srovnávací znamení Kummer znamení Gaussův znak Cauchyho radikální znamení Integrální funkce Znamení D'Alemberta mocenský znak logaritmické znamení Znamení Raabe Bertrandův znak Jametovo znamení Znamení Schlömilch Znamení Ermakova Znamení Lobačevského teleskopický znak Znamení Sapogov
Pro střídání sérií	Leibnizův znak
Pro řádky formuláře $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelův znak Znamení Dedekinda Znamení Dubois-Reymond Dirichlet znamení
Pro funkční série	Weierstrass znamení
Pro Fourierovy řady	Znamení Dini Znamení de la Vallée Poussin Jordánsko znamení Jungův znak Znamení Salem Lebesgue znamení Znamení Lebesgue-Gergen Znamení Martsinkeviče