Znamení Dini

Dini test je test pro bodovou konvergenci Fourierovy řady. Navzdory tomu, že Fourierova řada funkce od k ní konverguje ve smyslu -norma , nemusí k ní bodově konvergovat vůbec (ani v případě spojité funkce ). Nicméně za určitých dodatečných podmínek (například v případě, kdy je funkce hladká nebo alespoň splňuje Hölderovu nebo Lipschitzovu podmínku s nějakým kladným exponentem), bodová konvergence stále probíhá. $L_2([-\pi,\pi])$ $L_{2}$

Konvergence Fourierovy řady v určitém bodě je lokální vlastností funkce: jestliže se dvě funkce shodují v nějakém sousedství bodu , pak jejich Fourierova řada v tomto bodě konverguje nebo diverguje současně. $t$

Diniho test stanoví velmi obecnou podmínku pro takovou konvergenci. Pojmenován po italském matematikovi Ulysses Dini .

Dini znamení

Nastavit pro $\delta>0$

$\omega _{f}(t,\delta )=\sup \limits _{{s:|st|\leqslant \delta }}|f(t)-f(s)|$ .

( modul spojitosti funkce v bodě ). $F$ $t$

Pokud funkce splňuje podmínku $F$

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\omega _{f}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty$ ,

pak jeho Fourierova řada v bodě konverguje k . $t$ $f(t)$

Komentář. Podmínky pro Diniho test jsou splněny zejména tehdy, když

$\omega _{f}(t,\delta )\leqslant C\left({\frac 1({\mathop {{\mathrm {ln))))){\frac 1\delta ))}\right)^{ \gamma},$

kde (Toto je mnohem slabší podmínka než jakákoli Hölderova podmínka). Nemůžeš to vzít . $\gamma >1$ $\gamma=1$

Upravený znak Dini

Modifikace Diniho kritéria platí i pro případ, kdy má funkce v bodě diskontinuitu , ale přesto její omezení na intervaly a lze ji rozšířit na funkce splňující Diniho kritérium. $F$ $t$ $(t-\varepsilon ,t)$ $(t,t+\varepsilon )$

Nechť jsou nějaká čísla. Nastavit pro $f_{+},f_{-}$ $\delta>0$

$\omega _{{f,f_{+}}}^{+}(t,\delta ):=\sup \limits _{{s\in (t,t+\delta )}}|f(s)- f_{+}|$ ,

$\omega _{{f,f_{-}}}^{-}(t,\delta ):=\sup \limits _{{s\in (t-\delta ,t)}}|f(s) -f_{-}|$ .

Pokud jsou čísla a funkce takové, že $f_{+}$ $F_{-}$ $F$

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\omega _{{f,f_{+}}}^{+}(t,\delta )\,d\delta }{\delta } }<+\infty$ ,

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\omega _{{f,f_{-}}}^{-}(t,\delta )\,d\delta }{\delta } }<+\infty$ ,

pak Fourierova řada funkce v bodě konverguje k . $F$ $t$ ${\frac {f_{+}+f_{-}}2}$

Znak Dini-Lipschitz

Pokud modul spojitosti funkce v bodě splňuje podmínku $F$ $t$

$\omega _{f}(t,\delta )=o\left({\frac 1({\mathop ({\mathrm {ln)))){\frac 1\delta }}}\right)$ ,

pak Fourierova řada funkce v bodě konverguje $F$ $t$ $f(t)$

Přesnost vlastností Dini a Dini-Lipschitz

Pokud je rostoucí nezáporná funkce taková, že $\Omega$

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\Omega (\delta )\,d\delta }{\delta }}=+\infty$ ,

pak existuje funkce taková, že $F$

$\omega _{f}(t,\delta )\leqslant \Omega (\delta)$

pro všechny dostatečně malé a Fourierova řada funkce se v bodě rozchází . $\delta$ $F$ $t$

Existuje funkce s Fourierovou řadou divergující v nule, která podmínku splňuje $F$

$\omega _{f}(0,\delta )=O\left({\frac 1({\mathop ({\mathrm {ln)))){\frac 1\delta }}}\right)$ ,

Příklad použití Diniho testu: součet inverzních čtverců

Uvažujme periodické pokračování funkce z intervalu : $x^{2}$ $[-\pi,\pi)$

$f(x)=\left(\pi \left\{{\frac {x}{\pi }}\right\}\right)^{2},$

kde složené závorky označují zlomkovou část čísla . Je snadné najít rozšíření této funkce ve Fourierově řadě:

$f(x)\sim {\frac {\pi ^{2}}3}+4\součet \limits _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n} }{n^{2}}}\cos nx$

Dosazením a a použitím konvenčního a modifikovaného Diniho testu k ospravedlnění bodové konvergence získáme rovnosti: $x=0$ $x=\pi$

$\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n-1}}}{n^{2}}}={\frac {\pi ^ {2}}{12}}$

$\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ .

Viz také

Diniho teorém

Znaky konvergence řad
Pro všechny řádky	Nutná podmínka Cauchyho kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pro znaménko-pozitivní řady	Hlavní kritérium Srovnávací znamení Kummer znamení Gaussův znak Cauchyho radikální znamení Integrální funkce Znamení D'Alemberta mocenský znak logaritmické znamení Znamení Raabe Bertrandův znak Jametovo znamení Znamení Schlömilch Znamení Ermakova Znamení Lobačevského teleskopický znak Znamení Sapogov
Pro střídání sérií	Leibnizův znak
Pro řádky formuláře $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelův znak Znamení Dedekinda Znamení Dubois-Reymond Dirichlet znamení
Pro funkční série	Weierstrass znamení
Pro Fourierovy řady	Znamení Dini Znamení de la Vallée Poussin Jordánsko znamení Jungův znak Znamení Salem Lebesgue znamení Znamení Lebesgue-Gergen Znamení Martsinkeviče