Hladká funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. dubna 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Hladká funkce nebo spojitě diferencovatelná funkce je funkce , která má spojitou derivaci na celé definiční množině. Hladké funkce velmi často znamenají funkce, které mají spojité derivace všech řádů.

Základní informace

Uvažovány jsou také hladké funkce vyšších řádů, totiž funkce s řádem hladkosti má spojité derivace všech řádů až po a včetně (derivace nultého řádu je funkce samotná). Takové funkce se nazývají - hladké . Sada funkcí -smooth definovaných v doméně je označena . Zápis znamená, že pro všechny se takové funkce nazývají nekonečně hladké ( někdy hladkými funkcemi znamenají přesně nekonečně hladké). Někdy se používá i zápis nebo , což znamená , že je analytický . $r\geqslant 0$ $r$ $r$ $r$ $\Omega$ $C^{r} (\Omega)$ $f\in C^{\infty } (\Omega)$ $f\in C^{r} (\Omega)$ $r$ $f\in C^{\omega }(\Omega )$ $f\in C^{a}(\Omega )$ $F$

Například, je množina funkcí, které jsou spojité na, a je množina funkcí, které jsou spojitě diferencovatelné na , tj. funkce, které mají spojitou derivaci v každém bodě této oblasti. $C^{0}(\Omega)$ $\Omega$ $C^{1}(\Omega)$ $\Omega$

Pokud není zadáno pořadí hladkosti, pak se obvykle předpokládá, že stačí dát smysl všem operacím prováděným s funkcí v průběhu aktuálního argumentu.

Aproximace analytickými funkcemi

Nechť je region v a , . Dovolit být posloupnost kompaktních podmnožin takové, že , a . Dovolit je libovolná posloupnost kladných celých čísel a . Nakonec nechť je libovolná posloupnost kladných čísel. Pak existuje reálně-analytická funkce definovaná tak, že pro jakoukoli nerovnost $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f\in C^{k} (\Omega)$ $0\leqslant k\leqslant \infty$ $\{K_{p}\}$ $\Omega$ $K_{0}=\varnothing$ $K_{p}\subset K_{{p+1}}$ $\bigcup K_{p}=\Omega$ $\{n_{p}\}$ $m_{p}=\min(k,\;n_{p})$ $\{\varepsilon _{p}\}$ $G$ $\Omega$ $p\geqslant 0$

\|fg\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\obrácené lomítko K_{p}})}<\varepsilon _{p},

kde označuje maximum norem (ve smyslu jednotné konvergence , tj. maximální modul na množině ) derivací funkce všech řádů od nuly do včetně. $\|fg\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\obrácené lomítko K_{p))))}$ ${K_{p+1}\obrácené lomítko K_{p}}$ $fg$ ${m_{p))$

Zlomková hladkost

Pro jemnou analýzu tříd diferencovatelných funkcí je také zaveden koncept zlomkové hladkosti v bodě nebo Hölderův exponent , který zobecňuje všechny výše uvedené koncepty hladkosti. Funkce patří do třídy , kde je nezáporné celé číslo a pokud má derivace do řádu včetně a je Hölder s exponentem . $F$ $C^{{r,\;\alpha }}$ $r$ $0<\alpha \leqslant 1$ $r$ $f^{{(r)}}$ $\alpha$

V překladové literatuře se spolu s termínem „Hölderův exponent“ používá termín „Lipschitzův exponent“.

Hladká funkce

Základní informace

Aproximace analytickými funkcemi

Zlomková hladkost

Viz také