Hadamardovo lemma

Hadamardovo lemma ( anglicky Hadamard's lemma , francouzsky Lemme de Hadamard ) je výrok popisující strukturu hladké reálné funkce. Pojmenováno po francouzském matematikovi Jacquesu Hadamardovi [1] .

Dovolit je funkce třídy , kde , definované v konvexní okolí bodu . Pak existují funkce třídy , definované v , takže rovnost platí pro všechny [1] $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle C^{r))$ $r\geqslant 1$ $U$ $0$ $g_{1},\;\ldots ,\;g_{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $C^{r-1}$ $U$ $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\in U$

f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=f(0)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{ i}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}),\quad g_{i}(0)={\frac {\částečné f}{\částečné x_{i))}(0 ).

Pokud je funkce analytická, pak jsou funkce ve výše uvedeném vzorci analytické. $F$ ${\displaystyle g_{1},\;\ldots ,\;g_{n))$

Zobecněné znění

Hadamardovo lemma lze formulovat v obecnější podobě, kdy některé z proměnných hrají roli parametrů:

Dovolit být funkce třídy , kde , definované v konvexní okolí bodu , a . Pak jsou funkce třídy definované v tak, že rovnost platí pro všechny $f(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle C^{r))$ $r\geqslant 1$ $U$ $0$ $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ $y=(y_{1},\;\ldots ,\;y_{m})$ $g_{1}(x,\,y),\;\ldots ,\;g_{n}(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R } ^{m}\to \mathbb {R}$ $C^{r-1}$ $U$ $(x,\,y)\in U$

f(x,\,y)=f(0,\,y)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{i}(x,\, y),\quad g_{i}(0,\,y)={\frac {\částečné f}{\částečné x_{i))}(0,\,y).

Důkaz .

Uvažujme pomocnou funkci , kde je další reálná proměnná (parametr). Necháme projít hodnoty ze segmentu , pak funkce uvažovaná jako funkce pro každou pevnou hodnotu parametru běží v prostoru funkcí proměnných nějakou křivku s konci a . $f(tx,\,y)=f(tx_{1},\,\ldots ,\,tx_{n},\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $t$ $t$ $[0,\,1]$ $f(tx,\,y)$ $\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R}$ $t$ $n+m$ $f(0,\,y)$ $f(x,\,y)$

Pokud vezmeme v úvahu funkci proměnné v závislosti na parametrech a a použijeme Newton-Leibnizův vzorec , můžeme napsat: $f(tx,\,y)$ $t$ ${\displaystyle x\in R^{n))$ ${\displaystyle y\in R^{m))$

f(x,\,y)-f(0,\,y)=\int _{0}^{1}{\frac {df(tx,\,y)}{dt))\, dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\částečné f}{\částečné x_{i))}(tx, \,y)\,dt=\součet _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x,\,y),

kde

g_{i}(x,\,y):=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i))}(tx,\,y) \,dt.

Požadovaná hladkost funkcí vyplývá ze známé věty o derivaci integrálu v závislosti na parametru, která je prokázána v průběhu matematické analýzy. $g_{i}(x,\,y)$

Aplikace

Hadamardovo lemma nám umožňuje získat řadu užitečných důsledků, které nacházejí uplatnění v různých odvětvích matematiky, především v teorii singularit .

Morseovo lemma lze snadno dokázat pomocí Hadamardova lemmatu .
Dalším užitečným důsledkem Hadamardova lemmatu (v jeho zobecněné podobě) je, že pokud zárodek hladké funkce zmizí na nadrovině , pak může být reprezentován jako kde je nějaká hladká funkce. $f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $x=0$ $f=x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),$ $G$
To znamená, že zárodek jakékoli hladké funkce má reprezentaci , kde a jsou hladké funkce. $f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_ {m}),$ $f_{0}=f(0,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $G$
Pomocí indukce je také snadné získat obecnější představu odtud:

f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,f_{1}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{ m})+\ldots +x^{n}\,f_{n}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x^{n+1}\,g(x, \,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),

kde a jsou hladké funkce a je libovolné přirozené číslo. $f_{i}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $G$ $n$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Zorich V.A. Matematická analýza.

Literatura

Zorich V.A. Matematická analýza.
Pavlova N.G., Remizov A.O. Úvod do teorie singularity . - M. : MIPT, 2022. - 181 s. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .