Znamení Raabe

Raabeho znak ( Raabe-Duhamelův znak ) je znakem konvergence znaménko-pozitivních číselných řad , založených v roce 1832 Josephem Ludwigem Raabe [ 1] a nezávisle v roce 1839 Jean-Marie Duhamelem [2] .

Formulace

Řada konverguje, pokud pro dostatečně velkou nerovnost $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n$

R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-1\right)\geqslant r,

kde . $r>1$

Jestliže , počínaje nějakým , pak se řada rozchází. $R_{n}\leqslant 1$ $n$ $a_n$

Pokud existuje limit:

R=\lim _{{n\to \infty }}R_{n}

pak pro , řada konverguje a pro , diverguje. $R>1$ $R<1$

Komentář. Jestliže , pak Raabeho kritérium neodpovídá na otázku o konvergenci řady. $R=1$

Důkaz je založen na použití kritéria pro porovnávání vztahů ve srovnání se zobecněnou harmonickou řadou.

Pro kritérium v omezujícím tvaru dává 2, což znamená konvergenci řady. $\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}$

D'Alembertův test konvergence je podobný test založený na poměru sousedních členů.

↑ JL Raabe. Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Reihen (německy) // Zeitschrift für Physik und Mathematik. - 1832. - Bd. 10 . - S. 41-74 .
↑ M. Duhamel. Nouvelle règle pour la convergence des séries (francouzsky) // J. de mathématiques pures et appliquées. - 1839. - Sv. 4 . - S. 214-221 .

Arkhipov, G. I., Sadovnichiy, V. A., Chubarikov, V. N. Přednášky o matematické analýze: Učebnice univerzit a ped. univerzity / Ed. V. A. Sadovnichy. - M . : Vyšší škola , 1999. - 695 s. - ISBN 5-06-003596-4 . .
I. M. Vinogradov. Raabe sign // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)

Weisstein, Eric W. Raabe's Test (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Znaky konvergence řad
Pro všechny řádky	Nutná podmínka Cauchyho kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pro znaménko-pozitivní řady	Hlavní kritérium Srovnávací znamení Kummer znamení Gaussův znak Cauchyho radikální znamení Integrální funkce Znamení D'Alemberta mocenský znak logaritmické znamení Znamení Raabe Bertrandův znak Jametovo znamení Znamení Schlömilch Znamení Ermakova Znamení Lobačevského teleskopický znak Znamení Sapogov
Pro střídání sérií	Leibnizův znak
Pro řádky formuláře $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelův znak Znamení Dedekinda Znamení Dubois-Reymond Dirichlet znamení
Pro funkční série	Weierstrass znamení
Pro Fourierovy řady	Znamení Dini Znamení de la Vallée Poussin Jordánsko znamení Jungův znak Znamení Salem Lebesgue znamení Znamení Lebesgue-Gergen Znamení Martsinkeviče