Teleskopický znak

Teleskopický znak ( Cauchyho ztlušťovací znak ) je znakem konvergence číselné řady s kladnými členy, kterou založil Augustin Cauchy v roce 1821 [1] .

Formulace

Pro členy série nechť platí následující : $f(n)$

sekvence monotónně klesá $\{f(n)\}$
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - členové jsou nezáporní

Pak řada konverguje nebo diverguje současně s řadou . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$

Důkaz

1. Podle podmínek věty je posloupnost členů monotónně klesající, tzn. žádný člen posloupnosti nesmí být menší než každý následující, což znamená, že součet členů počínaje , nepřesahuje : $\{f(n)\}$ $m$ $f(n)$ $m\cdot f(n)$

\sum _{i=n}^{n+m-1}f(i)\leq m\cdot f(n)

Seskupíme členy řady a pomocí této vlastnosti klesající posloupnosti dostaneme: $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }f(n)&=f(1)+\underbrace {f(2)+f(3)} _{\leq f(2)+f(2)}+\závorka {f(4)+f(5)+f(6)+f(7)} _{\leq f(4)+f(4)+f( 4)+f(4)}+\cdots +\underbace {f(2^{n})+f(2^{n}+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1) } _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+\cdots +f(2^{n})}+\cdots \\&\leq f(1)+2f( 2)+4f(4)+\cdots +2^{n}f(2^{n})+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^ {n}).\end{aligned}}

To znamená, že pokud řada konverguje, pak podle srovnávacího kritéria řada konverguje tím více. $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

2. Podobně:

{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=\underbrace {f(1)+f(2)} _{\leq f(1)+f(1)}+\závorka {f(2)+f(4)+f(4)+f(4)} _{\leq f(2)+f(2 )+f(3)+f(3)}+\cdots +\underbrace {f(2^{n})+f(2^{n+1})+\cdots +f(2^{n+1 })} _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+f(2^{n}+1)+f(2^{n}+1)+\cdots + f(2^{n+1}-1)}+\cdots \\&\leq f(1)+f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3) +\cdots +f(n)+f(n)+\cdots =2\součet _{n=1}^{\infty }f(n).\end{aligned))

To znamená, že pokud se řada rozchází, pak se podle srovnávacího kritéria řada rozchází ještě více. $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq 2\součet _{n=1}^{\infty }f(n).

■

Zobecnění

V roce 1864 Joseph Bertrand ukázal, že místo řady v této větě lze použít jakoukoli řadu ve tvaru: [2] $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$

\sum _{n=0}^{\infty }m^{n}f(m^{n})

, kde

m\in \mathbb {N} ,m\geq 2

V roce 1902 Émile Borel dále rozšířil tuto větu použitím řady tvaru místo řady: [3] $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$

\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}f([a]^{n})

, kde

a\in \mathbb {R} ,a>1

Zde je celočíselná část . $[A]$ $A$

Schlömilchův kondenzační znak

V roce 1873 Oskar Schlömilch dokázal další zobecnění teleskopického prvku [4] :

Pro členy série nechť platí následující : $f(n)$

sekvence monotónně klesá $\{f(n)\}$
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - členové jsou nezáporní

Pak řada konverguje nebo diverguje současně s řadou a . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty }(2n-1)\cdot f(n^{2})$ $\sum _{n=1}^{\infty }2n\cdot f(n^{2})$

Knoppův znak kondenzace

Konrad Knopp ve své knize z roku 1922 formuloval následující zobecnění teleskopického prvku.

Nechat:

$\{f(n)\}$ je monotónně klesající posloupnost (pojmy řady)
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - sekvence je nezáporná
$\{u_{n}\}$ je nějaká přísně rostoucí sekvence
$u_{n}\in \mathbb {N}$ (což znamená ) $u_{n}>0$ $\forall n$
sekvence omezená $\{r_{n}\}=\left\{{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}-u_{n-1}}}\right\}$

Pak řada konverguje nebo diverguje současně s řadou . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n+1}-u_{n})f(u_{n})$

Tato věta je někdy připisována Schlömilchovi [5] .

Uvažujeme-li například posloupnost , která splňuje požadavky věty pro libovolnou pevnou , pak podle této věty řada konverguje nebo diverguje současně s řadou , a protože násobení řady nenulovou konstantou neovlivní její konvergence, původní řada konverguje nebo diverguje současně s řadou při libovolné zvolené konstantě . $u_{n}=c^{n}$ $c\in \mathbb {N} \setminus \{1\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $(c-1)\sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})$ $c\in \mathbb {N} ,\;c\neq 1$

Poznámky

↑ Cauchy AL I.re partie: Analyse algébrique // Cours d'analyse de l'École royale polytechnique. Paříž: Impr. royale Debure frères, 1821. - s. 135-136. — 576 s.
↑ Bertrand J. Premiere Party. Calcul Différentiel // Traité de Calcul Différentiel et de Calcul Intégral (francouzsky) . - Paříž: Gauthier-Villars, 1864. - S. 234-235. — 780 s.
↑ Borel E. Leçons sur les Séries a Termes Positifs (francouzsky) . - Paříž: Gauthier-Villars, 1902. - 91 s.
↑ Schlömilch O. Ueber dei gleichzeitige Convergenz oder Divergenz zweier Reihen (německy) // ZfMuP. - 1873. - Bd. b28 . - S. 425-426 .
↑ Bonar, Khoury, 2006 , Věta 2.4 s důkazem.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Cauchy Condensation Test (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
D. D. Bonar a M. Khoury, Jr. Více sofistikovaných technik // Real Infinite Series . - Washington DC: Mathematical Association of America, 2006. - s . 43-45 . — 264 s. — ISBN 0-88385-745-6 .

Znaky konvergence řad
Pro všechny řádky	Nutná podmínka Cauchyho kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pro znaménko-pozitivní řady	Hlavní kritérium Srovnávací znamení Kummer znamení Gaussův znak Cauchyho radikální znamení Integrální funkce Znamení D'Alemberta mocenský znak logaritmické znamení Znamení Raabe Bertrandův znak Jametovo znamení Znamení Schlömilch Znamení Ermakova Znamení Lobačevského teleskopický znak Znamení Sapogov
Pro střídání sérií	Leibnizův znak
Pro řádky formuláře $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelův znak Znamení Dedekinda Znamení Dubois-Reymond Dirichlet znamení
Pro funkční série	Weierstrass znamení
Pro Fourierovy řady	Znamení Dini Znamení de la Vallée Poussin Jordánsko znamení Jungův znak Znamení Salem Lebesgue znamení Znamení Lebesgue-Gergen Znamení Martsinkeviče