Lipschitzovo mapování

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. ledna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Lipschitzovo mapování ( Lipschitz mapping [1] , také -Lipschitz mapping ) je zobrazení , které zvětšuje vzdálenost mezi obrazy bodů nejvíce o časy, kde se nazývá Lipschitzova konstanta dané funkce. Pojmenována po Rudolfu Lipschitzovi . $L$ $L$ $L$

Definice

Zobrazení z metrického prostoru do metrického prostoru se nazývá Lipschitz, pokud existuje taková konstanta ( Lipschitzova konstanta tohoto zobrazení), že pro jakýkoli . Tento stav se nazývá Lipschitzův stav . Mapa s (1-Lipschitz map) se také nazývá krátká mapa . $F$ $(X,\;\rho _{X})$ $(Y,\;\rho _{Y})$ $L$ $\rho _{Y}(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;y)$ $x,\;y\v X$ $L=1$

O Lipschitzově zobrazení se říká , že je bi- Lipschitz , pokud má inverzi , která je také Lipschitz. $f\dvojtečka X\to Y$ $f^{{-1}}\dvojtečka Y\to X$

Zobrazení se nazývá colipschitz , pokud existuje konstanta taková, že pro any a existuje taková, že . $f\dvojtečka X\to Y$ $L$ $x\in X$ $y\v Y$ $x'\in f^{{-1}}(y)$ $\rho _{Y}(f(x),\;y)\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;x')$

Historie

Mapování s vlastností:

|f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot }|xy|^{\alpha },\quad \alpha \leqslant 1

byla poprvé Lipschitzem považována v roce 1864 pro reálné funkce za dostatečnou podmínku pro konvergenci Fourierovy řady k její funkci. Následně se stalo zvykem nazývat tento stav Lipschitzovým stavem pouze pro , a pro - Hölderovým stavem . $\alpha=1$ $\alpha<1$

Vlastnosti

Jakékoli Lipschitzovo mapování je rovnoměrně souvislé .

Superpozice Lipschitze a integrovatelné funkce je integrovatelná.

( Lipschitzovo lemma ) Spojitě diferencovatelná funkce na kompaktní podmnožině euklidovského prostoru splňuje Lipschitzovu podmínku. Opačné tvrzení není pravdivé.

Rademacherův teorém říká, že jakákoli Lipschitzova funkce definovaná na otevřené množině v euklidovském prostoru je na něm diferencovatelná téměř všude.

Kirschbrownův teorém o rozšíření říká, že jakékoli -Lipschitzovo zobrazení z podmnožiny euklidovského prostoru do jiného euklidovského prostoru lze rozšířit na -Lipschitzovo zobrazení na celý prostor. $L$ $L$

Variace a zobecnění

Pojem Lipschitzovy funkce je přirozeně zobecněn na funkce s omezeným modulem spojitosti , protože Lipschitzova podmínka je ekvivalentní podmínce . $\omega (f,\;\delta )\leqslant L{\cdot }\delta$
Hölderův exponent

Poznámky

↑ Federer G. Teorie geometrické míry. - 1987. - 760 s.