Konvergence v Lp

Konvergence ve $L^{p}$ funkcionální analýze , teorii pravděpodobnosti a příbuzných disciplínách je typem konvergence měřitelných funkcí nebo náhodných veličin .

Definice

Nechť je prostor s mírou . Pak je prostor měřitelných funkcí takový, že jejich ta mocnina, kde , je Lebesgueova integrovatelná , je metrická . Metrika v tomto prostoru má tvar: $(X,\mathcal{F},\mu)$ $L^p\equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ $p$ $p\geqslant 1$

d(f,g) = \|f - g\|_p \equiv \left(\, \int\limits_X |f(x)-g(x)|^p\, \mu(dx)\, \right )^{1/p}

Nechť je dána sekvence . Potom říkáme, že tato posloupnost konverguje k funkci , pokud konverguje ve výše definované metrice , tj. $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$ $L^{p}$ $f \in L^p$

\lim\limits_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0

Napište: . Někdy používají i označení – z angl. Angličtina limit v průměru . $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f(x)=\mathop{\mathrm{lim}}_{n\to\infty} f_n(x)$

Z hlediska teorie pravděpodobnosti posloupnost náhodných proměnných konverguje ze stejného prostoru if $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\subset L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ $X$

\lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}|X_n-X|^p = 0

Napište: . $X_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} X$

Terminologie

Konvergence v prostoru se nazývá průměrná konvergence. $L^1$
Konvergence v prostoru se nazývá rms konvergence. $L^{2}$

Vlastnosti konvergence v $L^{p}$

Jedinečnost limitu. Pokud a , pak - téměř všude ( - téměř jistě ). $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} g$ $f = g$ $\mu$ $\mathbb {P}$

Prostor je plný . Pokud pro , pak existuje taková, že . $L^{p}$ $\|f_n-f_m\|_p \na 0$ $\min(n,m) \to \infty$ $f \in L^p$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$

Konvergence v implikuje konvergenci v míře ( v pravděpodobnosti ). Pokud , tak . $L^{p}$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$