Míra množiny

Míra množiny je číselná charakteristika množiny, intuitivně ji lze chápat jako hmotnost množiny s určitým rozložením hmoty v prostoru . Pojem míry množiny vznikl v teorii funkcí reálné proměnné při vývoji pojmu integrál [1] .

Ve skutečnosti je míra určitá numerická funkce , která přiřazuje každé množině (z určité rodiny množin) nějaké nezáporné číslo. Kromě toho, že je míra jako funkce nezáporná, musí mít také vlastnost aditivity — míra spojení disjunktních množin se musí rovnat součtu jejich mír. Je třeba poznamenat, že ne každá množina je měřitelná — pro každou funkci míry je obvykle míněna určitá rodina množin (nazývaná vzhledem k dané míře měřitelná), pro kterou míra existuje.

Speciálním případem míry je Lebesgueova míra pro podmnožiny , která zobecňuje pojem objemu , plochy nebo délky na případ množin, které jsou obecnější než jen ohraničené hladkým povrchem. $\mathbb {R} ^{n}$ $(n=3)$ $(n=2)$ $(n=1)$

Definice

Nechť je uvedena množina s nějakou rozlišenou třídou podmnožin , předpokládá se, že tato třída podmnožin je někdy kruhem množin nebo algebrou množin , v nejobecnějším případě semiringem množin . $X$ ${\mathcal {F}}$

Funkce se nazývá míra (někdy objem ), pokud splňuje následující axiomy: $\mu \colon {\mathcal {F}} \to [0,\;\infty ]$

$\mu (\varnothing )=0$ — míra prázdné sady je rovna nule;
Pro všechny nepřekrývající se sady $A,B\in {\mathcal {F)),$ $A\cap B=\varnonic$ $\mu (A\pohár B)=\mu (A)+\mu (B)$ — míra sjednocení disjunktních množin je rovna součtu mír těchto množin ( aditivita, konečná aditivita ).

První axiom je pohodlný, ale v jistém smyslu nadbytečný: stačí předpokládat, že existuje alespoň jedna množina s konečnou mírou, z čehož plyne, že míra prázdné množiny bude rovna nule (v opačném případě přičteme prázdná množina na jakoukoli množinu konečné míry by změnila míru, a to navzdory skutečnosti, že se množina nezměnila).

Z druhého axiomu (v případě kruhu množin) přímo vyplývá, že míra sjednocení libovolného konečného počtu disjunktních množin je rovna součtu mír těchto množin:

\mu \left(\bigcup \limits _{{i=1}}^{n}A_{i}\right)=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\mu (A_{ i})

V případě definice přes semiring množin se tato vlastnost konečné aditivity obvykle bere místo druhého axiomu, protože obecně konečná aditivita nevyplývá z párové aditivity [2] .

Počitatelně aditivní míra

(Konečná) aditivita míry obecně neznamená, že podobná vlastnost platí pro spočetné sjednocení disjunktních množin. Existuje zvláštní důležitá třída opatření nazývaná spočítatelně aditivní míry.

Nechť je dána množina s rozlišenou -algebrou . $X$ $\sigma$ ${\mathcal {F}}$

Funkce se nazývá spočetně aditivní (nebo -additivní ) míra , pokud splňuje následující axiomy: $\mu \colon {\mathcal {F}} \to [0,\;\infty ]$ $\sigma$

$\mu (\varnothing )=0.$
( -additivity ) If je spočetná rodina párově disjunktních množin z , to znamená , pak: $\sigma$ $\{E_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ $E_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,\;i\neq j$

\mu \left(\bigcup \limits _{{n=1}}^{\infty }E_{n}\right)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }\mu ( E_{n})

Poznámky

Pokud není výslovně uvedeno jinak, obvykle se předpokládá spočítatelná aditivní míra .
Je zřejmé, že jakákoli spočítatelně aditivní míra je konečně aditivní, ale ne naopak.
Je-li míra celého prostoru konečná, to znamená , pak se taková míra sama nazývá konečná . Jinak je míra nekonečná . $\mu (X)<\infty$

Množiny, které jsou měřitelné s ohledem na danou míru, obvykle tvoří svou vlastní podtřídu ve třídě všech podmnožin prostoru . A ačkoliv existuje několik obecných schémat, která umožňují rozšíření míry na velké třídy měřitelných souborů, někdy je rozšíření míry možné pouze za cenu ztráty jedinečných vlastností původní míry. Například Lebesgueova míra v konečných -dimenzionálních euklidovských prostorech je pod pohyby tohoto prostoru neměnná. Jakékoli rozšíření Lebesgueovy míry na třídu všech podmnožin euklidovského prostoru již nemůže být invariantní ani při samotných posunech (viz příklad neměřitelné množiny ). Takže z praktického hlediska taková pokračování ztrácejí veškerou hodnotu. $X$

Na rovné a dvourozměrné rovině existuje nekonečný počet rozšíření Lebesgueovy míry z Borelovy algebry do množiny všech ohraničených podmnožin, která zachovává konečnou aditivitu míry a taková, že kongruentní množiny mají stejnou míru. Počínaje dimenzí 3 je to nemožné. $\sigma$

Související definice

Trojice se nazývá prostor s mírou , pokud existuje měřitelný prostor a je na něm definovaná míra. $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $(X,\;{\mathcal {F}})$ $\mu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb{R}$
Jestliže je míra pravděpodobnosti , pak takový prostor s mírou se nazývá pravděpodobnostní prostor . $\mu$
Oporou opatření je nejmenší uzavřená množina , na kterou je opatření soustředěno. Nosič míry je obvykle označen . Přesněji je to doplněk k největší otevřené sadě takový, že . $\mu$ $\operatorname {supp} (\mu )$ $\operatorname {supp} (\mu )$ $\Omega$ $\mu (\Omega )=0$

Vlastnosti

Z definice vyplývá, že míra má alespoň tyto vlastnosti (předpokládá se, že míra je definována alespoň na poloměru množin):

Míra prázdné množiny je nula $\mu (\varnothing )=0$
- Tato vlastnost se buď předpokládá jako axiom v definici míry, nebo se předpokládá, že existuje alespoň jedna množina, jejíž míra je konečná . Z toho přímo vyplývá, že míra prázdné množiny musí být rovna nule (jinak přidáním prázdné množiny k množině konečné míry se míra této množiny zvětší, ačkoli se množina nezmění). Případ nekonečna míry všech množin není zajímavý a nemá praktický význam. Existence množin konečných měr je tedy implikována od počátku.
- Z rovnosti míry množiny k nule v obecném případě nevyplývá, že tato množina je prázdná. Je zvykem mluvit o množinách míry nula .

Monotonie - míra podmnožiny není větší než míra samotné množiny $A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\leqslant \mu (B)$

Jde o intuitivní vlastnost – čím „menší“ sada, tím menší její „velikost“.

Míra rozdílu vnořených množin je rovna rozdílu mír těchto množin $A\subseteq B\Šipka doprava \mu (B\obrácené lomítko A)=\mu (B)-\mu (A)$

Míra spojení dvou libovolných množin se rovná součtu mír těchto množin mínus míra jejich průniku (pokud je druhá definována): $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\cap B)$ ( vzorec zahrnutí-vyloučení )

Tudíž,

\mu (A\cup B)\leqslant \mu (A)+\mu (B)

Vlastnosti spočítatelně aditivních měr

Počitatelně aditivní míry, kromě těch, které jsou uvedeny, mají také následující vlastnosti.

Spojitost: míra limity nekonečné posloupnosti vnořených množin je rovna limitě posloupnosti mír těchto množin: $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}...\supseteq A=\bigcap _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \lim _{{n \rightarrow \infty }}\mu (A_{n})=\mu (A)$
- Předpokládá se zde, že míra první množiny je konečná.
Tato vlastnost platí také pro "obrácenou" sekvenci množin $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}...\subseteq A=\bigcup _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \lim _{{n \rightarrow \infty }}\mu (A_{n})=\mu (A)$

Počitatelná monotonie znamená, že míra podmnožiny počitatelného sjednocení množin není větší než součet mír těchto množin: $A\subseteq \bigcup _{{i=1}}^{\infty }A_{i}\Rightarrow \mu (A)\leqslant \sum _{{i=1}}^{\infty }\mu (A_ {i})$

Příklady

Jordanova míra je příkladem konečně aditivní míry.
Lebesgueova míra je příkladem spočítatelné aditivní míry.
Pravděpodobnost je příkladem konečné míry.
Hausdorffovo opatření
Borelská míra
Haarova míra
Ultrafiltr lze definovat jako konečné aditivní měření s hodnotami ve dvouprvkové sadě $\{0,1\}$

Pokračující opatření

Často je obtížné a zbytečné definovat míru explicitně na každé množině z odpovídající sigma-algebry (kruhové nebo algebry) množin, protože stačí definovat míru na nějaké třídě měřitelných množin a poté pomocí standardních postupů ( a za známých podmínek), pokračujte do kruhu, algebry nebo sigma-algebry množin generovaných touto třídou.

Pokračování z půlkruhu

Třída měřitelných množin ve své struktuře musí být kruh množin (pokud je míra aditivní) nebo sigma-algebra množin (pokud je míra spočetně aditivní), pro specifikaci míry však v obou případech stačí definovat jej na poloměru množin - pak lze v měření jedinečným způsobem pokračovat do minimálního okruhu (minimální sigma-algebry) množin obsahujících původní poloměr.

Nechť má počáteční třída měřitelných množin strukturu semiringu: obsahuje prázdnou množinu a pro libovolné množiny A a B z jejich rozdílu připouští konečné rozdělení na měřitelné množiny z , to znamená, že existuje konečná množina disjunktních množin z takové, že ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $C_{1},C_{2},...,C_{n}$ ${\mathcal {F}}_{0}$

A\setminus B=C_{1}\cup C_{2}\cup \dots \cup C_{n}

Nechť označí třídu všech podmnožin uvažovaného prostoru, které připouštějí konečné rozdělení na množiny z . Třída je uzavřena pod operacemi rozdílu, průniku a sjednocení množin, a je tedy prstencem množin obsahujících (a samozřejmě minimální). Jakákoli aditivní funkce zapnutá se může jednoznačně rozšířit na aditivní funkci zapnuta pouze tehdy, pokud jsou její hodnoty kompatibilní na . Tento požadavek znamená, že pro všechny kolekce disjunktních množin a z , pokud je jejich sjednocení stejné, musí být součet jejich mír také stejný: ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $\mu$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $B_{1},B_{2},...,B_{m}$ ${\mathcal {F}}_{0}$

Pokud , tak .

\bigcup \limits _{{i=1}}^{{n}}A_{i}=\bigcup \limits _{{j=1}}^{{m}}B_{j}

\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}\mu (A_{i})=\sum \limits _{{j=1}}^{{m}}\mu (B_{ j})

Příklad

Dovolit a být třídy měřitelných množin na prostorech a mající strukturu semiringu. Množiny tvaru , kde , tvoří poločást množin na prostoru . ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\mathcal {F}}_{2}$ $X_{1}$ $X_{2}$ $A\krát B$ $A\in {\mathcal {F}}_{1}$ $B\in {\mathcal {F}}_{2}$ ${\mathcal {F}}$ $X=X_{1}\krát X_{2}$

Jsou-li míry a uvedeny na a , pak je definována aditivní funkce při splnění požadavku na konzistenci. Jeho rozšíření na minimální obsah kruhu se nazývá přímý součin míry a označuje se . Pokud byly původní míry sigma-aditivní na svých definičních doménách, pak bude opatření také sigma-aditivní. Tato míra se používá v teorii vícenásobných integrálů (viz Fubiniho věta ). ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\mathcal {F}}_{2}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ ${\mathcal {F}}$ $\mu (A\krát B)=\mu _{1}(A)\mu _{2}(B)$ ${\mathcal {F}}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ $\mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ $\mu$

Variace a zobecnění

Jednou z možností zobecnění pojmu je náboj , který může nabývat záporných hodnot

Někdy je míra považována za libovolnou konečně aditivní funkci s rozsahem v abelovské pologrupě : pro spočetně aditivní míru je přirozeným rozsahem hodnot topologická abelovská pologrupa ( topologie je potřebná, abychom mohli mluvit o konvergence řady měr spočetného počtu měřitelných částí, na které je v definici spočetné aditivity rozdělena měřitelná množina). Příkladem nenumerické míry je míra s hodnotami v lineárním prostoru , zejména míra oceněná projektorem, která se podílí na geometrické formulaci spektrálního teorému .

Poznámky

↑ Sazonov V.V. Míra množiny // Matematická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie, 1982. - T. 3: Koo - Od. - S. 636. - 1184 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.
↑ Protipříklad pro případ semiringu: nechť = , = , a definujte funkci takto: , , , . Je snadné vidět, že zde platí párová aditivita a semiringové axiomy, ale žádná konečná aditivita neexistuje. $X$ $\{1,2,3,4\}$ ${\mathcal {F}}$ $\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{1,2\},X\}$ $\mu$ $\mu (\varnothing )=0$ $\mu (\{1\})=\mu (\{2\})=\mu (\{3\})=\mu (\{4\})=1$ $\mu (\{1,2\})=2$ $\mu (X) = 3$

Literatura

Vulikh, B. Z. Krátký kurz teorie funkcí reálné proměnné (úvod do teorie integrálu). — M .: Nauka, 1973. — 352 s.
Khalmosh P. Teorie opatření. - M .: Nakladatelství zahraniční literatury , 1953. - 282 s. http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3787 (kniha je v roce 2011 bibliografickou raritou)
A. N. Kolmogorov , S. V. Fomin Prvky teorie funkcí a funkční analýza Nauka, 1976.
Bogachev V. I. Základy teorie míry, 2. vydání, ve dvou svazcích, Research Center Regular and Chaotic Dynamics, Moskva-Iževsk, 2006.
Bogachev V. I., Smolyanov O. G. Reálná a funkční analýza. Vydavatelé: Research Center "Regular and Chaotic Dynamics", Institute for Computer Research, 2009. 724 s. ISBN 978-5-93972-742-6 .
Bogachev V.I., Gaussovy míry, Nauka, Moskva , 1997.
Bogachev V.I., Diferencovatelné míry a Mallyavinův kalkul, Výzkumné centrum Regular and Chaotic Dynamics, Moskva, 2008.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Velký sovět (1 ed.) Britannica (online) Universalis

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů