Poloskupina

Pologrupa v obecné algebře je množina s asociativní binární operací definovanou na tom . Existuje spor o to, zda by požadavek nonemptiness měl být zahrnut do definice pologrupy; někteří autoři dokonce trvají na potřebě neutrálního prvku („jeden“). Častějším přístupem však je, že pologrupa nemusí být nutně neprázdná a nemusí nutně obsahovat neutrální prvek. Pologrupa s neutrálním prvkem se nazývá monoid ; libovolnou pologrupu , která neobsahuje neutrální prvek, lze změnit na monoid přidáním nějakého prvku a definováním $(S,\cdot )$ $S$ $e\ne \in S$ $es=s=se\ \forall s\in S\cup \{e\};$ výsledný monoid je obvykle označován jako . $S^{1}$

Příklady pologrup: přirozená čísla s operací sčítání , množina všech zobrazení množiny do sebe s operací skládání , množina všech slov v nějaké abecedě s operací zřetězení . Jakákoli skupina je také pologrupa; Ideálem kruhu je vždy pologrupa pod operací násobení.

Definice

Pologrupa je (neprázdná) množina , ve které je pro libovolnou dvojici prvků braných v určitém pořadí definován nový prvek, nazývaný jejich součin , a pro libovolnou vždy [1] . ${\mathfrak {U}}$ $X,Y\in {\mathfrak {U}}$ $U=XY\in {\mathfrak {U}}$ $X,Y,Z\in {\mathfrak {U}}$ $(XY)Z=X(YZ)$

Typy pologrup

Pologrupa se nazývá komutativní (nebo abelovská ), pokud vždy platí pro any . ${\mathfrak {U}}$ $A,B\in {\mathfrak {U}}$ $AB=BA$

Důležité třídy tvoří pologrupy s redukcí [2] :

s levou kontrakcí , pokud některý z vždy implikuje ; $X,A,B\in {\mathfrak {U}}$ $XA=XB$ $A=B$
se správnou kontrakcí , pokud to vždy znamená ; $Y,A,B\in {\mathfrak {U}}$ $AY=BY$ $A=B$
s bilaterálním zrušením , pokud se jedná o pologrupu s levým i pravým zrušením současně.

Prvek pologrupy se nazývá regulární , pokud existuje prvek v takovém , že . Pologrupa, jejíž všechny prvky jsou pravidelné, se nazývá pravidelná pologrupa . $A$ ${\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $X$ $AXA=A$

Prvek pologrupy je řekl, aby byl úplně pravidelný , jestliže tam je prvek v takové , že a . Zcela pravidelná pologrupa je pologrupa, jejíž všechny prvky jsou zcela pravidelné [3] . $A$ ${\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $X$ $AXA=A$ $AX=XA$

Pologrupa , ve které pro všechny v vždy existují takové , že a , je skupina . ${\mathfrak {U}}$ $A,B\in {\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $X,Y$ $XA=B$ $AY=B$

Struktura semiskupiny

Jestliže , pak je obvyklé označovat . $A,B\podmnožina S$ $AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}$

Podmnožina pologrupy se nazývá podskupina , pokud je sama pologrupou s ohledem na omezení operace na podmnožinu. K tomu stačí, že pro kterékoli dva prvky z jejich produktu patří také . $A$ $S$ $A$ $A$

Pokud je podmnožina neprázdná a (respektive ) leží v , pak se nazývá pravý (respektive levý) ideál . Je-li levý i pravý ideál, pak se nazývá oboustranný ideál nebo jednoduše ideál. $A$ $AS$ $SA$ $A$ $A$ $A$

Průnik a spojení jakékoli rodiny podsemigrup je také podsemigrupou; z toho vyplývá, že podpologrupy tvoří úplnou mřížku . Příkladem pologrupy, ve které neexistuje žádný minimální ideál, jsou kladná celá čísla s operací sčítání. Pokud existuje nejméně ideální a pologrupa je komutativní, pak je to grupa.

Díky asociativitě lze správně definovat přirozený stupeň prvku pologrupy jako:

a^{n}={\overset {n}{\overbrace {a\cdot a\cdot \dots \cdot a)) }}

Pro stupeň prvku platí vztah pravdivý . $a^{{m+n}}=a^{m}\cdot a^{n},(a^{n})^{m}=a^{{nm}},\forall n,m\in {\mathbb N}$

Speciálním případem pologrup jsou pologrupy s dělením , ve kterých jsou pro každé dva prvky definovány pravý a levý podíl. $A$ $b$ $(a/b)$ $(b/a)$

Konečná pologrupa má vždy idempotent (prvek, pro který ). $aa=a$

Homomorfismus pologrupy je zobrazení, které zachovává strukturu pologrupy. Jmenovitě, zobrazení z pologrupy do pologrupy se nazývá homomorfismus, jestliže . Dvě pologrupy a jsou považovány za izomorfní , pokud existuje bijektivní homomorfismus . $F$ $R$ $S$ $\forall a,b\in S\ f(ab)=f(a)f(b)$ $S$ $T$ $f\dvojtečka S\to T$

Greenovy vztahy

V roce 1951 zavedl James Green pět základních vztahů ekvivalence na pologrupě. Ukázalo se, že jsou nezbytné pro pochopení pologrupy jak lokálně, tak globálně. Greenovy vztahy na pologrupě jsou definovány následujícími rovnicemi: $S$

aRb\Leftrightarrow aS^{1}=bS^{1}

aLb\Leftrightarrow S^{1}a=S^{1}b

aJb\Leftrightarrow S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}

H=L\cap R

D=R\vee L

Přímo z definice vyplývá, že jde o pravou kongruenci a levou kongruenci. Je také známo, že . Jedním z nejzákladnějších tvrzení v teorii pologrup je Greenovo lemma, které říká, že jsou-li prvky a R-ekvivalentní, , takové, že , a jsou odpovídající posuny doprava, pak jde o vzájemně inverzní bijekce na a naopak. Zachovávají si také třídy H. $R$ $L$ $D=R\circ L=L\circ R$ $A$ $b$ $u$ $proti$ $au=b$ $bv=a$ $p_{u},p_{v}$ $p_{u},p_{v}$ $Los Angeles}$ $L_{b}$

Poznámky

↑ Ljapin, 1960 , str. 28.
↑ Ljapin, 1960 , str. 29.
↑ Ljapin, 1960 , str. 104.

Literatura

Ševrin L.N. Kapitola IV. Pologrupy // Obecná algebra / Pod obecným. vyd. L. A. Skornyaková . - M .: Nauka , 1991. - T. 2. - S. 11-191. — 480 s. — (Referenční matematická knihovna). — 25 000 výtisků. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Lyapin E. S. Semigroups. - M. : Fizmatlit, 1960. - 592 s.