Shoda

Kongruence je vztah ekvivalence na algebraickém systému , který je zachován při základních operacích. Koncept hraje důležitou roli v univerzální algebře : každá kongruence generuje odpovídající faktorový systém - rozdělení původního algebraického systému do tříd ekvivalence s ohledem na kongruenci.

Definice

Relace na množině se nazývá stabilní s ohledem na -ární operaci definovanou na této množině, jestliže pro některé prvky ( ) množiny pravdivost vztahu ( ) vyplývá z pravdivosti relace . $\theta(x_1, \ldots, x_m)$ $A$ $n$ $F$ $a_{i1}, \ldots, a_{im}$ $i = 1, \ldots, n$ $A$ $\theta(a_{i1}, \ldots, a_{im})$ $i = 1, \ldots, n$ $\theta(f(a_{11}, \ldots, a_{n1}), \ldots, f(a_{1m}, \ldots, a_{nm}))$

Vztah se nazývá kongruence na algebraickém systému , pokud je stabilní vzhledem ke každé hlavní operaci systému . (S touto definicí koncept kongruence nezávisí na základních vztazích systému .) $\theta$ $\mathfrak A$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}$

Faktorový systém

Pro algebraický systém na kvocientové množině se kongruencí pro všechny operace a vztahy přirozeně zavádějí operace a vztahy nad odpovídajícími kosetami: $\mathfrak A = (A, \mathit\Phi, \mathit\Rho)$ $A / \theta$ $\theta \subseteq A^2$ $f_i \in \mathit\Phi$ $r_i \in \mathit\Rho$

f_i^\hvězda ([a_1]_\theta, \tečky, [a_n]_\theta) = [f_i(a_1, \tečky, a_n)]_\theta

r_i^\star ([a_1]_\theta, \tečky, [a_m]_\theta) \Leftrightarrow \exists(b_1\in[a_1]_\theta, \dots, b_m\in[a_m]_\theta) r_i(b_1; \tečky, b_m)

Výsledný systém se označuje a nazývá se faktorový systém a mapa definovaná pravidlem se nazývá kanonický epimorfismus . $\mathfrak{A} / \theta$ $h_\theta \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{A} / \theta$ $h_\theta(a) = [a]_\theta$

Množina všech kongruencí tohoto systému tvoří úplnou mřížku s ohledem na operace sjednocení a průniku a také definuje vztah inkluze: $\mathrm{Con}(\mathfrak{A})$

\theta_1 \leqslant \theta_2 \Šipka doleva \forall a, b \in A \, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b

Pro libovolnou množinu kongruencí daného algebraického systému platí následující výsledek ( Remakova věta ): faktorový systém přes průnik množiny kongruencí se vloží do přímého součinu faktorových systémů nad každou z kongruencí množiny: $\{\theta_i, i \in I\} \subseteq \mathrm{Con}(\mathfrak{A})$

\mathcal{A} / \bigcap_{i \in I}{\theta_i} \hookrightarrow \prod_{i \in I}{\mathfrak{A} / \theta_i}

Literatura

Artamonov V.A. Kapitola VI. Univerzální algebry // Obecná algebra / Ed. vyd. L. A. Skornyaková . - M .: Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referenční matematická knihovna). — 25 000 výtisků. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Maltsev, A. I. Algebraické systémy. — M .: Nauka , 1970. — 392 s. - 17 500 výtisků.