Algebraický systém

Algebraický systém v univerzální algebře je neprázdná množina ( nositel ) s množinou operací a vztahů ( signatura ), která je na ní uvedena. Algebraický systém s prázdnou množinou vztahů se nazývá algebra a systém s prázdnou množinou operací se nazývá model . $G$

$n$ -ary operation on je mapování přímého součinu instancí množiny na množinu samotnou . Podle definice je nulová operace jednoduše rozlišujícím prvkem množiny. Nejčastěji se uvažuje o unárních a binárních operacích, protože se s nimi snadněji pracuje, ale vzhledem k potřebám topologie , algebry , kombinatoriky se postupně hromadí technika práce s operacemi větší arity , zde jako příklad uvádíme umí citovat teorii operád (klonů multilineárních operací) a algeber nad nimi ( algeber s více operátory ) . $G$ $n$ $G^{n}\to G$

Koncept vyvstal z pozorování obecnosti konstrukcí charakteristických pro různé obecné algebraické struktury, jako jsou grupy , kruhy , svazy ; konkrétně se jedná o konstrukce podsystému (zobecňující pojmy podgrupa , podkruh , podmřížka ), homomorfismus , izomorfismus , faktorový systém (zobecňující, respektive konstrukci grupy faktů , faktorového kruhu , faktorové mřížky ). Tato obecnost je studována v samostatné sekci obecné algebry - univerzální algebře , přičemž je získána řada smysluplných výsledků, které jsou charakteristické pro jakékoli algebraické systémy, například taková je věta o homomorfismu , která v případě algebraického systému bez daného vztahy - algebra - je zjemněna na teorémy izomorfismu známé dříve z teorie grup a teorie prstenů .

V matematice, pojem “ algebraické struktury ” je také používán s měnícími se stupni přísnosti . Zejména Bourbaki to formalizuje jako soubor obdařený operacemi; v tomto případě množina obdařená vztahy (jejichž přítomnost je u algebraického systému možná) je již považována za matematickou strukturu jiného druhu - uspořádanou strukturu . Ne všechny algebraické struktury jsou však popsány algebraickými systémy bez dalších konstrukcí, jako příklad lze uvést koalgebry , bialgebry , Hopfovy algebry a komoduly nad nimi; navíc, dokonce i k definování takových klasických struktur, jako je modul nad kruhem nebo algebra nad polem , používá univerzální algebra takové umělé konstrukce jako definici pro každý prvek kruhu (pole) unární operace násobení tímto prvkem.

Hlavní třídy algebraických systémů

Množinu lze považovat za degenerovaný algebraický systém s prázdnou množinou operací a vztahů [1] .

Grupoidy, pologrupy, grupy

Groupoid je množina s jednou binární operací , obvykle nazývaná násobení . $\cdot :G\krát G\to G$
Pravá kvazigrupa je grupoid, ve kterém je možné pravé dělení, to znamená, že rovnice má jedinečné řešení pro libovolné a . $x\cdot a=b$ $A$ $b$
Kvazigrupa je pravá i levá kvazigrupa.
Smyčka je kvazigrupa s neutrálním prvkem tak, že . $e\in G$ $a\cdot e=e\cdot a=a$
Pologrupa je grupoid, ve kterém je násobení asociativní : . $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
Monoid je pologrupa s neutrálním prvkem.
Skupina je monoid, ve kterém lze pro každý prvek a ze skupiny definovat inverzní prvek a −1 tak, že . $a\cdot a^{{-1}}=a^{{-1}}\cdot a=e$
Abelovská skupina je skupina, ve které je operace komutativní , to znamená . Operace na abelovské skupině se často nazývá sčítání ('+'). $a\cdot b=b\cdot a$

Prsteny

Kruh je struktura se dvěma binárními operacemi (abelovská grupa sčítáním s danou druhou asociativní binární operací, násobením), ve které je splněn zákon distributivity : . $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
Komutativní kruh je kruh s komutativním násobením.
Integrální kruh je kruh, ve kterém součin dvou nenulových prvků není roven nule.

Těleso je kruh, ve kterém nenulové prvky tvoří multiplikační grupu.
Pole je komutativní prstenec, který je tělesem.

Semiring je podobný prstenu, ale bez vratnosti sčítání.
Blízký kruh je také zobecněním kruhu, který se liší od běžného kruhu tím, že neexistuje požadavek, aby sčítání bylo komutativní, a neexistuje požadavek, aby násobení bylo distributivní přes sčítání (vlevo nebo vpravo)

Algebry

Algebra je lineární prostor s bilineární operací distributivního násobení, jinými slovy, kruh s konzistentní lineární prostorovou strukturou
Asociativní algebra - algebra s asociativním násobením
Algebra pojmů
Komutativní algebra
Stupňovaná algebra
Lieova algebra je algebra s antikomutativním násobením (obvykle označovaná ), která splňuje Jacobiho identitu $[a,b]$ $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$
Leibnizova algebra je algebra s násobením (obvykle označovaná ) splňující Jacobiho identitu $[a,b]$ $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$
Jordanova algebra je komutativní algebra se slabou asociativní identitou : $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x$
Nekomutativní jordánská algebra je nekomutativní algebra se slabou identitou asociativity: a identitou elasticity : $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x$ $x(yx)=(xy)x$
Alternativní algebra - Algebra s identitami $x^{2}y=x(xy),\quad yx^{2}=(yx)x$
Maltsevova algebra je antikomutativní algebra s identitou : $(xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x$
Komutativně-asociativní algebra
Algebra nad operdou je jedním z nejobecnějších typů algebraických systémů. Zde samotná opera hraje roli podpisu algebry.

Mřížky

Mříž je struktura se dvěma komutativními, asociativními, idempotentními operacemi, které splňují zákon absorpce .
Booleovská algebra .

Poznámky

↑ Kurosh A. G. Obecná algebra. — M.: Nauka, 1974. S.15

Literatura

Artamonov V.A. Kapitola VI. Univerzální algebry // Obecná algebra / Ed. vyd. L. A. Skornyaková . - M .: Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referenční matematická knihovna). — 25 000 výtisků. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Kon P. Univerzální algebra. - M .: Mir , 1969. - 351 s.
Maltsev AI Algebraické systémy. — M .: Nauka , 1970. — 392 s. - 17 500 výtisků.