Hopfova algebra

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. září 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Hopfova algebra je asociativní algebra nad polem , která má jednotku a je také koasociativní koalgebra s counit (tedy je to bialgebra ) se speciální formou antihomomorfismu . Pojmenován po Heinzi Hopfovi .

Hopfovy algebry se vyskytují v algebraické topologii , kde poprvé vznikly v souvislosti s konceptem H-prostoru , v teorii grupových schémat , v teorii grup (díky konceptu grupového kruhu ) a dále. Jejich častý výskyt z nich dělá jeden z nejznámějších příkladů bialgeber . Hopfovy algebry jsou také studovány jako samostatný objekt v souvislosti s velkým počtem určitých tříd Hopfových algeber a problémy jejich klasifikace.

Definice

Hopfova algebra je asociativní a koasociativní bialgebra H nad polem spolu s -lineárním zobrazením (nazývaným antipod ), takže následující diagram je komutativní : $K$ $K$ $S\dvojtečka H\to H$

Zde Δ je násobení bialgebry, ∇ je její násobení, η je její jednotka a ε je její součet. Ve Svidlerově zápisu lze tuto vlastnost vyjádřit také jako:

S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon (c)1\qquad \forall c\in H

Výše uvedenou definici lze zobecnit na algebry nad kruhy (stačí nahradit pole v definici komutativním kruhem ). $K$ $R$

Definice Hopfovy algebry je sama o sobě duální (to se odráží v symetrii výše uvedeného diagramu), konkrétně prostor duální k H (který lze vždy definovat, pokud je H konečnorozměrný ) je automaticky Hopfova algebra.

Vlastnosti antipodu

Antipod S je někdy vyžadován mít R - lineární inverzi, která je automatická v konečném-dimenzionálním případě, nebo jestliže H je komutativní nebo kokomutativní (nebo obecněji kvazi -trojúhelníkový ).

Obecně řečeno, S je antihomomorfismus [1] , takže S 2 je homomorfismus , což je tedy automorfismus , pokud S bylo invertibilní (jak by mohlo být požadováno).

Jestliže , pak se o Hopfově algebře říká, že je zapletená (a základní algebra se zapletením je *-algebra ). Jestliže H je konečná-dimenzionální semijednoduchá algebra s ohledem na pole charakteristické nuly, komutativní nebo kokomutativní, pak se jedná o složitou algebru. $S^{2}=Id$

Jestliže bialgebra B připouští antipod S , pak S je jednoznačné ("bialgebra připouští strukturu nejvýše 1 Hopfovy algebry"). [2]

Antipod je analogický s mapováním inverze na skupině, která posílá do . [3] $G$ $g^{{-1}}$

Hopfovy subalgebry

Subalgebra A Hopfovy algebry H je Hopfova subalgebra, pokud je subkoalgebrou H a antipod S mapuje A až A. Jinými slovy, Hopfova subalgebra A je podprostor v Hopfově algebře, který je uzavřen pod násobením, násobením a antipodem. Nichols- Zellerův teorém o svobodě ( 1989 ) říká, že jakýkoli přirozený R - modul má konečnou hodnost a je volný , pokud je H konečně-rozměrný, což dává zobecnění Lagrangeova teorému pro podgrupy . V důsledku této teorie je Hopfova subalgebra polojednoduché konečné-dimenzionální Hopfovy algebry automaticky polojednoduchá.

Hopfova subalgebra A se nazývá pravá normální subalgebra Hopfovy algebry H , pokud splňuje podmínku stability pro všechna h z H , kde adjungovaný účinek je definován jako pro všechna a z A ah z H . Podobně je Hopfova subalgebra K ponechána normální v H , pokud je invariantní při levé konjugaci, definované jako pro všechna k v K . Obě podmínky normality jsou ekvivalentní, pokud je antipod S bijektivní. V tomto případě se říká, že A = K je normální Hopfova subalgebra. $ad_{r}(h)(A)\subseteq A$ ${\displaystyle ad_{r))$ ${\displaystyle ad_{r}(h)(a)=S(h_{(1)})ah_{(2)))$ $ad_{\ell }(h)(k)=h_{(1)}kS(h_{(2)})$

Normální Hopfova subalgebra A v H splňuje podmínku (rovnost podmnožin H ): , kde označuje jádro counitu K . Tato podmínka normality implikuje, že jde o Hopfův ideál algebry H (to znamená, že jde o ideál algebry v jádru obce, koideál coalebry, a je stabilní při působení antipodu). V důsledku toho jsou definovány algebra Hopfova faktoru a epimorfismus , podobně jako odpovídající konstrukce normálních podgrup a skupin faktorů v teorii grup . [čtyři] $HA^{+}=A^{+}H$ ${\displaystyle A^{+))$ $HA^{+}$ $H/HA^{+}$ $H\rightarrow H/A^{+}H$

Příklady

Skupinová algebra . Nechť G je skupina . Algebra RG je asociativní algebra nad R s identitou. Pokud definujeme
Δ : RG → RG ⊗ RG , Δ( g ) = g ⊗ g pro libovolné g z G ,
ε : RG → R , ε ( g ) = 1 pro libovolné g z G ,
S : RG → RG , S ( g ) = g −1 pro libovolné g z G ,

pak se z R G stane Hopfova algebra.

Čínský znakový diagram je souvislý graf s pouze trivalentními vrcholy, s výrazným orientovaným cyklem (Wilsonova smyčka) a pevným cyklickým pořadím trojice hran, které vycházejí z každého vrcholu, který neleží na Wilsonově smyčce. Skupina čínských řádových diagramů je volný -modul generovaný -vertexovými diagramy (které jsou uvažovány až do přirozené ekvivalence), faktorizovaný submodulem generovaným všemi možnými -relacemi [5] . $i$ $G$ $2i$ $STU$

Cohomologie Lieových grup

Cohomologická algebra Lieovy grupy je Hopfova algebra: násobení je standardním součinem v cohomologickém kruhu a násobení má tvar

H^{*}(G)\rightarrow H^{*}(G\times G)\cong H^{*}(G)\otimes H^{*}(G)

na základě skupinového násobení . Toto pozorování bylo vlastně původem pojmu Hopfova algebra. Pomocí této struktury Hopf dokázal strukturní teorém pro kohomologickou algebru Lieových grup. $G\times G\rightarrow G$

Hopfova věta [6] Nechť A je konečnorozměrná stupňovaná komutativní kokomutativní Hopfova algebra nad polem charakteristiky 0. Pak A (jako algebra) je volná vnější algebra s generátory lichého stupně.

Kvantové skupiny

Všechny výše uvedené příklady jsou buď komutativní (tj. násobení je komutativní ) nebo kokomutativní (tj. Δ = T ∘ Δ , kde T : H ⊗ H → H ⊗ H je permutace tenzorových faktorů definovaných jako T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x ) . Dalšími zajímavými příklady Hopfových algeber jsou některé deformace nebo " kvantizace " příkladu 3, které nejsou ani komutativní, ani kokomutativní. Tyto Hopfovy algebry jsou často označovány jako „ kvantové skupiny “. Myšlenka je tato: obyčejnou algebraickou grupu lze popsat pomocí Hopfovy algebry regulárních funkcí. O deformaci této Hopfovy algebry pak můžeme uvažovat jako o popisu nějaké "kvantované" algebraické grupy (ačkoli to v žádném smyslu není algebraická grupa). Mnoho vlastností algebraických grup, stejně jako konstrukcí s nimi, má své analogie ve světě deformovaných Hopfových algeber. Odtud název „kvantová skupina“.

Skupinová analogie

Skupiny lze axiomatizovat pomocí stejných diagramů (ekvivalencí, operací) jako Hopfovy algebry, kde H je množina, nikoli modul. V tomto případě:

pole R je nahrazeno množinou 1 prvku
existuje přírodní součet (mapování na jeden prvek)
je přirozená násobení (diagonální mapování)
jednotka - neutrální prvek skupiny
násobení - násobení ve skupině
antipod - převzetí inverzního prvku ve skupině

V tomto smyslu lze grupy považovat za Hopfovy algebry nad jednoprvkovým polem . [7]

Poznámky

↑ Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, str. 153 Archivováno 6. října 2014 na Wayback Machine
↑ Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Poznámky 4.2.3, s. 151 Archivováno 16. dubna 2014 na Wayback Machine
↑ Poznámky k přednáškám kvantových skupin . Získáno 4. července 2011. Archivováno z originálu dne 4. března 2016. (neurčitý)
↑ S. Montgomery, Hopfovy algebry a jejich akce na kruzích, Conf. Tabule v matematice. sci. sv. 82, AMS, 1993. ISBN 0-8218-0738-2
↑ V.A. Vasiliev - Topologie doplňků k diskriminantům. M.: FAZIS, 1997.
↑ Hopf, 1941.
↑ Skupina = Hopfova algebra „Secret Blogging Seminar Archived 9 July 2011 at Wayback Machine , Group objects and Hopf algebras Archived 18 April 2016 at Wayback Machine , video Simon Willerton.

Odkazy

Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras , sv. 235 (1. vyd.), Čistá a aplikovaná matematika, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .
Pierre Cartier, Základní nátěr Hopfových algeber (odkaz není k dispozici) , předtisk IHES, září 2006, 81 stran
Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups , (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. matematiky. 42 (1941), 22-52. Přetištěno v Selecta Heinz Hopf, str. 119-151, Springer, Berlín (1964). MR : 4784
Street, Ross (2007), Quantum groups , sv. 19, řada přednášek Australian Mathematical Society, Cambridge University Press , MR : 2294803 , ISBN 978-0-521-69524-4 ; 978-0-521-69524-4 .

Literatura

Manin Yu. I. Úvod do teorie schémat a kvantových grup. - M. : MTSNMO, 2012. - 256 s. - ISBN 978-5-94057-635-8 .