Skupinový kroužek

Skupinový kruh je kruh , který je zároveň volným modulem , který lze sestavit z daného kruhu a dané skupiny . Neformálně řečeno, kruh skupiny je volný modul nad kruhem, jehož základna je v bijektivní shodě s prvky skupiny ; násobení základních prvků je definováno jako násobení prvků skupiny a násobení „se rozkládá podél linearita“ ke zbývajícím prvkům. $KG]$ $K,$ $G,$

Aparát skupinových kruhů je zvláště užitečný v teorii reprezentace skupin .

Definice

Nechte být prstenem a nechejte být skupinou. Pak je kruhový kruh množinou konečných formálních součtů tvaru , které se sčítají a násobí následovně: $K$ $G$ $KG]$ $\alpha =\součet _{{g\in G}}a_{g}g,\quad a_{g}\in K$

Pokud , pak $\alpha =\součet _{{g\in G}}a_{g}g,\ \beta =\součet _{{g\in G}}b_{g}g$

\alpha +\beta =\součet _{{g\in G}}(a_{g}+b_{g})g

\alpha \cdot \beta =\součet _{{g\v G}}\left(\součet _{{xy=g, \atop x,y\in G}}a_{x}b_{y}\vpravo )G

Vlastnosti

Jestliže a jsou komutativní, pak je komutativní. $K$ $G$ $KG]$
Jestliže je kruh s jednotkou, pak je kruh s jednotkou. $K$ $KG]$
Vložení tvoří základ skupinového kruhu . $G$ $KG]$
Jestliže je podskupina , pak je podkruh kruhu . $H$ $G$ $K[H]$ $KG]$
Nechť je pole , pak každý prvek může být spojen s lineární transformací vektorového prostoru - násobením odpovídajícím základním vektorem vlevo. Toto mapování specifikuje pravidelné zastoupení skupiny . $K$ $G$ $KG]$

Literatura

B.L. van der Waerden. Algebra. — M .: Nauka, 1976.
Naimark M. Teorie reprezentací grup. — M .: Nauka, 1976.