Skupinový pohled

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. prosince 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Reprezentace skupiny je, obecně řečeno, jakákoli akce skupiny . Nejčastěji je však skupinová reprezentace chápána jako lineární reprezentace skupiny , tedy působení skupiny na vektorový prostor. Jinými slovy, reprezentace grupy je homomorfismus dané grupy do grupy nedegenerovaných lineárních transformací vektorového prostoru .

Skupinové reprezentace umožňují redukovat mnoho grupových teoretických problémů na problémy lineární algebry. Skupinové reprezentace mají také aplikace v teoretické fyzice, protože umožňují pochopit, jak grupa symetrie fyzikálního systému ovlivňuje řešení rovnic, které tento systém popisují.

Definice

Nechť je daná grupa a buď vektorový prostor. Reprezentací skupiny je pak mapování , které spojuje každý prvek s nedegenerovanou lineární transformací a vlastnosti $G$ $W$ $G$ $A$ $g\in G$ $A_{g}:W\to W$

A_{{gh}}=A_{g}\,A_{h},\ \,A_{{g^{{-1}}}}=A_{g}^{{-1}}\quad (\ forall g,h\in G).

Vektorový prostor se v tomto případě nazývá reprezentační prostor . Odvětví matematiky , které studuje reprezentace grup, se nazývá teorie reprezentací (grup). Reprezentaci lze chápat jako skupinovou reprezentaci pomocí matic nebo lineárních prostorových transformací. Bod použití reprezentací skupiny je to problémy od teorie skupin jsou redukovány k více vizuálním problémům od lineární algebry , často počítat s výpočetním řešením. To vysvětluje velkou roli teorie reprezentace v různých otázkách algebry a dalších odvětvích matematiky. Například jednorozměrné reprezentace symetrické grupy a střídavé grupy hrají velkou roli při dokazování nemožnosti vyřešit v radikálech algebraickou rovnici stupně vyššího než 4. V kvantové mechanice hraje důležitou roli nekonečněrozměrná ( ve kterých je vektorovým prostorem Hilbert ) reprezentace grup (především Lorentzovy grupy ). $W$ $A$ $S_{n}$ $A_{n}$

Související definice

Nechť je reprezentace grupy , zde — grupa nedegenerovaných lineárních transformací (automorfismů) prostoru . Dimenzí reprezentace je dimenze vektorového prostoru $A\colon G\to \operatorname {Aut} (W)$ $G$ $\operatorname {Aut} (W)$ $W$ $A$ $(\dimW).$

Reprezentace a stejné skupiny jsou považovány za ekvivalentní , pokud existuje izomorfismus vektorových prostorů takový, že z toho zejména vyplývá, že ekvivalentní reprezentace mají stejný rozměr. Obvykle jsou reprezentace považovány za rovnocenné. $A:G\to \operatorname {Aut} (W)$ $A'\colon G\to \operatorname {Aut} (W')$ $G$ $C:W'\to W$ $A'_{g}=C^{{-1}}A_{g}C\ (\forall g\in G).$

Reprezentace se nazývá přímý součet reprezentací , jestliže (zde znaménko znamená přímý součet vektorových prostorů), a pro každý je podprostor při transformaci invariantní a indukované omezení reprezentace je ekvivalentní $A:G\to \operatorname {Aut} (W)$ $A^{{(i)}}:G\to \operatorname {Aut}(W_{i}),\ i=1,\ldots ,n,$ $W=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{n}$ $\oplus$ $g\in G$ $W_{i}\podmnožina W$ $A_{g}:W\to W$ $A$ $W_i$ $G\to \operatorname {Aut} (W_{i})$ $A^{{(i)}}.$

Pro danou reprezentaci se mapování nazývá znak ; zde znamená stopa . $A\colon G\to \operatorname {Aut} (W)$ $\chi _{A}\dvojtečka g\to \mathrm {tr} A(g)$ $A$ $\mathrm {tr}$

Typy zobrazení

Reprezentace je považována za přesnou , pokud jádro odpovídajícího homomorfismu sestává pouze z prvku identity.

Skupinová reprezentace se nazývá redukovatelná , pokud má vektorový prostor podprostor jiný než nula a sám sebe , který je neměnný pro všechny transformace . Jinak se zobrazení nazývá neredukovatelné nebo jednoduché (v tomto případě se zobrazení na prostoru nepovažuje za neredukovatelné). Maschkeův teorém říká, že konečná -dimenzionální reprezentace konečných grup nad polem charakteristické nuly (nebo grupy, která je kladná, ale nerozdělující řád ) se vždy rozloží na přímý součet neredukovatelných. $G$ $W$ $W$ $A_{g}:W\to W(\forall g\in G)$ $W=\{0\}$

Každá ireducibilní reprezentace komutativní grupy nad polem komplexních čísel je jednorozměrná. Takové reprezentace se nazývají znaky .

Reprezentace se nazývá regulární , jestliže je prostor funkcí na skupině a lineární transformace přiřazuje každé funkci funkci . Jinými slovy, přirozené zobrazení na kruhovém kruhu skupiny se nazývá regulární . $W$ $G$ $A_{g}:W\to W$ $f(\omega ),\ \omega \in G,$ $f(g\omega ),\ \omega \in G$

Reprezentace je řekl, aby byl jednotný s ohledem na nějaký Hermitian skalární produkt v prostoru přes pole jestliže všechny transformace jsou unitární . Reprezentace se nazývá unitarizovatelná , pokud je možné do vektorového prostoru (nad polem ) zavést takový hermitovský skalární součin, vůči kterému je unitární. Jakákoli reprezentace konečné grupy je unitarizovatelná: stačí vybrat libovolný hermitovský skalární součin v prostoru a požadovaný hermitovský skalární součin definovat vzorcem $W$ $\mathbb {C}$ $A_{g}:W\to W(\forall g\in G)$ $W$ $\mathbb {C}$ $G$ $W$ $\langle x,y$ $(x,y)=\součet _{{g\in G}}\langle A_{g}(x),A_{g}(y)\rangle .$

Pokud je topologická grupa, pak se grupovou reprezentací obvykle rozumí souvislá lineární reprezentace grupy v topologickém vektorovém prostoru . To znamená, že mapování od do je spojité , dané jako [1] . $G$ $G$ $A$ $G$ $W$ $G\times W$ $W$ $(g,v)\mapsto A_{g}v$

Příklady

Unitární grupu U(1) lze reprezentovat jako skupinu rotací dvourozměrného prostoru kolem středu.
Reprezentaci symetrické skupiny lze získat následovně. Zvolme základ ve vektorovém prostoru dimenze . Pro každou permutaci definujeme lineární transformaci, která převede vektor báze na vektor báze , kde tak získáme -rozměrnou reprezentaci skupiny $S_{n}$ $W$ $n$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $g\in S_{n}:\ (1,\ldots ,n)\mapsto (i_{1},\ldots,i_{n})$ $A_{g}:W\to W,$ $e_{k}$ $e_{{i_{k}}},$ $k=1,\ldots ,n.$ $n$ $S_{n}.$
Neredukovatelnou dvourozměrnou reprezentaci skupiny lze získat výběrem základny v rovině, vložením vektoru a definováním lineární transformace pro každou permutaci , která přebírá do a do $S_{3}$ $W$ $e_{1},e_{2},$ $e_{3}=-(e_{1}+e_{2})$ $g\in S_{3}:\ (1,2,3)\mapsto (i_{1},i_{2},i_{3})$ $A_{g}:W\to W$ $e_{1}$ $e_{{i_{1}}}$ $e_{2}$ $e_{{i_{2}}}.$
Adjoint reprezentace je reprezentace Lieovy grupy jednat podle odpovídající Lie algebry .
Spolupřipojený pohled je pohled, který je konjugován s připojeným pohledem.

Variace a zobecnění

V širším smyslu lze reprezentaci grupy chápat jako homomorfismus grupy do grupy všech vratných transformací nějaké množiny . Například: $X$

Projektivní reprezentace grupy je homomorfismus grupy do grupy projektivních transformací projektivního prostoru .

Odkazy

Povaha reprezentace skupiny

Poznámky

↑ A. I. Stern. Spojitá reprezentace // Matematická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.

Literatura

Berezin F. A., Gelfand I. M., Graev M. I., Naimark M. A. Zastoupení skupiny // Uspekhi Mat. - 1956. T. 11. - Vydání. 6 (72). — S. 13–40.
Vinberg EB Lineární reprezentace grup. - M .: Nauka, Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1985.
Naimark M. A. Teorie reprezentace skupin . — M.: Nauka, 1976.
Serre J.-P. Lineární reprezentace konečných grup. — M.: Mir, 1970.
Sheinman OK Základy teorie reprezentací . - M .: Vydavatelství MTSNMO, 2004.
Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie . — M.: Fizmatlit, 2009.

Odkazy

R. Borcherds , Playlist "Teorie reprezentace" na YouTube

V bibliografických katalozích
BNE : XX5225372 BNF : 11932754t GND : 7503476-1 J9U : 987007531631305171 LCCN : sh85112944 SUDOC : 02724251X