Povaha skupiny

Postava je multiplikativní komplexně hodnocená funkce ve skupině . Jinými slovy, jestliže je grupa , pak znakem je homomorfismus od do multiplikativní grupa pole (obvykle pole komplexních čísel ). $G$ $G$

Někdy jsou uvažovány pouze unitární znaky - homomorfismy do skupiny multiplikativních polí, jejichž obraz leží na jednotkové kružnici , nebo v případě komplexních čísel homomorfismy do . Všechny ostatní homomorfismy v se v tomto případě nazývají kvaziznaky . $U(1)$ $k^{*}$

Související definice

Charakter topologické grupy je definován jako spojitý homomorfismus do multiplikativní grupy pole. V souladu s tím je charakter algebraické grupy racionálním homomorfismem v $k^{*}.$

Povaha skupinového pohledu je blízkou definicí pro skupinové pohledy , prvek je zobrazen ve stopě svého pohledu.

Vlastnosti

Pro libovolnou skupinu tvoří sada znaků s operací abelovskou skupinu $G$ ${\mathrm {Ch}} (G)$ $\chi _{a}\cdot \chi _{b}=\chi _{{ab}}.$
- Tato skupina se nazývá skupina znaků .

Znaky jsou lineárně nezávislé , tedy pokud jsou různé znaky skupiny G , pak z rovnosti vyplývá, že $\chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$ $a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0$ $a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0.$

Znaky v U(1)

Důležitým speciálním případem znaků jsou zobrazení do skupiny komplexních čísel modulo one . Takové znaky mají tvar , kde , a jsou široce studovány [1] [2] [3] [4] v teorii čísel ve spojení s distribucí prvočísel v nekonečných aritmetických posloupnostech . V tomto případě je studovanou skupinou zbytkový kruh s adiční operací a funkce je lineární . Navíc sada různých hodnot lineárního koeficientu ve funkci určuje skupinu znaků izomorfních ke skupině . ${\displaystyle \chi (a)=e^{2\pi \varphi (a)i))$ $\varphi :G\to {\mathbb {R} },\ \forall a,b\in (G,\circ ):\ \varphi (a)+\varphi (b)=\varphi (a\ okruh b)$ ${\mathbb {Z} }_{n}$ $\varphi$ $\varphi$ ${\mathbb {Z} }_{n}$

Příklad

Zvážit ${\mathbb {Z} }_{3}=\left\lbrace {[0],[1],[2]}\right\rbrace$

Protože definujeme $\lambda =0,1,2$

{\displaystyle \chi _{\lambda }(x)=e^{2\pi {\frac {\lambda x}{3}}i))

Množina s operací bodového násobení tvoří skupinu znaků v . Neutrálním prvkem této skupiny je , protože . $\left\lbrace {\chi _{0},\chi _{1},\chi _{2}}\right\rbrace$ $U(1)$ $\chi_0$ $\forall x\in {\mathbb {Z} }_{3}:\ \chi _{0}(x)=e^{2\pi {\frac {0\cdot x}{i)) }=e^{0}=1$

Klasickým příkladem použití znaků modulo je Dirichletova věta o prvním čísle v aritmetickém postupu .

Pro nekonečné cyklické grupy izomorfní bude existovat nekonečná množina znaků ve tvaru , kde . ${\mathbb {Z} }$ ${\chi _{\alpha }}(n)=e^{2\pi n\alpha i}$ $\alpha \in(0;1)$

Znaky definitivně generovaných skupin

Pro libovolně konečně vygenerovanou Abelovu grupu je také možné [5] explicitně a konstruktivně popsat množinu znaků v . K tomu slouží věta o rozkladu takové skupiny na přímý součin cyklických skupin . $(G,\circ )$ $U(1)$

Protože jakákoli cyklická skupina řádu je izomorfní ke skupině a její znaky jsou vždy mapovány na množinu , pak pro skupinu reprezentovanou přímým součinem cyklických skupin můžeme parametr parametrizovat jako součin znaků těchto cyklických skupin: $h$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{h))$ $U(1)$ $\left\lbrace {e^{2\pi {\frac {k}{h}}i}:\ k=0,\tečky ,h-1}\right\rbrace$ ${\displaystyle G=G_{1}\otimes \dots \otimes G_{s))$ $G_{i}=\left\lbrace {{g_{i}}^{k}\ :\ 0\leq k<n_{i}}\right\rbrace$

\chi _{k_{1},\dots ,k_{s}}(x)=e^{2\pi {\frac {k_{1}}{n_{1}}}}\cdot e ^{2\pi {\frac {k_{s}}{n_{s}}}}=e^{2\pi ({\frac {k_{1}}{n_{1}}}+\tečky + {\frac {k_{s}}{n_{s}}})},0\leq k_{i}<n_{i}

To nám umožňuje provést explicitní izomorfismus mezi samotnou skupinou a skupinou jejích znaků, která se jí rovná v počtu prvků. $G$

{g_{1}}^{k_{1}}\circ \dots \circ {g_{s}}^{k_{s}}\mapsto \chi _{k_{1},\tečky ,k_ {s}}

Vlastnosti znaků konečných grup

Pro označujeme znakem odpovídajícím prvku podle výše popsaného schématu. $g\in G$ $\chi _{g}:G\to U(1)$ $G$

Drží se následující identity [6] :

\sum \limits _{g\in G}{\chi (g)}=\left\lbrace {\begin{matrix}0,&\chi \not =\chi _{0}\\|G |,&\chi =\chi _{0}\end{matrix}}\vpravo.

\sum \limits _{x\in G}{\chi _{g}(x)}=\left\lbrace {\begin{matrix}0,&x\not =0\\|G|,&x =0\end{matrix}}\right.

Variace a zobecnění

Jestliže je asociativní algebra nad polem , pak znak je nenulový homomorfismus algebry do . Pokud je navíc hvězdná algebra , $A$ $k$ $A$ $A$ $k$ $A$ [ upřesnit ] pak znakem je homomorfismus hvězdy na komplexní čísla.

Viz také

Pontrjaginská dualita

Poznámky

↑ A. O. Gelfond, Yu. V. Linnik , Elementární metody v analytické teorii čísel, M: Fizmatgiz, 1962, str. 61-66, 78-97
↑ K. Chandrasekharan , Úvod do analytické teorie čísel, M: Mir, 1974, str. 142-165
↑ G. Davenport , Multiplikativní teorie čísel, M: Nauka, 1971, str. 44-64
↑ A. Karatsuba , Základy analytické teorie čísel, M: Nauka, 1983, str. 114-157
↑ K. Chandrasekharan , Úvod do analytické teorie čísel, M: Mir, 1974, str. 145-147
↑ K. Chandrasekharan , Úvod do analytické teorie čísel, M: Mir, 1974, str. 147-159

Literatura

Kirillov A. A. Prvky teorie reprezentace. - 2. - M. : Nauka, 1978. - 343 s.
Naimark M. A. Teorie reprezentace skupin. - M. , 1978. - 560 s.

Znaky v teorii čísel a v teorii grup
Kvadratické znaky	Symbol Legendre Jacobiho symbol Symbol Kronecker - Jacobi
Postavy zbytků moci	Povaha krychlového zbytku Povaha bikvadratického zbytku Symbol zbytku energie

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Klein čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ skupiny Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace