Dirichletova věta o prvočíslech v aritmetickém postupu

Dirichletova věta o prvočíslech v aritmetické posloupnosti říká, že každá nekonečná aritmetická posloupnost , jejíž první člen a rozdíl jsou koprimá přirozená čísla , obsahuje nekonečný počet prvočísel.

Dirichlet dokázal, že pro všechna pevná přirozená čísla l a k platí následující:

Nechť jsou celá čísla a . $l,k>0$ $(l,k)=1$

Pak existuje nekonečně mnoho prvočísel takových, že . $p$ $p\equiv l{\pmod {k))$

Historie důkazů

Větu v této formulaci dokázal Dirichlet analytickými prostředky v roce 1837. Později byly důkazy věty nalezeny elementárními metodami [1] . Různé takové důkazy předložili Mertens, Selberg a Zassenhaus.

Variace

Při zvažování prvočísel se často ukáže, že jejich množina má mnoho vlastností obsažených v množině všech prvočísel. Existuje mnoho teorémů a hypotéz, které zvažují pouze prvočísla z určité třídy zbytků nebo poměry souborů prvočísel z různých tříd zbytků. $p\equiv l{\pmod {k))$

Například, kromě hlavního tvrzení věty, Dirichlet v roce 1839 dokázal , že pro všechna pevná přirozená koprimá čísla a : $l$ $k$

\lim _{s\to 1+}{\frac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s)))){\ln {\dfrac {1}{ s-1))))={\frac {1}{\varphi (k)))),

kde sčítání je provedeno přes všechna prvočísla s podmínkou a je to Eulerova funkce . $p$ $p\equiv l{\pmod {k))$ $\varphi$

Tento vztah lze interpretovat jako zákon rovnoměrného rozdělení prvočísel nad třídami zbytků , protože $\mod k$

\lim _{s\to 1+}{\dfrac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s)))){\ln {\dfrac {1}{ s-1}}}}=1,

pokud je součet nad všemi prvočísly.

Je známo, že u všech prvočísel a řady , kde je součet nad prvočísly , se liší. $l$ $k$ $\sum \limits _{p}{\frac {1}{p))$ $p\equiv l{\pmod {k))$

Viz také

Znaky - hlavní matematický nástroj pro studium prvočísel v aritmetickém postupu

Poznámky

↑ Yu.V. Linnik, A. O. Gelfand. Elementární metody v analytické teorii čísel. - Fizmatgiz, 1962.

Literatura

Postnikov M.M. Fermatova věta. Úvod do teorie algebraických čísel - M .: Nauka , 1986.