Normální podskupina

Normální podskupina (také invariantní podgrupa nebo normální dělitel ) je podskupina speciálního typu, jejíž levá a pravá koseta se shoduje. Takové skupiny jsou důležité, protože umožňují konstrukci skupin faktorů .

Definice

Podgrupa skupiny se nazývá normální , pokud je invariantní při konjugacích, tj. pro jakýkoli prvek a kterýkoli prvek leží v : $N$ $G$ $n$ $N$ $G$ $G$ $gng^{{-1}}$ $N$

N\triangleleft G\,\iff \,\forall \,n\in N,\forall \ g\in G

gng^{-1}\in {N}.

Následující podmínky normality pro podskupinu jsou ekvivalentní:

Pro kteroukoli z . $G$ $G$ $gNg^{{-1}}\subseteq N$
Pro kteroukoli z . $G$ $G$ $gNg^{{-1}}=N$
Sady levých a pravých coset se shodují. $N$ $G$
Pro kteroukoli z . $G$ $G$ $gN=Ng$
$N$ je izomorfní ke sjednocení tříd konjugovaných prvků.

Podmínka (1) je logicky slabší než (2) a podmínka (3) je logicky slabší než (4). Proto se podmínky (1) a (3) často používají při dokazování normality podskupiny a podmínky (2) a (4) se používají k dokazování důsledků normality.

Příklady

$\{E\}$ a jsou vždy normálními podskupinami . Říká se jim triviální. Pokud neexistují žádné další normální podskupiny, pak se skupina nazývá jednoduchá . $G$ $G$ $G$

Střed skupiny je normální podskupina.

Komutátor skupiny je normální podskupina.

Jakákoli charakteristická podskupina je normální, protože konjugace je vždy automorfismus .

Všechny podskupiny abelovské skupiny jsou normální, protože . Neabelovská skupina, ve které je každá podskupina normální, se nazývá hamiltonovská . $N$ $G$ $gN=Ng$

Skupina paralelních překladů v prostoru nějaké dimenze je normální podgrupa euklidovské skupiny ; například ve 3D prostoru má otáčení, posun a otáčení vzad za následek jednoduchý posun.

Ve skupině Rubikovy kostky je podskupina skládající se z operací působících pouze na rohové prvky normální, protože žádná sdružená transformace nezpůsobí, že by taková operace působila na okrajový prvek, nikoli na rohový prvek. Naproti tomu podskupina sestávající pouze z rotací horní plochy není normální, protože zaoblení umožňují posunutí částí horní plochy dolů.

Vlastnosti

Normalita je zachována pod surjektivními homomorfismy a pullbacky.
Jádro homomorfismu je normální podskupina.
Při konstrukci přímého produktu je zachována normalita .
Normální podskupina normální podskupiny nemusí být ve skupině normální, to znamená, že normalita není tranzitivní . Charakteristická podskupina normální podskupiny je však normální .
Každá podskupina indexu 2 je normální. Jestliže je nejmenší prvočíselník řádu , pak je jakákoli podskupina indexu normální. $p$ $G$ $p$
Pokud je normální podskupina v , pak na množině levých (pravých) koset lze zavést skupinovou strukturu podle pravidla $N$ $G$ $G/N$

(g_{1}N)(g_{2}N)=(g_{1}g_{2})N

Výsledná množina se nazývá faktorová skupina s ohledem na .

G

N

$N$ je normální právě tehdy, když působí triviálně na levé cosety . $G/N$
Každá normální podskupina je kvazinormální

Historická fakta

Évariste Galois byl první, kdo pochopil důležitost normálních podskupin.

Odkazy

Kurz algebry Vinberg E. B. - M. : Nakladatelství Factorial Press, 2002, ISBN 5-88688-060-7
Kostrikin A.I. Úvod do algebry. Část III. Základní struktury. - 3. vyd. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 272 s. - ISBN 5-9221-0489-6 .

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Kleinová čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko skupiny J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace