Komutátor

Komutant v obecné algebře je podsystém algeber obsahující grupovou strukturu ( podgrupa , podkruh , v nejobecnějším případě podgrupa multioperátorové grupy ), ukazující stupeň nekomutativnosti grupové operace.

Komutant grupy je nejmenší normální podgrupa taková, že jeho kvocient je abelovská grupa . Komutant prstence je ideál generovaný všemi možnými součiny prvků.

Komutátor skupiny multioperátorů

Komutátor je nejuniverzálněji definován pro skupinu více operátorů . Komutátor algebry s více operátory je jeho ideálem generovaným jeho komutátory, tedy prvky tvaru: ${\mathfrak G}=(G,+,-,0,\Sigma )$

[g_{1},g_{2}]=-g_{1}-g_{2}+g_{1}+g_{2}

stejně jako prvky:

-\sigma (g_{1},\tečky ,g_{n})-\sigma (h_{1},\tečky ,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\tečky ,g_{n}+h_{n})

pro každou operaci z dodatečného podpisu skupiny více operátorů. $n$ $\sigma \in \Sigma$

Skupinový komutátor

Komutátor grupy [1] ( odvozená grupa nebo druhý člen spodní střední řady grupy ) je podgrupa generovaná množinou všech možných součinů konečného počtu komutátorů dvojic prvků grupy . Pro odvozenou podskupinu skupiny se používá následující zápis : , . (Zároveň jsou přepínače v různých zdrojích zapsány odlišně: vyskytuje se (v multiplikativním zápisu) obojí a ). $G$ ${\displaystyle \{[g_{1},g_{2}]\mid g_{1},g_{2}\in G\))$ $G$ $G$ $[G,G],\;G',\;T_{2}(G)$ $KG)$ $[g_{1},g_{2}]=g_{1}g_{2}g_{1}^{{-1}}g_{2}^{{-1}}$ $[g_{1},g_{2}]=g_{1}^{{-1}}g_{2}^{{-1}}g_{1}g_{2}$

Podskupina komutátoru skupiny je zcela charakteristická podskupina a jakákoli podskupina obsahující podskupinu komutátoru je normální .

Pořadí komutátoru

Konstrukce komutátoru může být iterována:

G^{{(0)}}:=G

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

pro .

n\in \mathbb {N}

Skupiny , , ... se nazývají druhá odvozená skupina , třetí odvozená skupina a tak dále. Sestupná řada skupin: $G^{(2)}$ $G^{(3)}$

G=G^{{(0)}}\vartriangleright G^{{(1)}}\vartriangleright G^{{(2)}}\vartriangleright \ldots

se nazývá odvozená řada nebo řada komutátorů [2] .

Pro konečnou grupu se odvozená řada dříve nebo později ustálí na grupě, jejíž komutant se kryje sám se sebou . Pokud je tato skupina triviální , říká se, že původní skupina je řešitelná . Pro nekonečnou grupu se odvozená řada nemusí nutně stabilizovat v konečném počtu kroků, ale lze ji rozšířit pomocí transfinitní indukce , čímž získáme transfinitní odvozenou řadu , která dříve nebo později povede k dokonalé grupě. $G$

Abelizace

Kvocientová grupa s ohledem na nějakou normální podgrupu je abelovská právě tehdy, když tato podgrupa obsahuje komutátorovou podgrupu grupy. Faktorizace grupy jejím komutantem se nazývá abelizace a označuje se nebo nebo . $G$ $G_{{ab}}$ $G^{{ab}}$ $\operatorname {Ab}(G)$

Existuje kategorický výklad mapování . Jmenovitě je univerzální s ohledem na všechny homomorfismy od do abelovské grupy: pro každý takový homomorfismus existuje jedinečný homomorfismus takový, že . Ekvivalentně má funktor zapomínání z kategorie abelovských grup do kategorie všech grup levý adjungant , abelizační funktor, který přiřazuje grupě její podíl komutátorem a působí na morfismy zřejmým způsobem. $\varphi :G\to G^{{ab}}$ $\varphi$ $G$ $f:G\to H$ $F:G^{{ab}}\to H$ $f=F\circ \varphi$

Abelizaci skupiny lze vypočítat jako první celočíselnou homologii skupiny : . $G$ $G_{{ab}}=H_{1}(G,{\mathbb {Z}})$

Gurevichova věta v algebraické topologii říká, že pro spojený CW-komplex . Teorii homologie v topologii lze tedy považovat za abelizaci teorie homotopie . Toto tvrzení lze zpřesnit ( Dold-Thomasova věta ). $H_{1}(X)=\pi _{1}(X)_{{ab}}$

Vzájemný komutátor

Vzájemným komutátorem podmnožin podpory skupiny je podskupina generovaná všemi komutátory formuláře . Vzájemná komutátorová podskupina normálních podskupin je normální podskupina. $L,M$ $G$ $[L,M]$ $[l,m]:l\v L,m\v M$

Pro libovolné prvky skupiny platí následující vztah: $g\in G$

g[L,M]g^{{-1}}=[gLg^{{-1}},gMg^{{-1}}]

Komutátor prstenu

Komutátor prstence (také čtverec prstence ) [3] je ideál generovaný všemi produkty: , značenými nebo . Takové zjednodušení ve srovnání s univerzální definicí komutátoru vzniká v důsledku komutativnosti aditivní skupiny prstence - komutátor prvků vždy zaniká a podmínka ohledně doplňkového podpisu (násobení prstence) je vyjádřena nutností zahrnout všechny prvky následujícího formuláře v generovací sadě: $R$ $\{ab\mid a,b\in R\}$ $[R,R]$ $R^2$ $r_{1},r_{2}\v R$

-r_{1}r_{2}-s_{1}s_{2}+(r_{1}+s_{1})(r_{2}+s_{2})=r_{1}s_ {2}+r_{2}s_{1}

Poznámky

↑ V angličtině se komutátor skupiny říká „commutator subgroup“ – Eng. podskupina komutátoru , takže může docházet k záměně s pojmem člen skupiny komutátor .
↑ Tato konstrukce by neměla být zaměňována se spodním středovým řádkem skupiny , který je definován jako , not $G_{n}:=[G_{{n-1}},G]$ $G^{{(n)}}:=[G^{{(n-1)}},G^{{(n-1)}}]$
↑ V teorii prstenců se další kombinace nazývá komutátor prvků: a ideál komutátoru je ideál (kruhy, algebry) generovaný všemi komutátory; v literatuře se někdy takovému komutátorovému ideálu říká také komutátor prstence (algebra). $[a,b]=ab-ba$

Literatura

A. G. Kurosh . Skupiny s multioperátory // Přednášky o obecné algebře. - 2. vyd. - M .: Nauka, 1973. - S. 114-124. — 400 s. — 30 000 výtisků.
Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. Základy teorie grup. - 5. vyd. - Lan, 2009. - 288 s. — ISBN 978-5-8114-0894-8 .
Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Kapitola II. Skupiny // Obecná algebra / Pod obecným. vyd. L. A. Skornyaková . - M .: Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 s. — (Referenční matematická knihovna). — 30 000 výtisků. — ISBN 5-02-014426-6 .
I. M. Vinogradov. Komutant // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)