Sylowovy věty

V teorii grup jsou Sylovovy věty neúplnou verzí obrácené věty k Lagrangeově větě a pro některé dělitele řádu grupy G zaručují existenci podgrup tohoto řádu. Věty dokázal norský matematik Sylov v roce 1872 .

Definice

Dovolit být konečná skupina a nechť je prvočíslo , které dělí pořadí . Podskupiny objednávek se nazývají -subgroups . $G$ $p$ $G$ $p^t$ $p$

Z pořadí skupiny vyčleňme maximální stupeň , tedy kde není dělitelné . Potom je Sylow -subgroup podskupinou řádu . $G$ $p$ $|G| = p^ns$ $s$ $p$ $p$ $G$ $p^{n}$

Věty

Nechť je konečná grupa. Pak: $G$

Podskupina Sylow existuje. $p$
Každá -podskupina je obsažena v nějaké Sylow -podskupině. Všechny Sylow-podskupiny jsou konjugované (to znamená, že každá je reprezentována jako , kde je prvek skupiny a je Sylow podgrupou z věty 1). $p$ $p$ $p$ $gPg^{-1}$ $G$ $P$
Počet Sylowových podskupin je srovnatelný s unity modulo ( ) a dělí , kde a . $p$ $N_p$ $p$ $N_{p}\equiv 1\;{{\rm {mod\,))}str$ $s$ $|G|=p^{k}s$ $(p,s)=1$

Důsledek

Pokud všichni dělitelé , kromě 1, po dělení dávají zbytek jiný než jednota, pak existuje jedinečná Sylow -podskupina a je normální (a dokonce charakteristická ). $|G|$ $p$ $G$ $p$

Například: Dokažme, že skupina řádu 350 nemůže být jednoduchá . , takže Sylow 5-podskupina má řád 25. musí dělit 14 a je kongruentní s 1 modulo 5. Tyto podmínky splňuje pouze identita. Tedy v jedné Sylow 5-podskupině, což znamená, že je normální, a proto nemůže být jednoduchá. $350 = 2\cdot 5^2\cdot 7$ $N_5$ $G$ $G$

Důkazy

Dovolit být primární dělitel pořadí . $p^{n}$ $p$ $G$

1. Větu dokazujeme indukcí na řádu . Když je věta pravdivá. Nechte teď . Buď středem skupiny . Jsou možné dva případy: $G$ $|G|=p$ $|G|>p$ $Z(G)$ $G$

a) rozděluje . Pak existuje cyklická skupina ve středu (jako prvek primárního rozkladu centra), která je normální v . Kvocientová skupina této cyklické skupiny má nižší řád než , proto podle indukční hypotézy obsahuje Sylow-podgrupu. Podívejme se na jeho prototyp v . Bude to podskupina Sylow , kterou potřebujeme . $p$ $|Z|$ $\langle a\rangle _{p^{k))$ $G$ $G$ $G$ $p$ $G$ $p$ $G$

b) nerozděluje . Poté zvažte rozdělení do tříd konjugace : (protože pokud prvek leží uprostřed, pak se jeho třída konjugace skládá pouze z něj). Pořadí je dělitelné , takže musí existovat třída , jejíž pořadí není dělitelné . Odpovídající centralizátor má pořadí , . Podle indukční hypotézy v ní tedy existuje podgrupa Sylow - bude to požadovaná. $p$ $|Z|$ $G$ $|G| = |Z| + \součet |K_a|$ $G$ $p$ $K_{a}$ $p$ $Z_G(a)$ $p^{n}r$ $r<s$ $p$

2. Dovolit být libovolný -podskupina . Uvažujme jeho působení na množinu levých koset pomocí levých posunů, kde je Sylow -podskupina. Počet prvků jakékoli netriviální oběžné dráhy musí být dělitelný . Není však dělitelný , což znamená , že akce má pevný bod . Dostáváme , a tedy , , to znamená, že leží zcela v nějaké Sylow podskupině. $H$ $p$ $G$ $G/P$ $P$ $p$ $p$ $|G/P|$ $p$ $gP$ $\forall h \in H \quad hga = ga',\quad a,a' \in P$ $h = ga'a^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}$ $H$ $p$

Pokud je navíc podskupina Sylow, pak je konjugována s . $H$ $p$ $P$

3. Počet Sylowových p-podgrup je [G: NG (P)], proto dělí |G|. Podle věty 2 je množina všech Sylowových p-podgrup X = {gPg -1 }. Zvažte působení P na X pomocí konjugací. Nechť H z X je pevný bod pod touto akcí. Pak P a H patří k normalizátoru podskupiny H a navíc jsou konjugovány v NG (H) jako jeho Sylow p-podskupiny. Ale H je normální ve svém normalizátoru, takže H = P a jediným pevným bodem působení je P. Protože řády všech netriviálních drah jsou násobky p, dostáváme . $N_p \equiv 1 \pmod p$

Hledání podskupiny Sylow

Problém nalezení Sylow podgrupy dané grupy je důležitým problémem ve výpočetní teorii grup . Pro permutační grupy William Cantor dokázal, že Sylow p -podgrupu lze nalézt v polynomiálním čase ve velikosti problému (v tomto případě pořadí grupy , krát počet generátorů ).

Literatura

A. I. Kostrikin. Úvod do algebry, část III. Moskva: Fizmatlit, 2001.
E. B. Vinberg. Kurz algebry. M.: Factorial-Press, 2002.