Lagrangeův teorém (teorie grup)

Lagrangeův teorém v teorii grup říká:

Nechť je grupa G konečná a H její podgrupa . Potom se řád G rovná řádu H krát počet jeho levých nebo pravých kosetů ( index podskupiny ).

Důsledky

Počet pravých a levých kosetů jakékoli podskupiny v je stejný a nazývá se index podskupiny v (označeno ). $H$ $G$ $H$ $G$ $[G:H]$
Pořadí jakékoli podgrupy konečné grupy rozdělí pořadí . $G$ $G$
Protože řád prvku skupiny je roven řádu cyklické podgrupy tvořené tímto prvkem, vyplývá z toho, že pořadí jakéhokoli prvku konečné grupy dělí řád . Tento důsledek zobecňuje Eulerův teorém a Fermatův malý teorém v teorii čísel . $G$ $G$
Skupina objednávek , kde je prvočíslo , je cyklická. (Protože pořadí jiného prvku než jedna nemůže být rovno 1, všechny prvky kromě jednoho mají pořadí , což znamená, že každý z nich generuje skupinu.) $p$ $p$ $p$

Historie

Důležitý speciální případ této věty dokázal Lagrange v roce 1771 v souvislosti s výzkumy řešitelnosti algebraických rovnic v radikálech . Bylo to dlouho před definicí skupiny, kdy Lagrange zkoumal permutační skupinu . Moderní formulace zahrnuje jako příklad původní formulaci Lagrangeova teorému.

Viz také

Sylowovy věty