Symetrická skupina

Symetrická grupa - skupina všech permutací dané množiny (tj. bijekcí ) s ohledem na operaci skládání . $X$ $X\do X$

Symetrická skupina množiny se obvykle označuje . If , then se také značí . Protože pro množiny o stejné síle ( ) jsou jejich permutační grupy ( ) také izomorfní , pak pro grupu konečného řádu je její permutační grupa identifikována s . $X$ $S(X)$ $X=\{1,2,...,n\}$ $S(X)$ $S_{n}$ $|X|=|Y|$ $S(X)\cong S(Y)$ $n$ $S_{n}$

Neutrálním prvkem v symetrické skupině je permutace identity . $\mathrm {id} (x)=x$

Permutační skupiny

Ačkoli obvykle skupina permutací (nebo permutace) odkazuje na symetrickou skupinu samotnou, někdy, zejména v anglicky psané literatuře, se podskupiny symetrické skupiny [1] nazývají permutační skupiny množiny . V tomto případě se stupeň skupiny nazývá mohutnost . $X$ $S(X)$ $X$

Každá konečná grupa je izomorfní k nějaké podgrupě grupy ( Cayleyova věta ). $G$ $S(G)$

Vlastnosti

Počet prvků symetrické grupy pro konečnou množinu se rovná počtu permutací prvků, tedy účiníku : . Pro , symetrická skupina je nekomutativní. $|S_{n}|=n!$ $n\geqslant 3$ $S_{n}$

Symetrická grupa připouští následující zadání : $S_{n}$

\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\tečky ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\ sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if))\ |ij| >1\rozsah

Můžeme předpokládat, že permutuje a . Maximální pořadí skupinových prvků je Landauova funkce . $\sigma_i$ $i$ $i+1$ $S_{n}$

Skupiny jsou řešitelné , zatímco symetrická grupa je neřešitelná . ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ $n\geqslant 5$ $S_{n}$

Symetrická grupa je dokonalá (to znamená, že zobrazení konjugace je izomorfismus) právě tehdy, když je její pořadí odlišné od 2 a 6 ( Hölderova věta ). V případě, že skupina má ještě jeden vnější automorfismus . Na základě této a předchozí vlastnosti for jsou všechny automorfismy interní, to znamená, že každý automorfismus má tvar pro některé . $n=6$ $S_6$ $n\geqslant 3,n\neq 6$ $S_{n}$ $\alpha(x)$ $g^{-1}xg$ $g\in S_n$

Počet tříd konjugovaných prvků symetrické grupy je roven počtu oddílů čísla [2] . Množina transpozic je generující množina . Na druhou stranu jsou všechny tyto transpozice generovány pouze dvěma permutacemi , takže minimální počet generátorů symetrické grupy jsou dva. $S_{n}$ $n$ $(12), (23),..., (n-1 \ n)$ $S_{n}$ $(12), (12...n)$

Střed symetrické grupy je triviální pro . Komutátor je střídající se skupina ; navíc at je jedinou netriviální normální podskupinou a má ještě jednu normální podskupinu - Kleinovu čtyřčlennou skupinu . $n\geqslant 3$ $S_{n}$ $A_{n}$ $n\neq 4$ $A_{n}$ $S_{n}$ $S_4$

Zobrazení

Jakákoli podskupina permutační skupiny může být reprezentována skupinou matic od , a každá permutace odpovídá permutační matici (matici, ve které jsou všechny prvky v buňkách rovny 1 a ostatní prvky jsou rovny nule); například permutace je reprezentována následující maticí : $G$ $S_{n}$ $SL(n,\mathbb {Z} )$ $\pi:i\to\pi (i)$ $(i,\pi(i))$ $(231)$ $3\krát 3$

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Podgrupa takové skupiny, složená z matic s determinantem rovným 1, je izomorfní ke střídavé grupě . $A_{n}$

Existují i jiné reprezentace symetrických grup, například grupa symetrie (sestávající z rotací a odrazů) dvanáctistěnu je izomorfní , zatímco rotační grupa krychle je izomorfní . $S_5$ $S_4$

Poznámky

↑ Aigner M. Kombinatorická teorie. M.: Mir, 1982. - 561 s.
↑ OEIS sekvence A000041 _

Literatura

Kurz algebry Vinberg E. B. - M .: Factorial-Press, 2001.
Kargapolov M.I., Merzljakov Yu.I. Základy teorie grup. - M .: Nauka, Fizmatlit, 1982.
Kostrikin A.I. Úvod do algebry. Část III. Základní struktury. - Nakladatelství M. = Fizmatlit, 2004.
Kurosh A.G. Teorie skupin. - M .: Nauka, Fizmatlit, 1967.
Postnikov M. M. Galoisova teorie. — M .: Fizmatlit, 1963.