Skupinové zadání

Specifikace grupy v teorii grup je jednou z metod pro definování grupy určením generující množiny a množiny vztahů mezi generátory . V tomto případě má skupina údajně úkol . $S$ $R$ $G$ $\langle S\mid R\rangle$

Neformálně má takový úkol, pokud je „nejsvobodnější “ ze všech vytvořených skupin a podléhá vztahům mezi prvky z . Formálněji je grupa izomorfní k faktorové grupě volné grupy vytvořené normálním uzavřením množiny vztahů . $G$ $S$ $S$ $R$ $G$ $S$ $R$

Každá skupina má svůj úkol a navíc mnoho různých úkolů; přiřazení je často nejkompaktnější způsob, jak definovat skupinu.

Skupinovým úlohám se věnuje speciální obor teorie grup - kombinatorická teorie grup .

Nejjednodušším příkladem určení skupiny je zadání skupiny cyklického pořadí : $n$

\langle a\mid a^{n}\rangle .

To znamená, že jakýkoli prvek skupiny může být zapsán jako stupeň a je neutrálním prvkem skupiny. $A$ ${\displaystyle a^{n))$

Související definice

Konečně daná grupa (nebo konečně definovaná grupa ) je grupa, která má konečný počet generátorů a je v těchto generátorech definována konečným počtem vztahů .
Konečně generovaná skupina je skupina, která má konečný počet generátorů . Každá konečně daná skupina je konečně generována.
Minimální mohutnost množiny generátorů se nazývá hodnost skupiny . $S$
- $p$ -hodnost skupiny je nejvyšší hodností její podskupiny, což je
-primární abelovská skupina . $p$

Terminologie

Termín „ úkol “ není úplně běžný. Některé knihy používají [1] [2] termín „ skupinový (genetický) kód “. Setkat se můžete i s pojmem „ skupinová reprezentace “ ve smyslu zde diskutovaném [3] [4] [5] , lze jej považovat za překlad angličtiny. skupinová prezentace je však nejednoznačná, protože termín skupinová reprezentace je široce používán pro tzv. lineární reprezentace skupin - ty nemají s úkolem nic společného a navíc jsou v jistém smyslu jeho opakem.

S ohledem na posledně jmenovaný je úkol také někdy označován jako „ prezentace “. Přesněji řečeno, výše zmíněný izomorfismus kvocientové grupy volné grupy do uvažované grupy lze nazvat prezentací . Předpona „ko-“ označuje dualitu tohoto izomorfismu s ohledem na reprezentaci grupy, „když naopak homomorfismus není konstruován „do“ G, ale „od“ G k nějakému [dobře prostudovanému] skupina lineárních operátorů, permutace atd. » [6] . $G$

Vlastnosti

Existuje teorém, že libovolná grupa je faktorová grupa vhodné volné grupy s ohledem na nějakou normální podgrupu , takže každá grupa má úkol. Úkol nemusí být jediný. Je těžké dokázat nebo vyvrátit, že dva úkoly definují stejnou skupinu (starý název problému je jedním z Danových problémů). Obecně je tento problém algoritmicky nerozhodnutelný . Existuje několik tříd skupin, pro které byl zkonstruován algoritmus pro řešení tohoto problému. Tietzeho transformace čtyř typů umožňují přejít od jednoho úkolu skupiny k druhému: první Tietzeho transformace je přidáním nového vztahu odvozeného ze starých do množiny relací; druhá Tietzeho transformace je zavedení nové proměnné vyjádřené pomocí starých; třetí a čtvrtá Tietzeho transformace jsou inverzní k první a druhé. S ohledem na algoritmickou neřešitelnost problému je nalezení řetězce Tietzeho transformací z jedné reprezentace do druhé druhem umění.

Vzhledem ke skupině je také obtížné určit další vlastnosti skupiny, jako je její řád nebo torzní podgrupa .

Příklady

Následující tabulka uvádí způsoby, jak určit některé běžně se vyskytující skupiny. V každém případě existují další možné úkoly.

Skupina	Cvičení	Vysvětlivky
Volná skupina na S	$\langle S\mid \varnothing \rangle$	Volná skupina je „volná“ v tom smyslu, že není omezena žádným vztahem.
Zn je cyklická skupina řádu n	$\langle a\mid a^{n}\rangle$
D n je dihedrální skupina řádu 2 n	$\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,s^{-1}rs=r^{-1}\rangle$ nebo $\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle$	r znamená rotaci, s znamená symetrii
D ∞ je nekonečná dihedrální grupa	$\langle r,s\mid s^{2},(rs)^{2}\rangle$
Kvaternionová skupina Q 8	$\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1 \rangle$ nebo $\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle$
Generalizovaná kvaternionová skupina Q 4 n	$\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1} \rangle .$
volná abelovská skupina na S	$\langle S\mid R\rangle$	R je množina všech komutátorů prvků S
Symetrická grupa S n	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\tečky ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\ sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ \|ij\|>1\rangle$ nebo $\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\tečky ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\ sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if))\ \|ij\| >1\rozsah$	σ i je transpozice, která zamění i -tý prvek s i + 1st.
Copánková skupina B n	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\tečky ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i }=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i} \ {\text{if}}\ \|ij\|>1\rangle$	Jediný rozdíl od symetrické skupiny je vymizení vztahů . $\sigma _{i}^{2}=1$
Střídavá skupina A n	$\langle s_{3},...,s_{n}\|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1(3 \leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle$	$s_{i}\to (12i)$
Rotační skupina čtyřstěnu , T ≅ A 4	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$
Rotační skupina osmistěnu , O ≅ S 4	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$
Skupina rotace dvacetistěnu , I ≅ A 5	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$
Skupina Coxeter	$\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle$	r n jsou odrazy v plochách mnohostěnu a při , — pokud plochy nesvírají v mnohostěnu úhel dvojstěnu $m_{ii}=1$ $m_{ij}\geqslant 2$ $i\neq j$ $m_{ij}=\infty$
Skupina trojúhelníků Δ( l , m , n )	$\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^ {m}=1\range$	a , b , c - odrazy
Z × Z	$\langle x,y\mid xy=yx\rangle$
Z / m Z × Z / n Z	$\langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle$
SL(2; Z )	$\langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle$
GL(2; Z )	$\langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle$
Modulární skupina PSL(2, Z )	$\langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle$	PSL(2, Z ) je volný součin Z / 2Z a Z / 3Z
Skupina prsa F 4 (2)	$\langle a,b\mid a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}= (ababababab^{-1})^{6}=1\rangle$	[ a , b ] - komutátor

Viz také

volná skupina

Odkazy

↑ 1.3 // Obecná algebra / Pod generální redakcí L. A. Skornyakova. - M .: Věda. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1990. - T. 1. - 592 s.
↑ Kargapolov M. I., Merzljakov Yu. I. Základy teorie grup. — Lan, 2009.
↑ Bogopolsky O.V. Úvod do teorie grup. - Moskva, Iževsk: Institut pro počítačový výzkum, 2002.
↑ Lyndon R., Shupp P. Kombinatorická teorie grup. — M .: Mir, 1980.
↑ Magnus W., Karras A., Solitaire D. Kombinatorická teorie grup. Reprezentace skupin z hlediska generátorů a vztahů. — M .: Nauka, 1974.
↑ Olshansky A. Yu § 4 // Geometrie definování vztahů ve skupinách. - M .: Věda. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1989. - 448 s.